Соотношение ортогональности

При выводе (5. 3. 10) было использовано соотношение ортогональности между векторами (и -п ) = 0. Можно упростить правую часть (.5. 3. 10), используя тот факт, что поперечное сечение канала остается постоянным. Обозначим через Д разницу между значениями давления, осредненного по межфазной поверхности 3 и осредненного по объему фазы [c.195]

Из (4) следует, что g=S- . Обозначим Um( ) собственный вектор уравнения — + (/.,. ) = 0. Матрица Аш =Ытм удовлетворяет соотношениям ортогональности [c.163]

Это позволяет заполнить оставшуюся свободной часть табл. 6.5а и получить табл. 6.56. При этом одинаковые элементы этой таблицы объединяются. Таким образом, использование соотношений ортогональности заметно облегчает процедуру нахождения характеров неприводимых представлений. [c.138]

Из этих уравнений последнее удовлетворяется само собою, так как величина у постоянна, а правая часть исчезает в силу соотношений ортогонального преобразования координат. Два первых уравнения, следовательно, вместе с уравнением у = а являются условиями чистого качения ). [c.557]

Последнее равенство носит название соотношения ортогональности. Полиномы Чебышева — Эрмита с первыми порядковыми [c.47]

Коэффициенты разложения находятся путем умножения обеих частей (2.14) на Н х) и интегрирования по а в бесконечных пределах с использованием соотношения ортогональности (2.12) [c.48]

На рис. 3.9 показаны графики функций Лагерра (3.27). Эти функции убывают с увеличением задержки времени по экспоненциальному закону и представляют собой ортонормированную полную систему с соотношением ортогональности [c.95]

На основе соотношения ортогональности (3.28) коэффициенты находятся по формуле [c.96]

Соотношения ортогональности для нормальных волн. При исследовании статики и динамики полосы многие авторы отмечали, что нормальные волны не ортогональны в обычном смысле. Непосредственной проверкой можно убедиться, что интегралы от —Н до Н от произведения функций, описывающих смещения и поворот полосы но поперечной координате для различных нормальных волн, рассмотренных выше, не равняются нулю. Даже в шарнирно опертой полосе нормальные волны не образуют ортогональной системы, так как волны с номерами 2и и 2 — 1 имеют одинаковое распределение смещений по поперечному сечению полосы (см. (6,56) и (6.58)). Это обстоятельство не дает возможности прямо вычислять коэффициенты разложения в ряды но нормальным волнам и затрудняет решение задач на вынужденные колебания. [c.201]

Решение многих задач, возникающих в твердых волноводах, в частности расчет их вынужденных колебаний, оказывается возможным, если найдено соотношение ортогональности в более широком смысле. В этом случае результирующее движение волновода можно искать непосредственно в виде разложения в ряд по нормальным волнам, а применение соотношения расширенной ортогональности позволяет вычислять неизвестные коэффициенты разложения. [c.202]

Такой подход использовали многие авторы при решении различных задач теории упругости [131, 212, 362], в том числе статических задач для упругой полосы [145, 209, 251, 252, 262]. Общий метод, позволяющий формализовать процедуру получения соотношений ортогональности, был предложен М. В. Келдышем [179]. Он применим для широкого класса практических задач, в которых параметр к входит в дифференциальные уравнения в виде полиномов произвольной степени, но не содержится в граничных условиях. Метод Келдыша обобщается также на случай, когда параметр к входит в граничные условия линейно [52]. В работе [320] показано, что получаемые таким образом соотношения ортогональности тесно связаны с общими интегральными соотношениями теории упругости. [c.202]

Применим метод Келдыша к выводу соотношения ортогональности для изгибных нормальных волн в зажатой полосе [53]. Прежде всего следует преобразовать уравнение (6.23) в систему уравнений таким образом, чтобы величина —к = d jdx входила в них линейно. С этой целью можно ввести, например, переменные u =iW ж U2 = L w. Тогда [c.202]

При i Ф п первый множитель отличен от нуля и соотношение ортогональности для изгибных нормальных волн в зажатой полосе принимает вид [c.203]

Рассмотрим подробнее вынужденные колебания шарнирно спертой полосы. Решение уравнения (6.68) с применением соотношения ортогональности (6.73) в случае опертой полосы приводит к выражениям (6.74) и (6,75), которые при/(г/) =б(г/—г/о) определяют функцию Грина рассматриваемой структуры. При х = ,Хо и у = уо функция Грина равна входной динамической податливости Y полосы в точке хо, i/o). Поскольку сосредоточенную силу можно представить в виде суммы сил, симметричных и антисимметричных относительно оси х [c.205]

При свободных колебаниях системы с собственными частотами Рх и Ра уравнение (1. 30) определяет расширенное соотношение ортогональности для собственных функций у,, и у", которое при условии независимости коэффициентов вязкого трения от частоты совпадает с соотношением, полученным Фоссом [И]. [c.29]

