Блоховские волны

Из всего семейства С (к ), где к = к, к — g... и т. д., остается лишь одна константа, в силу чего блоховская волна превращается в волновую функцию свободного электрона. Этот предельный переход подтверждает правильность исходных посылок мы конструировали i 3(r) так, чтобы такой переход был возможен. Одновременно еще раз подтверждается сходство векторов к для нашего-случая и случая свободных электронов. [c.61]

Для нахождения блоховской волны с волновым числом К (здесь для простоты опущен нижний индекс г) требуется решить систему уравнений (6.1.17) с = К, К g, К Ig,. ... Поскольку мы снова имеем бесконечное число уравнений относительно А (К), А(К [c.174]

Здесь ось г перпендикулярна границам раздела слоев, а Л — период. Геометрия этой структуры изображена на рис. 6.3. Для нахождения блоховской волны, отвечающей векторам электрического поля, будем использовать процедуру, описанную в [2]. Общее решение волнового уравнения для вектора электрического поля можно [c.179]

Используя представление с помощью вектор-столбцов и выражение (6.2.5), условие периодичности (6.2.19) для блоховской волны можно записать в простом виде [c.184]

Из выражений (6.2.11) и (6.2.20) вытекает, что вектор-столбец для блоховской волны удовлетворяет следующему уравнению на собственные значения [c.184]

Режимы, при которых (А + D)/2 < 1, отвечают вещественному К и, следовательно, распространяющимся блоховским волнам. Однако в случае (А ч- D)/2 > 1 мы имеем А = т-к/Х -f- iK , т. е. в К присутствует мнимая часть и блоховская волна затухает. Эти области отвечают так называемым запрещенным зонам периодической среды. Частоты, отвечающие границам зоны, определяются из условия I А -f- D)/21 = 1. [c.185]

С помощью (6.2.5) и (6.2.23) блоховскую волну в слое 1 и-й элементарной ячейки можно записать окончательно в виде [c.185]

Дисперсионное уравнение (6.2.24) определяет блоховское волновое число К вдоль направления оси г для блоховской волны с частотой со и -составляющую волнового вектора. Эту дисперсионную зависимость можно представить в виде поверхности в трехмерном пространстве К,ку, со). Сечения этой поверхности пло- [c.185]

На рис. 6.15 представлена также дисперсионная зависимость ш(К), вычисленная с помощью формализма блоховских волн. Следует заметить, что теория связанных мод согласуется с формализмом блоховских волн. [c.217]

Соответствующий выбор блоховского волнового числа К позволяет теперь определить фазовую скорость блоховской волны [c.219]

В длинноволновом режиме распространения, когда вся структура ведет себя так, как будто она однородна, основная пространственная гармоника вносит преобладающий вклад в блоховскую волну и может рассматриваться в качестве очень хорошего приближения общей волны. [c.219]

В однородной среде групповая скорость представляет собой скорость переноса энергии квазимонохроматической волны и, следовательно, параллельна вектору Пойнтинга, который в однородной среде без потерь является постоянным. Вектор Пойнтинга блоховской волны, определяемый выражением (6.2.25), является периодической функцией координаты z. Однако групповая скорость (6.7.7) той же самой волны является постоянным вектором. Противоречие обусловлено тем, что в периодической среде поток энергии есть периодическая функция пространственных координат. Тем не менее мы покажем, что средняя скорость переноса энергии, определяемая выражением [c.219]

Тензоры электромагнитной восприимчивости предполагаются вещественными. В случае блоховских волн, распространяющихся в периодической структуре, величины S и (/ являются функциями, периодическими в пространстве. [c.221]

В предыдущих разделах мы рассмотрели некоторые наиболее важные характеристики блоховских волн, распространяющихся в периодической слоистой среде. Было получено точное выражение [c.222]

Одно из фундаментальных и замечательных предсказаний квантовой теории твердого тела.состоит в том, что в идеальном периодическом кристалле свободные носители должны распространяться без рассеяния. Электронная волновая функция представляет собой блоховскую волну вида 1 )(г) = (г)ехр(/к-г), для которой при данном направлении волнового вектора к справедлив квадратичный закон дисперсии [c.129]

Фиг. 8.1. Схема, иллюстрирующая волновые векторы волн, возникающих в кристалле, когда на его поверхность падает волна с вектором Ко-Показана ошибки возбуждения Сд для точек решетки Ь и аккомодация точка Лауэ 1 и волновые векторы для одной блоховской волны.

