Ортогональность нормальных вол

Таким образом с учетом ортогональности нормальных форм колебаний система (5.181) приобретает вид [c.255]

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ [c.285]

Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот [c.285]

Последние два соотношения являются условиями ортогональности 5-й и г-й форм колебаний. Вектор называется вектором силы инерции, соответствующим з-му нормальному колебанию, а вектор kKs — вектором силы упругости, соответствующим тому же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) можно трактовать как условия ортогональности формы г-го нормального колебания к векторам силы инерции и силы упругости, соответствующим 5-му нормальному колебанию. Использование условий ортогональности нормальных колебаний дает возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с п степенями свободы. Покажем, например, что кинетическая энергия любого собственного колебания равна сумме кинетических энергий всех нормальных колебаний. Кинетическую энергию системы (8.1.4) в матричной форме можно записать в виде [c.286]

Условия ортогональности нормальных колебаний используются [c.287]

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ [c.289]

В случае = О из (120) следует, что 0 = О, т. е. нормальные линии являются прямыми, направленными вдоль радиусов. Если угол 0 на границе задан, то значение Гт на данной нормальной линии можно найти, записав соотношение (120) для точки пересечения нормальной линии с границей значение 2 В ЭТОМ случае определяется подстановкой граничных значений г и z в соотношение (122). Полученное соотношение представляет собой уравнение нормальной линии, проходящей через данную точку границы. Если построены все нормальные линии, то можно построить и волокна как траектории, ортогональные нормальным линиям. Эту процедуру обычно легче осуществить графически,, нежели аналитически. Приведенное выше построение формы нормальных линий принадлежит Т. Дж. Роджерсу (не опубликовано). [c.340]

Оптимальная виброизоляция 233 Ортогональность нормальных волн 201 [c.294]

Соотношения (5-29) показывают, что вообще нормальное напряжение в том или ином направлении не равно среднему из трех взаимно ортогональных нормальных напряжений в точке, если только вязкие эффекты не равны нулю или жидкость не находится в покое. [c.112]

Из этих формул следует, что условия объема выполняются и, следовательно, каковы бы ни были функции / (г) и о ) ( ), динамически возможно ортогональное движение, для которого и определяется по формуле (49). Определяя с помощью формул ((1) удельный объем и давление, получим следующую систему, которая определяет общее ортогональное нормальное движение [c.206]

Определяющие ядра совокупности 149, 251 Оптические изомеры 38, 239, 243, 373 Ортогональное преобразование 107, 113, 118 Ортогональность нормальных колебаний и собственных функций 83, 108, 282 Основные комбинационные частоты 262, 235, 269, 279, 283 (глава III, 2г) интенсивность 275, 283 степень деполяризации 268, 291 Основные частоты, активные и неактивные в инфракрасных спектрах 259, 269, 279 Основные частоты (см. также отдельные молекулы и молекулы типа XY. и т. д.) 81, 90, 159, 163, 176 в испускании или поглощении 259 нумерация 182, 293 [c.618]

Весьма важное значение в теории колебаний систем со многими степенями свободы имеет теорема об ортогональности нормальных колебаний системы. [c.244]

Перпендикулярность направлений главных колебаний в данном случае является следствием общего закона ортогональности нормальных колебаний, который изложен в 3. [c.250]

Ортогональность нормальных колебаний 263 [c.263]

При изгибных колебаниях балок смещения перпендикулярны оси балки. Для этого случая формула ортогональности нормальных колебаний имеет вид [c.263]

Для ТОГО чтобы из уравнений (35) и (36) определить постоянные а и />, используем свойство ортогональности нормальных колебаний. [c.265]

Суммируя теперь такие уравнения, составленные для всех масс системы и замечая, что на основании закона ортогональности нормальных колебаний [формула (27) ] [c.270]

Таким образом, зная кривизны любых двух ортогональных нормальных сечений в точке А, например и ку, а также зная ху (О, 0), можно найти кривизну любого другого нормального сечения в той же точке. [c.16]