Следовательно, в случае равенства коэффициентов вязкого трения соотношения ортогональности при растяжении и сдвиге такие же, как и для системы без демпфирования [c.29]

В литературе известны работы, в которых приводятся соотношения ортогональности для собственных форм некоторых систем. Наиболее известный результат таков [1] резонансные формы произвольного упругого тела ортогональны с весом р, т. е. [c.6]

Все отмеченные выше соотношения ортогональности [1—3] являются частным случаем общих формул Келдыша. [c.7]

В работе соотношение ортогональности Келдыша обобщается на случай, когда в граничные условия параметр X входит линейно. В качестве примера выводится соотношение ортогональности для движущейся струны со специальными граничными условиями. [c.7]

После этих преобразований нетрудно вывести соотношение ортогональности для /-ГО собственного вектора и/, соответствующего собственному значению X/, и п-го сопряженного собственного вектора отвечающего другому собственному значению, Х . Поступая обычным в этих случаях образом [4], т. е. умножая уравнение (4) слева на а уравнение (5) справа на Ц/, вычитая одно из другого и интегрируя в интервале [а, Ь], после взятия одного из интегралов по частям получаем [c.7]

Выводится соотношение ортогональности резонансных форм конечной струны, движущейся с постоянной скоростью, на одном конце защемленной и опертой другим концом на бесконечную струну. [c.109]

Отыскание следующего корня характеристического уравнения и ему соответствующих отношений X, Х2 ... Хл производится аналогичным образом после исключения какого-либо неизвестного из исходных уравнений. Исключение совершается посредством соотношения ортогональности [c.127]

Между двумя любыми формами ( х-й и v-й) собственных колебаний существует соотношение ортогональности [c.359]

При определении второй частоты собственных колебаний стержня намечают приближенно форму с ординатами /J имеющую один узел. Однако нужно иметь в виду, что между формами колебаний (Х-й и v-й, соответствующими различным собственным частотам, должны существовать соотношения ортогональности [c.401]

При определении высших критических скоростей необходимо иметь в виду, что каждая последовательная форма колебаний должна удовлетворять соотношениям ортогональности со всеми низшими формами. [c.413]

При получении выражений (8.43) и (8.44) приняты во внимание соотношения ортогональности для конечных рядов Фурье (см. гл. 1). [c.163]

М. ф. можно получить и как решения интегрального ур-ния они удовлетворяют соотношениям ортогональности, вытекающим из ур-ния (1) и граничных условий (2) и (3) я [c.75]

Задание веса р(д) и интервала (а, Ь) определяет полином Рл(д), удовлетворяющий соотношению ортогональности (1) однозначно, с точностью до нормировочного множителя. Для полиномов р (х) справедливо след, явное выражение в виде определителя [c.472]

Обобщенные соотношения ортогональности (32) и (34) имеют энергетический смысл. Входящие в эти условия билинейные формы аналогичны квадратичным формам кинетической и потенциальной энергии соответственно. Условие (32) называют условием ортогональности по кинетической энергии, условие (34) — ортогональности по потенциальной энергии. [c.60]

Разложение в ряды. Существует множество полных систем функций, по которым можно однозначно разлагать непрерывные достаточно быстро убывающие при больших х функции. Но не все такие разложения равнозначны для целей анализа. Наиболее удобным является такое разложение, которое имеет наилучшую сходимость и поэтому достаточно хорошо аппроксимирует данные функции плотности распределения конечным числом членов ряда. Таким образом, функции, по которым разлагаются заданные распределения, до.чжны быть похожими на разлагаемые функции и, кроме того, обладать удобным соотношением ортогональности для вычисления коэффициентов разложения. [c.47]

Полученное соотношение ортогональности (7) значительно облегчает процедуру разложения произвольных функций в ряды по собственным формам обобщенных краевых задач и решение неоднородных уравнений вида (1). Описанным здесь способом могут быть получены соотношения ортогональности для резонансных форм движушихся стержней и струн [6] с граничными условиями типа (И), для нормальных волн Лэмба [7] в толстом упругом слое, для волн в тонкой полосе [8] и, по-видимому, для нормальных волн любого твердого волновода. [c.9]

Приведен способ получения соотношения ортогональности собственных форм колебаний одного класса механических систем, которые описываются дифференциальным уравнением, содержащим комплексный параметр в виде полинома степени п, и граничными условиями, в которые этот параметр входит линейно. Соотношение ортогональности получается в виде равенства нулю скалярного произведения л-мерных векторов. Таким способом может быть установлена ортогональность нормальных волн в некоторых твердых волноводах, резонансных форм движущихся струн и стержней со специальными условиями опираиня на концах. [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...