Некоторое представление об этой многолистной дисперсионной поверхности можно получить, рассматривая предельный случай уравнения (8.5) или (8.7), устремив в них к нулю все Тогда решением дисперсионного уравнения является х —Для всех А, т. е. дисперсионная поверхность представляет собой набор сфер (кд( = (х с центрами в каждой точке обратной решетки, как показано на фиг. 8.2, а. По мере того как недиагональные элементы матрицы (8.7) будут увеличиваться от нуля, точки или линии пересечения этих сфер будут видоизменяться, приводя к системе непересекающихся поверхностей, или ветвей дисперсионной поверхности, как показано в очень простом случае на фиг. 8.2, б для небольшой части поверхности. На каждой ветви дисперсионной поверхности нормаль к поверхности будет иметь две точки пересечения, так что если рассматриваются N точек обратной решетки, то будут существовать 2М пересечений и, следовательно, 2Ы блоховских волн. Из них N будут соответствовать рассеянию вперед и N рассеянию назад. Некоторые сложности возникают, в частности, для больших длин волн, т. е. для сфер Эвальда малого радиуса, когда дисперсионная поверхность пересекается с нормалью только в мнимых точках. [c.180]

В таком симметричном случае будут получены два одинаковых решения в виде блоховской волны, соответствующие двум ветвям дисперсионной поверхности. Однако с увеличением отклонения от условия Брэгга видно, что для одной из блоховских волн вектор Ц становится более близким к х волновому вектору падающей волны без дифракции, в то время как для другой волны к все больше и больше отклоняется от х. Следует ожидать, что значение к , наименее отличающееся от х, будет особенно предпочтительным, когда сила дифракционного эф- [c.182]

Случай прохождения через тонкую плоскопараллельную пластинку без рассеяния назад описывают волновым уравнением в кристалле с двумя блоховскими волнами с учетом соответственно упрощенных граничных условий на двух поверхностях. С помощью [c.184]

Результирующая волна в кристалле определяется суммой двух блоховских волн [c.185]

Блоховская волна эквивалентна представлению соответствующего волнового поля или моды. Значение амплитуды такого поля представляет сумму амплитуд преломленной и дифрагированной волн с учетом соответствующего сдвига фаз. Такое поле имеет пучности и узлы на атомных плоскостях и между ними. — Прим. ред. [c.195]

С помощью картины блоховских волн, прошедших через кристалл (фиг. 9.1), можно видеть, что, если поглощение имеет место при прохождении электронов вблизи атомов, две блоховские волны будут поглощаться по-разному. Поскольку вероятность нахождения электрона в определенном положении пропорциональна квадрату модуля волновой функции, электроны, описываемые блоховской волной 1, будут с большей вероятностью находиться в непосредственной близости от атомов и поэтому будут более сильно поглощаться (с коэффициентом поглощения цо+Цл). в то время как электроны, соответствующие блоховской волне 2, будут большую часть времени находиться между плоскостями атомов и поэтому будут меньше поглощаться (с коэффициентом поглощения [Хо—Цй)- Поэтому, когда электроны покидают кристалл, вклады от двух блоховских волн в дифракционный пучок не будут иметь одинаковую амплитуду и поэтому не смогут дать Интерференционные полосы максимального контраста. [c.204]

Собственные значения х дают величины для разных блоховских волн. Собственные векторы Ф имеют компоненты .. . , [c.217]

Блоховские волны и граничные условия [c.218]

Мы уже видели, что в общем существует конечное число решений уравнения (10.7). Решение с номером I дает амплитуды плоских волн, которые образуют блоховскую волну с номером I. Интенсивности дифрагированных пучков для любой реальной экспериментальной ситуации определяются распределением энергии между различными блоховскими волнами, которые в свою очередь определяются граничными условиями. Таким образом, чтобы получить амплитуды каждой волны в кристалле и, следовательно, амплитуды волн, выходящих из кристалла в вакуум, мы складываем блоховские волны с весовым множителем а, так, что амплитуда волны, соответствующей точке И обратной решетки, в блоховской волне I записывается как [c.218]

При условии что блоховские волны ортогональные и нормированные, Ч Г=0, если 1ф /, и =1- Тогда (10.12) при- [c.219]

Таким образом, множитель для амплитуд каждой блоховской волны является величиной, комплексно-сопряженной с нулевым коэффициентом Фурье этой блоховской волны. [c.219]

Дифракция ЖР-иалучения на совершенном кристалле благодаря регулярному расположению атомов крис-таллич. структуры носит динаынч. характер (динамич. дифракция см. Дифракция рентгеновских лг/ней). Это означает, что многократное рассеяние излучения на кристаллич. плоскостях сохраняет свои когерентные свойства, в результате чего амплитуда дифраги-ров. Волн становится сравнимой с амплитудой проходящей волны. Интерференция дифрагированных и проходящей волн приводит к образованию результирующего волнового поля в кристалле, к-рое может быть представлено а виде суперпозиции волн, получивших назв.. блоховских. Эфф. длина блоховской волны в кристалле принимает значение от единиц до десятков мкм, что существенно снижает требования к изготовлению ревтгенооптич. влементов. [c.348]

