Гиперповерхность

Функция F(xi..... Хт) в каждой точке пространства имеет определенное значение, следовательно, пространство является скалярным полем критерия оптимальности f (X) и функций ограничений 0<(Х). Функциям ограничений (6.6) соответствуют граничные гиперповерхности (в частном случае — гиперплоскости). Ограничениям (6.7) соответствуют гиперплоскости, выделяющие в пространстве определенную пространственную область. Если ограничения (6.6) и (6.7) представляют собой выпуклую область, то рещения задачи оптимизации будут со- [c.265]

Здесь Yj имеет смысл половины длины ребра гиперкуба, имеющего центр в точке U и вершину на гиперповерхности (6.52). Всего имеем m условий работоспособности и, следовательно, не более чем т вершин на границах Vo, [c.295]

Множество точек называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки множества, также принадлежит данному множеству. Функция многих переменных, заданная на выпуклом множестве, называется выпуклой, если отрезок, соединяющий любые две точки, лежит на ее гиперповерхности или выше. Если отрезок находится на гиперповерхности или ниже ее, то функция будет вогнута. [c.80]

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам осталось доказать лишь, что Е не может быть положительным числом. Предположим обратное, т. е. допустим, что >0. Условие = = > О выделяет в фазовом пространстве гиперповерхность S, и если в процессе движения > О, то это означает, что движение Р неограниченно приближается к поверхности S. Действительно, так как изображающая точка q t), q t)) при движении Р расположена в а-окрестности, то, выбирая произвольную последовательность моментов времени th o (k oo), [c.231]

Каждое уравнение выделяет гиперповерхность размерности п, а когда левые части этих уравнений линейно независимы, то пересечение всех соответствующих гиперповерхностей образует интегральную поверхность размерности л -Ь 1 — т. Необходимость доказана. [c.314]

Аналогичные рассуждения можно провести и для системы с тремя степенями свободы. Диаграмма зависимости потенциальной энергии от координат ql, qз явится гиперповерхностью в четырехмерном пространстве [c.389]

Предположим, что в пространстве Ек существует система изображающих точек М, которая в начальный момент времени вместе с начальными импуль-са.ми определяет некоторую многомерную поверхность Ра. Каждой точке М этой гиперповерхности можно поставить в соответствие многомерную поверхность Q Б соседних с М точках пространства Лм. Всей поверхности соответствует поверхность Р — огибающая поверхностей Q. Эта поверхность определяет состояние системы изображающих точек через промежуток времени At. Следовательно, с одной стороны, движение системы интерпретируется кик движение изображающей точки Л1 в пространстве Ек, а с другой — как последовательное преобразование плоскостного элемента, связанного в начальный момент времени с упомянутой поверхностью Ро. [c.363]

Равенства (30), (31) задают геометрический характер движения спи определяют уравнения траекторий и фазо юм пространстве (точнее, па гиперповерхности фазового пространства ff = h). Чтобы найти зависимость движения от времени, воспользуемся первым ид двух уравнений (24). Если в его правую часть подставить вели-чипы pi, Qj, Pi из (30) и (31), то получим dq. [c.246]

Условие (16.2.2) означает, что вектор о —а, где о — радиус-вектор любой точки внутри поверхности 5 , образует тупой угол с направлением вектора de . Если поверхность нагружения гладкая, то, повторяя рассуждения 15.2, мы убеждаемся в том, что вектор de направлен по нормали к поверхности нагружения. Сама поверхность располагается целиком по одну сторону касательной гиперповерхности и, следовательно, является выпуклой или по крайней мере невогнутой. [c.537]

Теорема (М. В. Якобсон, 1985). Существует окрестность отображения G в функциональном пространстве, обладающая следующим свойством. Пусть одномерное семейство диффеоморфизмов принадлежит этой окрестности и трансверсально пересекает гиперповерхность n W Тогда [c.85]

Требования общности положения. 1. На росток семейства в точке (О, 0) произведения фазового пространства на пространство параметров налагаются те же требования общности положения, что и в п. 2.1, гл. 1.2. На поле Vq налагается следующее нелокальное требование rnW =0. Другими словами, гомоклиническая траектория входит внутрь, а не в. край устойчивого множества. 3. Локальное семейство трансверсально пересекает гиперповерхность векторных полей с вырожденной особой точкой. [c.111]

Замечание. Все теоремы о бифуркациях вырождений коразмерности 1 имеют двойственные формулировки на языке однопараметрических семейств и на языке гиперповерхностей в функциональном пространстве. Ниже теоремы формулируются в основном на языке семейств. [c.112]

Справедливо заключение 2° теоремы пункта 4.3. А Эта теорема, в несколько иных терминах, сформулирована в [180], где дан набросок ее доказательства . Полное доказательство теоремы получено в [31] при дополнительном требовании на поле Vq (не повышающем коразмерности вырождения, но сужающем область рассматриваемых вырожденных полей на гиперповерхности коразмерности 1 в функциональном пространстве). Сформулируем это требование и заодно поясним механизм возникновения странного аттрактора. [c.119]

В этом параграфе описаны бифуркации при переходе через гиперповерхность в функциональном пространстве, состоящую из векторных полей с гиперболической особой точкой, имеющей гомоклиническую траекторию. Исследуется окрестность гочек общего положения на этой гиперповерхности как принадлежащих, так и не принадлежащих границе множества систем Морса—Смейла. [c.127]

Аналогичное явление срыва происходит и в других системах общего положения. В соответствии с общей теорией, потеря устойчивости положения равновесия системы уравнений общего положения, зависящих от параметров (в данном случае — уравнений быстрого движения), происходят на двух гиперповерхностях пространства параметров (в данном случае — пространства медленных переменных). [c.170]

Одна из этих гиперповерхностей соответствует столкновению устойчивого положения равновесия с неустойчивым, после которого оба положения равновесия исчезают (становятся комплексными). На медленной поверхности это явление наблюдается в нерегулярных точках (критических точках проектирования медленной поверхности на базу) в этих точках линеаризация быстрого уравнения в слое имеет нулевое собственное число. Например, для системы Ван дер Поля срыв происходит в точках вертикальности касательной к медленной кривой. [c.170]

Вторая гиперповерхность потери устойчивости соответствует переходу двух комплексно сопряженных собственных чисел линеаризации быстрого уравнения в положении равновесия из [c.170]

ПЛОСКОМ напряженном состоянии изображен на рис. 2. Геометрическую интерпретацию критерия разрушения можно распространить и на общий случай трехмерного напряженного состояния, когда он представляется гиперповерхностью в шестимерном пространстве. Ниже будут приведены параметры материала для-трехмерного напряженного состояния, но для сохранения геометрической наглядности будет рассматриваться лишь плоский случай. [c.407]

При п —1 замкнутая гиперповерхность (9) вырождается в совокупность двух точек на оси q, расположенных по разные стороны от начала О, а область G — в прямоугольник, расположенный внутри s-окрестности точки О (рис. 43). [c.196]

Геометрически каждое из этих уравнений представляет собой гиперповерхность в пространстве 3jV измерений. С-точка должна находиться в области пересечения всех этих гиперповерхностей, т. е. в подпространстве с числом измерений, равным = 3jV — т. Это подпространство является уже не плоским евклидовым, а искривленным римановым пространством. [c.45]

Далее, известно, что в гиперсферой с центром в q , q и радиусом г( 0) называется гиперповерхность (или многообразие 2я—1 измерений), определяемая уравнением [c.353]

Если над точками пространства Sn+l мы выполним какое-нибудь преобразование (обратимое), то оно поставит в соответствие двум каким угодно касательным друг к другу гиперповерхностям, т. е. гиперповерхностям, имеющим один общий элемент, две аналогичные гиперповерхности, так что это преобразование над точками точечное преобразование) можно рассматривать как преобразование над элементами (или, как обычно говорят, расширенное точечное преобразование). [c.266]

