Теоремы второго метода

В случаях, когда задача об устойчивости не решается линейным приближением, необходимо использовать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости движения. [c.85]

Основные теоремы второго метода Ляпунова [c.428]

Если, однако, в качестве элемента траектории принять не вектор xi xq ( O о) oj ) i вектор-отрезок этой траектории xi xq ( O q), 0, i + 6 ) при—/г< <0, который будем обозначать символом ( 0 ), 0 )> и заменить функцию Ляпунова V х ("O ), t), определенную на векторе х, функционалом V (х ( б ), t), определенным на вектор функции X ("б ), то, как показал Н. Н. Красовский (1959), основные определения и теоремы второго метода Ляпунова весьма естественно переносятся на функционалы F, причем теоремы оказываются обратимыми. Так, например, теорема, соответствующая теореме II Ляпунова, формулируется следующим образом. [c.29]

В сочинении Ляпунова теоремы о неустойчивости называются второй и третьей. Но мы называем второй теоремой теорему об асимптотической устойчивости, а поэтому здесь теоремы о неустойчивости именуются третьей и четвертой теоремами второго метода. [c.83]

Рассмотренные выше теоремы второго метода Л. М. Ляпунова, устанавливающие достаточные признаки устойчивости или [c.87]

Следовательно, найденная функция V удовлетворяет всем условиям 4-й теоремы второго метода Ляпунова, и рассматриваемая теорема доказана полностью. [c.99]

Случаи, когда задача об устойчивости гамильтоновых систем не решается линейным приближением, будут исследованы в последующих главах. При исследовании мы часто будем использовать теоремы второго метода Ляпунова теории устойчивости движения. Приведем здесь некоторые определения и сформулируем необходимые в дальнейшем теоремы. Доказательство этих теорем можно найти, например, в [51, 95]. [c.27]

Теоремы I и III предыдущего параграфа можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. [c.344]

Рассматривая методы А. М. Ляпунова, следует признать, что второй метод имеет большую общность, чем первый. В частности, теоремы I и II, доказанные первым методом, можно доказать, применяя второй метод А. М. Ляпунова. Затруднения, возникающие при применении второго метода, зависят от отсутствия известных правил, которые позволили бы в конкретных задачах строить функции V А. М. Ляпунова. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопрос об общих методах построения функции V в различных задачах механики. Эти затруднения в настоящее время в значительной степени преодолены ). Начиная примерно с тридцатых годов XX в. появился также ряд исследований о существовании функций А. М. Ляпунова для определенных классов задач. [c.346]

Второй метод, называемый геометрическим, основан на применении правил геометрии и некоторых формул тригонометрии. Пользуясь этим методом, не следует стремиться точно построить чертеж, так как теперь он будет служить лишь для иллюстрации решения задачи о сложении двух сил, приложенных в одной точке. Из треугольника ABD согласно теореме косинусов найдем модуль равнодействующей [c.27]

Эта теорема есть частный случай первой теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости. Для доказательства ее необходимо привлечь рассуждения, примененные Ляпуновым при изложении им второго метода. См. А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, 1950, стр. 77 и сл. [c.423]

Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова. В теории устойчивости невозмущенное движение принято называть установившимся, если соответствующие ему дифференциальные уравнения возмущенного движения автономны [10]. В противоположном случае невозмущенное движение называют неустановившимся . В исследовании устойчивости движения автономных и неавтономных систем (установившихся и неустановившихся движений) имеются некоторые различия. [c.37]

Второй метод вычисления имеет преимущество концептуальной простоты, но его недостаток — в меньшей общности. В частности, источник сам может быть частично когерентным, и в этом случае теоремой Шелла можно пользоваться, но второй метод требует изменения нужно сначала найти эквивалентный некогерентный источник, который обеспечивал бы тот же самый комплексный коэффициент когерентности, что и реальный частично когерентный источник. [c.219]

Теорема 2 второго метода Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы (2) можно указать функцию У(/, х), удовлетворяюш ую условиям [c.430]

Поэтому заключаем, на основании теоремы второй прямого метода Ляпунова, что нулевое решение системы (2.48) устойчиво асимптотически. [c.111]

Для исследования устойчивости систем, которые не могут быть линеаризованы разложением по степеням отклонений обобщенных координат, имеются другие теоремы Ляпунова. Эти и выше рассмотренные теоремы приводят к методам решения задачи об устойчивости систем, названным вторым методом Ляпунова. [c.87]

Мы внесем как в формулировку теоремы, так и в ее доказательство некоторые изменения, не затрагивающие существа ее содержания, но лучше подчеркивающие ее непосредственную связь со вторым методом Ляпунова. Изменения будут заключаться в том, что мы будем рассматривать устойчивость равновесного состояния или покоя системы, предполагая, что в этом состоянии все обобщенные координаты и скорости системы равны нулю, и вести рассуждения, пользуясь представлением полной энергии в фазовом пространстве. [c.397]

С помощью второго метода Ляпунов получил необходимые и достаточные условия, при которых вопрос об устойчивости состояния равновесия исходной нелинейной системы (1.1) решается рассмотрением корней характеристического уравнения (1.35) линеаризованной системы (1.34). Именно, справедливы следующие теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.39]

Доказательство теорем 2.4 и 2.5 см. в работе [4] Регулярных приемов отыскания границ области G не существует, однако во многих случаях могут оказаться эффективными идеи второго метода Ляпунова. Именно, основываясь на геометрическом смысле функций Ляпунова, а также на теореме о предельной ограниченности, нередко удается построить кольцевую область G, о которой идет речь в теореме 2.5 (или же цикл С, о котором говорится в теореме 2.4). Дополнительные разъяснения см. в 2.8 и 2.13. [c.75]

