Ортогональность нормальных функций

Условия для нормальных напряжений приводятся к системе двух функциональных уравнений. Обычный путь — разложение по полным и ортогональным системам функций — приводит эти уравнения к бесконечным алгебраическим системам. Для получения коэффициентов систем кроме соотношений (2.9), (2.16) главы 5 необходимо использовать разложение [c.201]

Из этих формул следует, что условия объема выполняются и, следовательно, каковы бы ни были функции / (г) и о ) ( ), динамически возможно ортогональное движение, для которого и определяется по формуле (49). Определяя с помощью формул ((1) удельный объем и давление, получим следующую систему, которая определяет общее ортогональное нормальное движение [c.206]

Определяющие ядра совокупности 149, 251 Оптические изомеры 38, 239, 243, 373 Ортогональное преобразование 107, 113, 118 Ортогональность нормальных колебаний и собственных функций 83, 108, 282 Основные комбинационные частоты 262, 235, 269, 279, 283 (глава III, 2г) интенсивность 275, 283 степень деполяризации 268, 291 Основные частоты, активные и неактивные в инфракрасных спектрах 259, 269, 279 Основные частоты (см. также отдельные молекулы и молекулы типа XY. и т. д.) 81, 90, 159, 163, 176 в испускании или поглощении 259 нумерация 182, 293 [c.618]

Наконец, можно показать, что в волноводе с любыми импедансными стенками функции распределения давлений или дг-компо-ненты скоростей частиц для всех нормальных волн образуют полную ортогональную систему функций на отрезке (О, h), хотя эта система функций является набором косинусов некратных дуг. Эти функции имеют вид os ( z + е), где все значения Сие определяются из граничных условий. Во всех случаях полнота системы обеспечивает возможность представить данное распределение давления (или х-компоненты скорости частиц) по сечению суперпозицией соответственных распределений по сечению для [c.254]

Методы аппроксимации, включающие решение нормальной системы с целью получения ортогональной проекции функции на конечномерное подпространство, называются проекционными. [c.31]

Кольцевое течение представляет собой осевое течение в области между двумя покоящимися коаксиальными цилиндрами. Течение контролируемо, и в принципе функцию у ( ) можно получить из экспериментальной реализации кольцевого течения, хотя практически это не очень удобно. Наиболее интересный результат, который можно получить из опытов кольцевого течения,— это разность нормальных напряжений, ортогональных ограничивающим цилиндрам, которая связана со второй разностью нормальных напряжений следующим уравнением [c.186]

Для сферически симметричного течения к стоку реакция напряжения в материале характеризуется единственной материальной функцией. Это позволяет выразить разность между нормальными напряжениями в направлении течения и в любом ортогональном к нему направлении в виде функции от Г [c.290]

Соотношения ортогональности для нормальных волн. При исследовании статики и динамики полосы многие авторы отмечали, что нормальные волны не ортогональны в обычном смысле. Непосредственной проверкой можно убедиться, что интегралы от —Н до Н от произведения функций, описывающих смещения и поворот полосы но поперечной координате для различных нормальных волн, рассмотренных выше, не равняются нулю. Даже в шарнирно опертой полосе нормальные волны не образуют ортогональной системы, так как волны с номерами 2и и 2 — 1 имеют одинаковое распределение смещений по поперечному сечению полосы (см. (6,56) и (6.58)). Это обстоятельство не дает возможности прямо вычислять коэффициенты разложения в ряды но нормальным волнам и затрудняет решение задач на вынужденные колебания. [c.201]

Поскольку функции нормальных форм колебаний обладают свойством ортогональности [c.179]

При решении задач теплообмена излучением с помощью метода разложения по собственным функциям приходится интегрировать в полном и половинном диапазонах изменения ц различные функции нормальных мод. Ниже приведены различные интегралы нормировки, соотношения ортогональности и некоторые полезные интегралы, содержащие собственные функции для случая изотропного рассеяния. Выводы приведенных выражений и бол е полные таблицы можно найти в оригинальных публикациях [1, 2, 6, 25]. [c.402]

На рис. 1.1, а приведены типовые корреляционные функции шумов в сигнале хроматографа, а на рис. 1.1,6 масс-спектрометра. Следует отметить, что предположение о нормальности распределения шума существенно при использовании традиционных алгоритмов обработки во временной области, так как позволяет получить точность обработки, близкую к потенциально возможной для применяемых методов. При разложении сигнала в ортогональной базисной системе функций (см. раздел 1.2) это ограничение не обязательно, поскольку в результате обработки смеси y t) шум нормализуется, что позволяет распространить алгоритмы, полученные в предположении его нормальности, на случай, когда распределение шума отличается от нормального. [c.15]

