Динамические системы интегрируемость

Ускорение (28.20) тождественно удовлетворяет условие интегрируемости (28.8). Итак, функции А (t) к В (t) являются независимыми и рассматриваемая динамическая система имеет две степени сво-добы. [c.194]

Кроме того, функция распределения вероятности зависит только или от координаты или только от импульсов. В квантовой механике, ассоциируемой с волновой функцией ц , в отличие от классической механики, квантовое состояние определяется только или координатой или импульсом. И. Пригожин представил функцию квантового состояния ц/ как амплитуду вероятности, для которой соответствующая вероятность р задается произведение амплитуды ij (q) и ц/(я ). Так что, функция квантового состояния у есть функция двух наборов переменных либо координат q и q , либо импульсов р и р . В эволюции квантовых систем И. Пригожин отводит ключевую роль резонансам Пуанкаре, чуждым локальному описанию поведения системы на уровне траекторий. Пуанкаре рассмотрел динамическую систему как характеризуемую суммой кинетической энергии ее частиц и потенциальной энергии, обусловленной их взаимодействием. Если взаимодействие отсутствует (потенциальная энергия равна нулю), то траектория движения частиц описывается интегрируемыми функциями. Пуанкаре доказал, что динамические системы в большинстве случаев являются неинтегрируемыми. Он также [c.66]

Обсудим теперь вопрос об интегрируемости дискретной динамической системы В, 8). Эту систему естественно назвать интегрируемой, если найдется локально непостоянная функция Г ( интеграл ), инвариантная при подстановке 8 Г 8 г)) = Р г) для всех 2 е В. [c.303]

В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А. Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [144]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений принцип усреднения, КАМ-теория и пр. [c.15]

Рассмотрим теперь более тонкий вопрос о периодических траекториях Я-систем. В интегрируемых динамических системах, имеющих N интегралов движения при N степенях свободы, периодические траектории лежат на резонансных торах, определяемых [c.219]

Оказалось, что все точно решаемые, так называемые интегрируемые задачи принадлежат к классу специально подобранных сильно упрощенных задач. Большая же часть механических систем не интегрируема. Это не просто неумение найти решение в конечном виде, а факт сложного поведения динамической системы, поведения, похожего на хаотическое, случайное. Такое поведение, получившее название динамического хаоса, показано и проанализировано на большом числе частных примеров и представляется достаточно универсальным. Близкие траектории такого движения разбегаются в фазовом пространстве, т.е. они локально неустойчивы. Поэтому для описания фазового портрета, наряду с точным расчетом траекторий с помощью ЭВМ, могут быть использованы и статистические методы, если нас интересует поведение системы в течение достаточно длительного времени. [c.339]

Конкретная связь между теорией представлений и точно интегрируемыми нелинейными динамическими системами была установлена и эффективно использована для интегрирования этих систем также сравнительно недавно. Вместе с тем сама [c.5]

Как уже отмечалось выше, многие из рассматриваемых в книге одно- и двумерных систем как в классической, так и в квантовой областях имеют непосредственное отношение к конкретным задачам теоретической физики. Они описывают физические явления в реальных трех- или четырехмерном пространствах при определенных дополнительных условиях инвариантности, в таких, например, как сферическая симметрия стационарных конфигураций (одномерная задача) и цилиндрическая симметрия (двумерный случай). Кроме того, в многомерном случае существуют объекты, двумерные по своей природе (например, двумерные поверхности), описание которых приводит к точно интегрируемым двумерным динамическим системам. [c.7]

Точно интегрируемые системы. В соответствии с общей конструкцией, нелинейные уравнения, описывающие точно и вполне интегрируемые динамические системы в двумерном пространстве, получаются путем реализации представления (1.1) парой операторов А , принимающих значения в подпространствах а, а О, произвольной градуированной алгебры Ли . [c.124]

В настоящем параграфе рассматриваются точно интегрируемые динамические системы, которые возникают из двумерных типа (111.2,8) при определенных ограничениях на зависимость искомых функций от своих аргументов, например, = = о(г++ г = ), и описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (111.2.13). Их решения в классической области, как уже отмечалось ранее, могут быть получены из общих решений соответствующих двумерных систем путем подходящего выбора асимптотических функций, приводящего в окончательном выражении к правильной зависимости от одной (временной) переменной. Именно таким образом были получены явные формулы для решений одномерной обобщенной цепочки Тода (IV. 1.49). (В квантовой области ситуация существенно изменяется, поскольку коммутационные соотношения в одномерном и двумерном случаях разные.) [c.181]

При анализе нелинейных задач широко используются методы теории возмуш ений вместо исходной динамической системы изучается близкая к ней интегрируемая система, на которую действует возмущение . Характеризуя различие между этими системами малым параметром е и располагая невозмущенным решением, мы ищем возмущенное решение в виде разложения по степеням е. Например, в случае слабой нелинейности линейная система интегрируется непосредственно, а возмущенное решение можно получить в виде ряда. [c.81]

Здесь мы дадим количественную теорию явления синхронизации автоколебательных систем на примере лампового генератора, принципиальная схема которого проведена на рис. 16.2. Как довести исследование подобной конкретной нелинейной динамической системы до чисел Один пример мы уже рассматривали — это автоколебания в системе, где удалось разделить быстрые и медленные движения. