Нормальные колебания ортогональность

Заметим, что число нормальных форм колебаний и равное ему число собственных частот совпадает с числом степеней свободы колебательной системы и что две нормальные формы колебаний ортогональны, т. е. имеет место соотношение [c.557]

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ [c.285]

Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот [c.285]

Каждому нормальному колебанию соответствует определенное распределение амплитуд по координатам, или определенная форма колебании. Формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам, ортогональны друг другу. Для того чтобы показать это, запишем уравнение (8.1.7) для з-й и г-й форм колебаний [c.285]

Последние два соотношения являются условиями ортогональности 5-й и г-й форм колебаний. Вектор называется вектором силы инерции, соответствующим з-му нормальному колебанию, а вектор kKs — вектором силы упругости, соответствующим тому же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) можно трактовать как условия ортогональности формы г-го нормального колебания к векторам силы инерции и силы упругости, соответствующим 5-му нормальному колебанию. Использование условий ортогональности нормальных колебаний дает возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с п степенями свободы. Покажем, например, что кинетическая энергия любого собственного колебания равна сумме кинетических энергий всех нормальных колебаний. Кинетическую энергию системы (8.1.4) в матричной форме можно записать в виде [c.286]

Условия ортогональности нормальных колебаний используются [c.287]

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ [c.289]

В одном важном частном случае, а именно, при расположении всех атомов данной молекулы вдоль одной прямой, молекула называется линейной. Число колебательных степеней свободы линейной молекулы равно Зп —5, так как вращение вокруг данной оси молекулы нельзя рассматривать как самостоятельную степень свободы. Вдоль оси линейной молекулы расположены п атомов, поэтому возможны п независимых движений вдоль этой оси. Из них одно движение является поступательным, а п—1 — колебательными. Таким образом, для колебательных движений, выводящих атомы с оси молекулы, остается Зп —5 —(я—1)== = 2 (я — 2) степеней свободы. Поскольку обе ортогональные плоскости, проходящие через ось молекулы равноправны, то все колебания, выводящие атомы с оси молекулы, дважды вырождены. Таким образом, линейная молекула из я атомов имеет 2я —3 различные частоты собственных колебаний. При я = 2 имеется лишь одна собственная частота, при я = 3 —три собственные частоты и т. д. Примером линейной трехатомной молекулы может служить молекула углекислого газа СО . Эта молекула имеет четыре колебательные степени свободы. Два нормальных колебания молекулы происходят вдоль ее оси. Третье и четвертое колебания выводят атомы с оси молекулы. Рассчитаем собственные частоты и коэффициенты распределения амплитуд по координатам Д.ПЯ этой молекулы. Пусть атомы расположены по оси ОХ и имеют координаты х , х . Запишем кинетическую и потенциальную [c.290]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

Кроме того, следует учесть, что каждому нормальному колебанию, задаваемому целыми числами П, пг, Пз, соответствуют две независимые стоячие волны с ортогональными состояниями поляризации. [c.436]

Если применить условие ортогональности (2,18) к настоящему нормальному колебанию и к ненастоящему нормальному колебанию, состоящему в поступательном движении по направлению оси х = х =. .. = х , =... = О, = =. .. = 0), мы получим [c.85]

Однако по отношению к повороту вокруг оси симметрии третьего или более высокого порядка вырожденные колебания в общем случае являются ни симметричными, ни антисимметричными, а изменяются по закону (2,62) с отличными от нуля коэфициентами d , d ,. .. Например, в случае линейной молекулы типа ХУо (см. фиг. 25,6), считая нормальные координаты Еад и So , двух вырожденных колебаний ортогональными друг другу и нормированными (т. е., беря векторы смещения ri" и r/f каждого атома к, взаимно перпендикулярными и равными по величине), при одновременном повороте двух векторов смещения на угол ср (см. фиг. "Al, б) мы имеем [c.99]

В качестве примера рассмотрим такие нормальные колебания молекулы типа Xg (фиг. 38), которые являются перпендикулярными (антисимметричными) к плоскости молекулы. Только одно из таких колебаний, симметричное относительно оси, является ненастоящим колебанием, состоящим в переносе в направлении оси z (на фиг. 38 оно не показано). Другие колебания этого типа вырождены по отношению к этой оси. Легко заметить, что колебание, совершающееся параллельно оси, может быть вырождено только совместно с колебанием, также параллельным оси (так как в противном случае поворот на угол 2ix/jp не мог бы преобразовать одно из вырожденных колебаний в линейную комбинацию (2,75) двух первоначальных колебаний). Таким образом, векторы смещений отдельных атомов для двух взаимно вырожденных колебаний не перпендикулярны, а параллельны друг другу. Чтобы они были ортогональны [см. (2,18)] необходимо потребовать выполнения условия [c.108]

Эти смещения показаны на ф иг. 38,а как колебания и Они представляют собой, разумеется, настоящие нормальные колебания (которые являются взаимно ортогональными). При значениях угла 3, равных —72° и —144°, как непосредственно видно, получаются те же самые колебания, Что и при знача- [c.109]

Мы не будем здесь рассматривать общий метод нахождения формы нормальных колебаний. Однако легко видеть, что колебания, изображенные на фиг. 41, на самом деле удовлетворяют необходимым требованиям все три колебания и 7. имеют, очевидно, одинаковую частоту и ортогональны [c.113]

ТОЛЬКО ОДНО нормальное колебание типа симметрии и поэтому только одну координату симметрии этого типа симметрии, совпадающую с нормальной координатой (см. фиг. 53), одиако получается бесконечное число возможных координат симметрии типа Л,, из которых на фиг. 55, а выбраны две взаимно ортогональные. Действительные нормальные координаты являются линейной комбинацией этих координат симметрии. Конечно, с таким же успехом можно выбрать и другую пару координат симметрии, как это сделано на фиг. 55, б. Последние координаты являются координатами симметрии валентного типа (см. Вильсон [942] и стр. 186), так как в данном случае атомы движутся (поскольку это возможно) вдоль связей и перпендикулярно к ним. [c.166]

Определяющие ядра совокупности 149, 251 Оптические изомеры 38, 239, 243, 373 Ортогональное преобразование 107, 113, 118 Ортогональность нормальных колебаний и собственных функций 83, 108, 282 Основные комбинационные частоты 262, 235, 269, 279, 283 (глава III, 2г) интенсивность 275, 283 степень деполяризации 268, 291 Основные частоты, активные и неактивные в инфракрасных спектрах 259, 269, 279 Основные частоты (см. также отдельные молекулы и молекулы типа XY. и т. д.) 81, 90, 159, 163, 176 в испускании или поглощении 259 нумерация 182, 293 [c.618]

Вместе с тем получаемые здесь результаты имеют универсальный характер, поскольку, как это будет показано в главе V, ортогональность форм, нормальных колебаний многомассовых систем позволяет описывать их движение системой уравнений, каждое из которых совпадает по форме с уравнением движения системы, обладающей одной степенью свободы. [c.207]

Весьма важное значение в теории колебаний систем со многими степенями свободы имеет теорема об ортогональности нормальных колебаний системы. [c.244]

Перпендикулярность направлений главных колебаний в данном случае является следствием общего закона ортогональности нормальных колебаний, который изложен в 3. [c.250]

Ортогональность нормальных колебаний 263 [c.263]

При изгибных колебаниях балок смещения перпендикулярны оси балки. Для этого случая формула ортогональности нормальных колебаний имеет вид [c.263]

Для ТОГО чтобы из уравнений (35) и (36) определить постоянные а и />, используем свойство ортогональности нормальных колебаний. [c.265]

Суммируя теперь такие уравнения, составленные для всех масс системы и замечая, что на основании закона ортогональности нормальных колебаний [формула (27) ] [c.270]

Условия ортогональности и нормальные колебания [c.44]

Таким образом с учетом ортогональности нормальных форм колебаний система (5.181) приобретает вид [c.255]

Соотношения ортогональности для нормальных волн. При исследовании статики и динамики полосы многие авторы отмечали, что нормальные волны не ортогональны в обычном смысле. Непосредственной проверкой можно убедиться, что интегралы от —Н до Н от произведения функций, описывающих смещения и поворот полосы но поперечной координате для различных нормальных волн, рассмотренных выше, не равняются нулю. Даже в шарнирно опертой полосе нормальные волны не образуют ортогональной системы, так как волны с номерами 2и и 2 — 1 имеют одинаковое распределение смещений по поперечному сечению полосы (см. (6,56) и (6.58)). Это обстоятельство не дает возможности прямо вычислять коэффициенты разложения в ряды но нормальным волнам и затрудняет решение задач на вынужденные колебания. [c.201]

Решение многих задач, возникающих в твердых волноводах, в частности расчет их вынужденных колебаний, оказывается возможным, если найдено соотношение ортогональности в более широком смысле. В этом случае результирующее движение волновода можно искать непосредственно в виде разложения в ряд по нормальным волнам, а применение соотношения расширенной ортогональности позволяет вычислять неизвестные коэффициенты разложения. [c.202]

Рассмотренные выше методы исследования распространения свободных нормальных волн и вынужденных изгибных колебаний тонкой упругой полосы применимы к большому числу встречающихся на практике твердых волноводов. Общими являются п многие приведенные в этом параграфе закономерности наличие на любой частоте бесконечного числа комплексных нормальных волн, их полнота, расширенная ортогональность, Более подробно с распространением нормальных волн в твердых волноводах читатель может ознакомиться в работах [51—53, 56, 57, 59, 73, 84, 92, 99, 173, 193, 216, 239, 307, 369, 373]. [c.206]

Поскольку функции нормальных форм колебаний обладают свойством ортогональности [c.179]

Нормальные координаты, ортогональность нормальных колебаний. Обозначим составляющие смеидений частиц, относящиеся к первому, второму, 37V-мy нормальному колебанию, имеющему собственную частоту VJ, в некоторый момент времени, через [c.82]

Это—условие ортогональности нормальных функций, Мы встречали уже это условие в случае систем с несколькими степенями свободы (см. стр. 231), а также в случае продольных колебаний стержней (см. 47). Вследствие этого свойства свободные колебания, названные любыми начальными условиями, можно легко разложигь в ряд нормальных колебаний, а анализ вынужденных колебаний сводится к решению того же дифференциального уравнении, что и для <олебаниЙ систем с одной степенью свободы. [c.317]

В разделе 2 рассматриваются задачи третьей и четвертой груин. Вопросам расиространения упругих воли по инженерным конструкциям посвящена обширная литература [216, 239, 283, 300, 325, 352], поэтому авторы ограпичились сравнительно простыми конструкциями, но постарались применить наиболее общие методы расчета и обсудить ряд теоретических вопросов, с которыми приходится сталкиваться при расчете распространения волн практически каждой машинной конструкции. Главными из них являются диснерсия волн, определяющая характер распространения акустической энергии, и спектральные свойства конструкций. Исследуются также полнота и ортогональность нормальных волн в твердых волноводах. Значительное место отведено анализу щи1ближенных теорий колебаний топких стержней. По методам борьбы с вибрациями и шумами машин имеется особенно много публикаций [45, 71, 81, 136, 185, 281, 331, 353, 375, 376, 384]. Однако почти все они носят ярко выраженный прикладной характер, поэтому в книге излагаются теоретические основы методов ослабления акустической активности машин. [c.12]

Нормальные формы колебаний некоторых механических систем не являются ортогональными. Таковыми, например, являются резонансные формы струн и стержней, к концам которых присоединены зависящие от частоты импедансы, нормальные волны в твердых волноводах и другие. Неортого-нальность создает дополнительные трудности при расчете этих систем на вынужденные колебания и не дает возможности точно решить ряд практически важных задач. [c.6]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...