Введенные таким образом собственные функции и их нормальные производные ортогональны по поверхности 5. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно применить вторую формулу Грина к области V для функций Ып и Ыт. Возникающий при этом интеграл по поверхности 5 всегда будет равен нулю [c.89]

Собственные функции I варианта и нормальные производные собственных функций II варианта ортогональны при интегрировании по замкнутой поверхности 5. Эти свойства просто доказать, если применить вторую теорему Грина (2.8) для двух функций с разными номерами п и т к внутреннему (У+) и внешнему (У-) объемам, вычесть результаты и воспользоваться тем, что собственные функции удовлетворяют условиям излучения (при этом интеграл по бесконечно удаленной сфере выпадает). Тогда, согласно граничным условиям [c.100]

Применяя формулу Грина (2.8), записанную для собственных функций разных номеров п и т, к внутреннему и внешнему объемам, вычитая результаты и исключая, согласно граничным условиям, например, нормальные производные, получим условия ортогональности для первой однородной задачи (12.4), (12.6) в виде [c.119]

Применяя теорему Грина для двух собственных функций разных номеров к внешней (К ) и к внутренней (К+) областям резонатора и пользуясь при этом уравнением (24.5), граничными условиями на стенках, условиями (24.6) и условиями излучения, легко показать, что нормальные производные собственных функций ортогональны на щели 5 с весом а [c.250]

Это соотношение показывает, что в случае специального нормального движения функция ар (t) не должна зависеть от i, что несовместимо с нашим предположением if (i) отлична от нуля. Итак, специальное нормальное ортогональное движение невозможно. [c.207]

Формулы (41) можно рассматривать как разложение компонентов смещения и,, по ортогональным функциям по координате г. Удержано два члена — первый, учитывающий осредненный поворот, и второй, учитывающий искривление нормального элемента. [c.402]

При рассмотрении контактной задачи для балки с учетом сил трения допущения (3.9) можно принять только при условии, если вертикальная нагрузка вызывает нормальные контактные напряжения одного знака, а горизонтальная нагрузка, приложенная к одному из концов балки, равна главному вектору вертикальной нагрузки, помноженному на коэффициент трения. Использование решения соответствующего дифференциального уравнения из (3.1) в форме (3.6) через функции Грина, а также (3.10) позволяет в этом случае свести задачу к интегральному уравнению с той же сингулярной частью, что и для штампа, и получить приближенное его решение методом ортогональных многочленов (1, 4, 3). [c.306]

Если флуктуации скорости Vf распределены по нормальному закону с дисперсией каждой из ортогональных компонент, то, используя функцию плотности вероятности [c.98]

Итак, мы получили два диадных представления тензора Грина (14) и (40), образованные из собственных векторов тензоров О, е -я и я-8 1. Напомним, что тройки е и е в общем случае не ортогональны друг к другу (в отличие от а и 6). Представление (40) используется в 3.4 для определения нормальных волн и функции Грина О (fei), а также при квантовании поля в среде. Поле v-й нормальной волны параллельно вектору е , и если он комплексный, то поле имеет эллиптическую поляризацию (см. [157], с. 142). [c.252]

При решении обратной задачи для сопел и каналов сложных криволинейных конфигураций, когда контуры являются многозначными функциями декартовых координат, удобно вместо нормальных систем координат типа 5, г , 0 использовать ортогональные си- [c.28]

В окрестности каждой точки М тогда существует функция т (эйконал), дифференциал которой с1х равен Линии уровня функции т ортогональны к лучам и играют роль волновых фронтов. Такое семейство лучей мы будем называть нормальной конгруэнцией. [c.70]

Это—условие ортогональности нормальных функций, Мы встречали уже это условие в случае систем с несколькими степенями свободы (см. стр. 231), а также в случае продольных колебаний стержней (см. 47). Вследствие этого свойства свободные колебания, названные любыми начальными условиями, можно легко разложигь в ряд нормальных колебаний, а анализ вынужденных колебаний сводится к решению того же дифференциального уравнении, что и для <олебаниЙ систем с одной степенью свободы. [c.317]