При распространении электромагнитного излучения в периодических средах возникает много интересных и потенциально полезных явлений. К ним относятся дифракция рентгеновского излучения в кристаллах, дифракция света на периодических изменениях механических напряжений, возникающих при прохождении звуковой волны, и запрещенная зона для света в слоистых периодических средах. Эти явления используются во многих оптических устройствах, таких, как дифракционные решетки, голограммы, лазеры на свободных электронах, лазеры с распределенной обратной связью, лазеры с распределенным брэгговским отражением, брэгговские отражатели с высокой отражательной способностью, акустооптические фильтры, светофильтры Шольца и т. д. В данной главе мы рассмотрим некоторые общие свойства электромагнитного излучения в периодических средах и общую теорию его распространения в слоистой периодической среде. Эта теория имеет весьма близкую формальную аналогию с квантовой теорией электронов в кристаллах и поэтому позволяет использовать понятия блоховских волн, запрещенных зон, затухающих и поверхностных волн. Наконец, мы обсудим применение этой теории для решения ряда хорошо известных задач, таких, как расчет коэффициента отражения от брэгговского зеркала, коэффициентов пропускания фильтра Шольца и оптических поверхностных волн. Кроме того, мы обсудим двойное лучепреломление за счет формы и его применение в дихроичных поляризаторах. Периодические структуры играют также важную роль в интегральной оптике, рассмотрение которой мы отложим до гл. 11. [c.169]

Поперечная функция (j ) в области между х - О п х - -t аналогична поперечной функции планарного волновода [см. (11.2,3)]. Новой особенностью здесь является блоховская волна в полубесконеч-ной периодической среде (х 0). Явный вид блоховской волны в областях с показателем преломления дается выражением (6.2.25) (замечание вместо z здесь нужно брать х). [c.517]

В разд. 6.9 мы показали, что на границе между однородной диэлектрической и периодической слоистой диэлектрической средами могут существовать поверхностные электромагнитные волны. Эти моды являются в действительности затухающими блоховскими волнами периодической среды. При данной частоте ш в такой структуре может распространяться большое число как ТЕ-, так и ТМ-мод. Покажем теперь, что поверхностные электромагнитные волны могут также существовать на границе между двумя средами, если диэлектрические проницаемости сред имеют противоположные знаки (например, воздух и серебро). При данной частоте существует лищь одна ТМ-мода. Амплитуда волны экспоненциально уменьшается в обеих средах в направлении, перпендикулярном поверхности. Эти моды называются также поверхностными плазмо-нами вследствие вклада электронной плазмы в отрицательную диэлектрическую проницаемость металлов, когда оптическая частота меньше плазменной частоты (т. е. ш < w ). Ниже мы получим характеристики распространения поверхностных электромагнитных волн. [c.528]

Таким образом, значения показателя преломления и волнового числа для двух блоховских волн будут отличаться (ср. фиг. 8.3). После того как эти две блоховские волны прошли через толщину Н кристалла, они будут отличаться по фазе на величину, пропорциональную Я(фй/ о)- Следовательно, когда оба вклада в дифрагированную волну в кристалле суммируются для образования дифрагированной волны в вакууме, они могут в зависимости от толш,ины либо усиливать, либо гасить друг друга. По мере того как толщина кристалла возрастает, дифракционная интенсивность будет меняться по синусоиде с периодом Я =х/Из того обстоятельства, что между прошедшей и дифрагированной волнами [c.195]

Мы видели раньше, что две блоховские волны имеют разные показатели преломления в кристалле и в связи с этим дают волны в вакууме от клиновидного кристалла, немного отличающиеся по направлению. При наличии поглощения дифракционное пятно будет расщепляться на две компоненты разной интенсивности. Максимально преломленная волна от блоховской волны 1 будет поглощаться наиболее сильно. Впервые это наблюдали и проанализировали Хондзо и Михама [204]. [c.204]

Две блоховские волны, как предполагалось на фиг. 9.1, имеют разные коэффициенты поглощения, так как для блоховской волны 2 электроны проходят между рядами атомов, а для блоховской волны 1 они в основном проходят в непосредственной близости от атомов н поэтому имеют ббльшую вероятность поглощения. Из уравнений (9.6) и (9.7) следует, что интенсивность, определяемая интерференционным (косинусным) членом в направлениях падения и дифракции, уменьшается за счет экспоненциального множителя ехр — 1оН в то же время член с гиперболическим косинусом в обоих случаях состоит из двух частей, которым соответствуют два эффективных коэффициента поглощения цо Цл- С увеличением толщины кристалла Н интенсивность, отвечающая наибольшему коэффициенту поглощения, убывает быстрее интенсивности, отвечающей интерференционному члену, и для достаточно больших толщин интенсивность определяется только коэффициентом поглощения fio—fi/i- В таком случае интенсивности в направлениях падающего и дифрагированного лучей будут одинаковы. При условии, что составляет значительную часть цо, интенсивность каждого из этих пучков легко может превысить интенсивность пучка для ориентации, не отвечающей условию дифракции, для которой коэффициент поглощения равен Сопроцесс поглощения рентгеновских лучей в сильной степени локализован, так как он возникает в основном при возбуждении электронов с внутренних оболочек атомов. Таким образом, фурье-преобразование функции поглощения будет очень медленно убывать с расстоянием от начала обратного пространства, и значение yif , соответствующее направлению дифракционного пучка, может оказаться гораздо меньше значения цо Для прямого направления. [c.211]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...