Отметим ряд особенностей задачи нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией. В общем случае заранее нельзя сказать о расположении точки, в которой функция F( ) принимает максимальное или минимальное значение. Эта точка может находиться как на границе допустимой области, так и внутри нее. Функция F(X) может достигнуть экстремального значения как в одной точке, так и на некотором множестве (гиперлинии или гиперповерхности). [c.266]

Если существуют какие-либо первые интегргипы уравнений движения, то эти интегралы выделяют в фазовом пространстве гиперповерхности, которым должна принадлежать фазовая точка в любой момент времени. [c.189]

Если все связи, наложенные на систему материальных точек, го-лономны, то в каждый фиксированный момент времени уравнения связей выделяют в конфигурационном пространстве соответствующие им гиперповерхности. Виртуальные перемещения в этом случае суть векторы сдвигов изображающей точки из исследуемого положения в другое, принадлежащие касательному пространству к пересечению указанных гиперповерхностей. [c.336]

Условие пластичности (15.1.4) может быть геометрически интерпретировано как уравнение поверхности в шестимерном или девятимерном пространстве, где координатами точек служат компоненты напряжений Оц. В первом случае учитывается симметрия тензора Оц и координат остается всего шесть, во втором случае равенства о,, = Оц не используются. Будем называть гиперповерхность, определяемую уравнением (15.1.4), поверхностью текучести. Для изотропного тела условия перехода в пластическое состояние должны определяться только главными напряжениями независимо от ориентации главных осей, поэтому условие пластичности можно записать в виде [c.481]

Дюлака формальной заменой, сохраняющей е. Затем отбрасываются члены достаточно высокого порядка по х (выше трех для н ля с мнимой парой и выше пяти для двух мнимых пар). Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. В классе таких семейств изучается версаль-ная деформация факторсистемы, соответствующей ростку е). Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства. [c.27]

Теорема. Пусть поле Vq удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Тогда в пространстве U) векторных полей на некоторой окрестности U кривой FIJO, наделенном топологией С , существует окрестность W поля Vo, обладающая следующим свойством. Окрестность W делится на две области гиперповерхностью В, проходящей через Vq, причем все поля, лежащие по одну сторону от В, имеют две особые точки вбли- [c.111]

Замечание 2. Положение равновесия консервативной системы будет устойчивым и в том случае, когда в этом положении потенциальная энергия П имеет нестрогий минимум, но в любой е-окрестнос1и положения равновесия существует замкнутая гиперповерхность [c.195]

Действительно, пусть по-прежнему в положении равновесия 1=. .. = = 0 и П(0,. .., 0) = 0. Кроме того, пусть уравнение гиперповерхности (9) выбрано так, чтобы для точек, расположенных внутри замкнутой гиперповерхности (9), выподнядось неравенство [c.196]

Рассмотрим в пространстве Aj состояний движения гиперповерхность Я= onst (изоэнергетическая гиперповерхность), записывая уравнение ее в виде [c.357]

Теперь теорема Дирихле, благодаря этим замечаниям, оказывается совершенно наглядной. Действительно, так как имеет место интеграл живых сил, то изображающая точка Р, в каком-нибудь возмущенном движении, уже не будет покидать гиперповерхность (5), на которой она находилась вначале, так что нужно только задать достаточно малым начальное возмущение, т. е. по существу постоянную с, соответствующую начальному состоянию движения Я,, чтобы точка Р бесконечно долго оставалась сколь угодно близкой к М. [c.357]

Геоидные оси 311 Гессиан функции Лагранжа 297 Гиперповерхность изоэнергетическая 353 [c.426]

Курс теоретической механики Том 2 Часть 2 (1951) -- [ c.266 , c.373 ]

Решение инженерных задач на ЭВМ (1982) -- [ c.138 ]

Электронные спектры и строение многоатомных молекул (1969) -- [ c.15 , c.445 , c.458 ]

Оптические вычисления (1993) -- [ c.177 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...