Изложенный в этом параграфе подход может быть распространен и на более сложный случай, когда массы и пружины прикрепляют к обоим концам стержня. В этом случае, как следует из выражения (г), нормальные функции будут содержать оба ненулевых слагаемых, поэтому частотное уравнение будет иметь больше членов. Кроме того, соотношения ортогональности и нормированности будут содержать члены с массами и жесткостями пружин, прикрепленными к обоим концам стержня, но при этом начальные условия, записанные в нормальных координатах, можно представить в виде, когда они будут определяться только влиянием прикрепленных на концах стержня масс. В качестве упражнения предлагаем читателю получить эти более сложные (но и более общие) выражения, описывающие продольные колебания призматических стержней. Аналогичный с точки зрения математической формулировки случай вала с закрепленными на концах дисками будет обсужден в п. 5.7, а случай предварительно растянутой нити с дополнительными пружинами, препятствующими поперечным перемещениям, будет рассмотрен в п. 5.8. [c.352]

Для изотропных материалов экспериментально было обнаружено, что энергия, затраченная на продвижение трещины, относительно постоянна. Поэтому большая часть усилий была сконцентрирована на изучении различных методов вычисления затраченной энергии, причем игнорировалось обоснование сделанного выше упрощения. Анализ энергетического неравенства (И) показывает, что левая часть (11) постоянна тогда и только тогда, когда Цравая. часть неравенства является функцией одного параметра. Это на самом деле соответствует случаю изотропного разрушения, когда под действием любого сложного плоского нагружения наблюдается неустойчивый рост трещины в направлении, ортогональном направлению максимального нормального напряжения около кончика трещины (например, см. работу [15]). Иначе говоря, в изотропном материале со случайно распределенными трещинами равной длины (рис. 9) только трещина, перпендикулярная действию нагрузки, является критической и только один вид испытания — растяжение в направлении, перпендикулярном трещине,— необходим для определения характеристики разрушения такого материала. [c.228]

Полученное соотношение ортогональности (7) значительно облегчает процедуру разложения произвольных функций в ряды по собственным формам обобщенных краевых задач и решение неоднородных уравнений вида (1). Описанным здесь способом могут быть получены соотношения ортогональности для резонансных форм движушихся стержней и струн [6] с граничными условиями типа (И), для нормальных волн Лэмба [7] в толстом упругом слое, для волн в тонкой полосе [8] и, по-видимому, для нормальных волн любого твердого волновода. [c.9]

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. [c.157]

При относигельном движении двух твердых тел (точнее — твердого тела и среды) возникают силы, являющиеся функциями ортогональных координат, т. е. координат, на которых они не совершают работы. При резании резец, движется в обрабатываемой заготовке и тангенциальная составляющая силы резания является функцией координаты (или координат) вершины резца, определяющей сечение срезаемого слоя и направленной перпендикулярно к этой составляющей силы резания. При контактном трении твердых тел сила трения является функцией, нормальной к поверхности скольжения контактной деформации, вызываемой нормальной нагрузкои-Аналогичное явление наблюдается при флаттере, когда подъемная сила, определяемая движением воздушной среды, действующая на крыло самолета (или лист на дереаг), является функцией угловой координаты (угла атаки). [c.118]

Остановимся несколько подробнее на структуре напряжений, соответствующих простым краевым эффектом. Все связанные с ним величины быстро затухают, поэтому при качественных рассуждениях можно исходить не из формул (8.12.4), определяющих простой краевой эффект в окрестности линии возмущения, а из формул (8.12.6), задающих его только на самой этой линии. Формулы (8.12.6) показывают, что главное тангенциальное усилиг Гз и главный момент Gi пропорциональны соответственно произвольным функциям il)i и я1)2. Таким образом, простой краевой эффект имеет черты сходства с дополнительными напряженными состояниями, возникающими вблизи отверстий как в пластинке, растягиваемой в своей плоскости, так и в пластинке, подвергаемой изгибу. Первое из этих дополнительных напряженных состояний связано с функцией и дает в освиом нормальные усилия на сечениях, ортогональных к линии возмущения. Второе связано с функцией г )2 и дает в основном изгибающие моменты на сечениях, параллельных линии возмущения. [c.136]

Для решения одномерной задачи переноса излучения может быть использован метод разложения по собственным функциям (нормальным модам), Предложенный Кейсом [1] в 1960 г. для строгого решения одномерного уравнения переноса нейтронов. В этом методе решение уравнения переноса излучения записывается в виде линейной суммы собственных функций для однородной части уравнения переноса излучения и частного решения неоднородного уравнения. Неизвестные коэффициенты разло жения, фигурирующие в решении однородного уравнения, опрег деляются таким образом, чтобы полное решение удовлетворяло граничным- условиям задачи при этом используются свойство ор.тогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Данный метод аналогичен классическому методу разложения по ортогональным функциям. [c.378]