Рнс. 7. Две пары ортогональных нормальных сеченнй поверхности [c.18]

Существуют два таких ортогональных нормальных сечения, для которых в точке касания имеет место равенство fx y = 0. Такие направления Хо и у называются главными, а кривизны соответствующих им нормальных сечений называются главными кривизнами. Сказанное совершенно аналогично тому, что в плоском напряженном состоянии существуют такие ортогональные направления Хо и Уо, которым соответствует = 0. [c.43]

Связи между выражениями, квадратичными относительно амплитуд нормальных волн. Вектор групповой скорости. Пространственная дисперсия и ортогональность нормальных волн. Теорема взаимности. Между амплитудами нормальных волн можно установить целый ряд соотношений, квадратичных относительно этих амплитуд. Исходными при этом являются уравнения поля (2.3) и (2.5). Для удобства приведем здесь еще раз эти уравнения, а также комплексно сопряженные выражения (частота ш считается вещественной) [c.102]

Другой величиной, которую можно измерить, будет разность нормальных напряжений, ортогональных цилиндрическим поверхностям [c.185]

Кольцевое течение представляет собой осевое течение в области между двумя покоящимися коаксиальными цилиндрами. Течение контролируемо, и в принципе функцию у ( ) можно получить из экспериментальной реализации кольцевого течения, хотя практически это не очень удобно. Наиболее интересный результат, который можно получить из опытов кольцевого течения,— это разность нормальных напряжений, ортогональных ограничивающим цилиндрам, которая связана со второй разностью нормальных напряжений следующим уравнением [c.186]

Соотношения (7-6.6) и (7-6.7) выражают свойство симметрии, согласно которому одноосное растяжение (а = aj) простой жидкости не приводит к отличным от нуля разностям нормальных напряжений в направлениях, ортогональных направлению растяжения. [c.289]

Для сферически симметричного течения к стоку реакция напряжения в материале характеризуется единственной материальной функцией. Это позволяет выразить разность между нормальными напряжениями в направлении течения и в любом ортогональном к нему направлении в виде функции от Г [c.290]

Заметим, что число нормальных форм колебаний и равное ему число собственных частот совпадает с числом степеней свободы колебательной системы и что две нормальные формы колебаний ортогональны, т. е. имеет место соотношение [c.557]

Проведя через какую-нибудь точку пространства, например через точку Ь, Ь, плоскость, перпендикулярную к ребрам призматической поверхности, строим сечение a b du a/b /di поверхности этой плоскостью. Это сечение является ортогональной проекцией любого сечения призматической поверхности, а следовательно, и искомого. Строим натуральную величину a2b 2d нормального сечения. Искомый четырехугольник будет построен, если будет найдена величина отрезков, определяющих расстояния его вершин от плоскости нормального сечения. [c.115]

Следовательно, нормальные координаты вводятся посредством ортогонального преобразования координат [c.246]

Пусть заданы все компоненты тензора напряжений для данной точки. Известны нормальные и касательные напряжения по трем ортогональным граням бесконечно малого параллелепипеда. [c.8]

В деформированном теле нам известна форма двух волокон волокна на верхней и нижней поверхностях прямолинейны. Нормальные линии, ортогональные этим волокнам, суть прямые-X = onst. Прочие волокна, ортогональные нормальным линиям, располагаются по прямым у = onst. Принимая во внимание неизменность расстояний между волокнами и нерастяжимость волокон, заключаем, что деформация должна иметь форму [c.309]