Первый метод решения данной задачи несколько быстрее ведет к цели, но правильный выбор той или иной общей теоремы динамики существенно зависит от содержания задачи и требует некоторого навыка. Второй путь — составление уравнений Лагранжа — несколько более длинный, но является универсальным способом, применимым к любым системам, подчиненным идеальным голономным связям. [c.594]

Заметим, что при применении метода Рэлея требование удовлетворения функцией v z) всех граничных условий является излишним. Разрывы вторых производных функций и (г) соответствуют приложенным сосредоточенным моментам, разрывы третьих производных — сосредоточенным силам. Следовательно, если функция v z) непрерывна вместе с первой производной и удовлетворяет граничным условиям, наложенным на прогиб и угол поворота, она всегда может быть представлена как функция прогиба некоторой балки под действием распределенной нагрузки, сосредоточенных сил и моментов и доказательство теоремы Рэлея сохраняет силу. Будем называть граничные условия, налагаемые на v z) и v z) кинематическими условиями, а на момент и перерезывающую силу, т. е. на и" (z) и и " (z) — динамическими условиями. [c.203]

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор сравнительно легко получаются в общем виде построением функции Ляпунова, роль которой выполняет функция Гамильтона системы. Единственная трудность связана с. тем, что производная от функции Ляпунова в силу уравнений движения является лишь знакопостоянной, а не знакоопределенной функцией, поэтому, теоремы второго метода Ляпунова в этом случае нельзя применить без дополнительного исследования. [c.297]

Это дополнительное исследование делается ненужным в том случае, когда Яг есть знакоопределенная квадратичная форма. Действительно, тогда, по крайней мере при достаточно малых 1 /5 , характеристическая функция Я есть знакоопределенная функция и ее можно взять за функцию Ляпунова. Но, полагая V = Н, мы найдем в силу уравнений (2.34) V = О, откуда следует (по первой теореме второго метода Ляпунова), что невозмущенное движение устойчиво. А отсюда, наоборот, вытекает, что в этом случае все корни определяющего [c.103]

Доказанная теорема содержит в себе как частные случаи ] теоремы об устойчивости равновесных состояний, рассмотренньи в предыдущих параграфах. Следует отметить, что теорема Ляпу нова, как, впрочем, все общие теоремы второго метода, устанав ливает достаточные условия устойчивости невозмущенного дви жения. [c.414]

Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

Второй метод решения интегрального уравнения Фредгольма получается вследствие применения теоремы Гильберта — Шмидта, которая гласит о том, что всякая функция, представленная истокообразно при помощи ядра т (s) а (x s), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по фундаментальным функциям этого ядра. Эти функции есть кривые нормальных прогибов и в нашем случае данная теорема означает возможность разложения кривой прогибов и эксцентриситетов в ряд по формам колебаний рассматриваемого ротора. [c.187]

Второй метод (приближенный метод), заключается в том, что к целому отсеку пограничного слоя применяется теорема об изменении количества дьижения. Получаемое в результате соотношение носит название интегрального соотношения для пристенного пограничного слоя. Решение этого соотношения может быть выполнено, если задаться некоторым законом распределения скоростей в пограничном слое, а также выражением для напряжений трения на обтекаемой поверхности. Второй метод получил широкое применение. [c.77]

Второй метод основывается на принципах, не зависящих от разыскания каких-либо решений уравнений возмущенного движения он Ьостоит в построении некоторых непрерывных однозначных функций V х, t переменных и времени обращающихся в пуль при = О и удовлетворяющих определенным условиям. По признанию Ляпунова, на этот метод его натолкнуло изучение работы А. Пуанкаре О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями (1881—1885 русский перевод М.—Л., 1947). Основания второго метода выражены в данных Ляпуновым следующих четырех теоремах. [c.9]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

В своей статье Боми писал о книге Вильмо Насколько мне известно, господин Гюйгенс был первым, кто нам дал идею центробежных и центростремительных сил в своей отличной книге Маятниковые часы . Господин Ньютон после него изучил эти силы еще глубже. Иосле них господин Вариньон дал очень общие методы, касающиеся этого материала и опубликованные в различных статьях Мемуаров этой академии. Новая система или новое объяснение движения планет полностью основано на этой идее и рассмотрение этих видов сил дает автору книги возможность искусного объяснения движения небесных тел . Господин Ньютон в IV теореме второго раздела первой книги Начал доказывает отношение центростремительных сил для двух [c.209]

Первый метод представляет разыскание возможного интеграла в явной форме и основан на теореме Р. Лиувилля, которую мы ниже приводим. Второй метод Husson a есть метод малого параметра X, тот самый метод, который применен им для доказатель- ства теоремы Пуанкаре. Только при А = В Husson заменяет у , y" на Xi/i, >3 , Xy", не изменяя у , з и г. Оба доказательства являются очень длинными. [c.173]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Этот метод основан на второй теореме Кастильяно, сформулированной в разделе II, Б, Она устанавливает, что работа внутренних сил, совершаемая в процессе деформирования, должна иметь минимальное значение при условии выполнения уравнений равновесия. Рассматриваемый метод предусматривает определение полной работы Шт, состоящей из работы, совершаемой при осевом нагружении 1Р и изгибе 1Рд, и дифференцирование полной работы по неизвестным силовым факторам. Из равенства нулю этих производных можно получить уравнения для определения статически неопределимых силовых факторов. Если такими факторами являются осевая сила Р и момент М в элементе, то описанный метод моншт быть представлен следующими равенствами [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...