Благодаря малым аберрациям в телескопах нормального падения при умеренных требованиях к разрешению могут использоваться даже одиночные сферические зеркала. В качестве примера рассмотрим схему мягкого рентгеновского канала телескопа Терек , предназначенного для исследований Солнца на станции Фобос [12] (рис. 5.30). Она включает четыре сферических зеркала с покрытием Мо—81 на области спектра 17,5 нм (одно длиннофокусное) и 30,4 нм (одно длиннофокусное, два короткофокусных). Диаметр зеркал равен 30 мм, фокусные расстояния — 810 и 160 мм. Внеосевой угол длиннофокусных зеркал равен 1,7°, при этом разрешение определяется размером ячейки детектора 50x75 мкм (ПЗС-матрица с люминофорным преобразователем и усилителем яркости на ЭОП) и составляет 12—18" в поле зрения 45x62. Для уменьшения внеосевого угла для короткофокусных зеркал до 3—4° используется пара плоских зеркал с таким же МСП, которые работают под углом 45°. Плоскости падения двух пар ортогональны, поэтому они выполняют также функцию анализаторов поляризации и.злучения. Разрешение в этом случае равно в среднем 1—2 в поле зрения 3,8 X 5,2°. Зеркала изготовлены из плавленого кварца методом глубокого [c.207]

Последовательное изучение малых колебаний упругих тел, как колебаний линейных систем с бесконечно большим числом степеней свободы, провел Клебш в своей Теории упругости твердых тел Используя уже достаточно хорошо развитый к тому времени математический аппарат для краевых задач, Клебш свободно применяет для упругих колебательных систем понятие нормальных координат соответствующих им фундаментальных функций, доказывает, что эти функции образуют ортогональную систему (по отношению к естественно вводимой весовой функции), составляет на основании краевых условий уравнение частот, в общем случае трансцендентное, доказывает свойства его корней, определяет коэффициенты разложения произвольной функции по фундаментальным функциям краевой задачи и т. д. [c.278]

Введем криволинейную ортогональную систему координат ( , С)- Поверхность 7] = О совпадает с поверхностью тела или некоторой поверхностью, лежащей внутри следа за телом, г] отсчитываем по нормали к этой поверхности. На цилиндрической поверхности = onst, нормальной к поверхности тела, заданы начальные данные, т. е. известны функции течения в зависимости от ( иг] ( = onst — цилиндрические поверхности, ортогональные семействам и rj). Необходимо найти производные по координате [c.317]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

При решении обратной задачи для сопел и каналов сложных криволине1Шых конфигураций, когда контуры являются многозначными функциями декартовых координат, удобнее вместо нормальных систем координат тина 5, т]) использовать ортогональные координаты, связанные с линиями тока. Известным примером ортогональных координат для потенциальных течений являются координаты 1 7, Ф, где Ф — потенциал скорости. [c.38]

Из последнего замечания в 58 вытекает, что любая кососимметрическая 3-матрица может быть приведена с помощью ортогонального преобразования к нормальной форме, причем все элементы третьей строки оказываются равными нулю. Поэтому пз изложенного в 72 следует, что Q(i) определит вращение относительно некоторой неподвижной оси, если 2 = onst, т. е. все три компоненты s вектора iS не зависят от t. (Это условие достаточное, но необходимое.) Согласно (7) такое вращение характеризуется функцией fi(i) = й(0)е , где 2 — произвольная косос1гмметрпческая постоянная матрица. [c.72]

Для выбора последовательности величин Я/ имеется две возможности. В качестве Я,/ можно принять корни уравнения Jq (Хг ) = О либо уравнения Л (Хгд) = 0. Причем в первом случае следует положить = 0. В обоих случаях выражение (2.123) представляет собой набор нормальных волн в цилиндрическом волноводе с мягкими или жесткими стенками. Система функций ( г) является полной и ортогональной в области О г < Го. Выбор значений величин позволяет удовлетворить второе условие в выражениях (2.122) при произвольной функции ф (г), задающей распределение скорости по торцу цилиндра. В дальнейших выкладках примем, чтоЯ, — корни уравнения J-, = = 0. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...