В разделе 2 рассматриваются задачи третьей и четвертой груин. Вопросам расиространения упругих воли по инженерным конструкциям посвящена обширная литература [216, 239, 283, 300, 325, 352], поэтому авторы ограпичились сравнительно простыми конструкциями, но постарались применить наиболее общие методы расчета и обсудить ряд теоретических вопросов, с которыми приходится сталкиваться при расчете распространения волн практически каждой машинной конструкции. Главными из них являются диснерсия волн, определяющая характер распространения акустической энергии, и спектральные свойства конструкций. Исследуются также полнота и ортогональность нормальных волн в твердых волноводах. Значительное место отведено анализу щи1ближенных теорий колебаний топких стержней. По методам борьбы с вибрациями и шумами машин имеется особенно много публикаций [45, 71, 81, 136, 185, 281, 331, 353, 375, 376, 384]. Однако почти все они носят ярко выраженный прикладной характер, поэтому в книге излагаются теоретические основы методов ослабления акустической активности машин. [c.12]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Нормальные координаты, ортогональность нормальных колебаний. Обозначим составляющие смеидений частиц, относящиеся к первому, второму, 37V-мy нормальному колебанию, имеющему собственную частоту VJ, в некоторый момент времени, через [c.82]

Подставляя (9.14) в (9.13), умножая обе части уравнения иа sin (Кгп ), интегрируя затем по г (Л — длипа резонатора) и используя свойства ортогональности нормальных мод, иаходим [c.231]

Главные кривизны обладают свойством экстремальности одна из них является наибольшей, а другая — наименьшей из множества кривизн всех нормальных сечений в данной точке поверхности. Зная кх я ку — кривизны двух произвольных ортогональных нормальных сечений, кроме того, зная величину 1ху = txy, легко найти главные кртвизны к п к я угол а , определяющий положение главных направлений в системе осей ху по рмулам (16), (17) й (18), совершенно аналогичным формулам для главных напряжений и формуле для определения направления главных напряжений [c.43]

Это—условие ортогональности нормальных функций, Мы встречали уже это условие в случае систем с несколькими степенями свободы (см. стр. 231), а также в случае продольных колебаний стержней (см. 47). Вследствие этого свойства свободные колебания, названные любыми начальными условиями, можно легко разложигь в ряд нормальных колебаний, а анализ вынужденных колебаний сводится к решению того же дифференциального уравнении, что и для <олебаниЙ систем с одной степенью свободы. [c.317]

Через вершины а, а Ь,Ь и с, с треугольника проводим лучи параллельно заданному направлению р, р проецирования. На любом из этих лучей, например ВВ , возьмем произвольную точку 6j, Ь], проведем через нее плоскость, перпендикулярную к проецирующим лучам, строим точки й], а/ и С], с/ пересечения этой плоскости с двумя остальными лучами. Соединив эти точки отрезками прямых, получим треугольник ЛiSi i (fljbi i, а/Ь/с/), определяющий собой ортогональную проекцию искомого треугольника. Строим его натуральную величину й2Ь2С2, совместив плоскость его с плоскостью, параллельной горизонтальной плоскости проекции, путем вращения вокруг горизонтали, проходящей через точку j. Можно считать, что достигнуто то вспомогательное положение фигур, при котором нормальное сечение параллельно горизонтальной плоскости проекций, а проецирующие лучи перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций. Имея натуральную величину <2262 2 треугольника, служащего ортогональной проекцией искомого треугольника во вспомогательном его положении, можем построить фронтальную его проекцию. Фронтальную проекцию искомого треугольника во вспомогательном его положении, как увидим, можно и не строить. Положение вершин искомого треугольника вполне определяется расстояниями их от плоскости нормального се-чения. , [c.112]

Для точки фигуры с координатами х , г/о, совпадающей с мгновенным центром вращения, правые части формул (2.5) приводятся к их первым членам (ог/о и — сохц. Следовательно, эти члены иредставляют собой проекции ускорения j точки фигуры, совпадающей в данный момент с мгновенным центром х , г/о-Еслп бы мгновенный центр врап енпя был неподвижен, то движение точки М было бы круговым и правые частп приводились бы ко второму и третьему членам. Но в этом круговом движении точки М нормальное ускорение, равное по величине = (dV, направлено по радиусу к мгновенному центру С, а тангенциальное ускорение, равное = га, ортогонально к СМ п направлено в сторону вращения, определяемую знаком со. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...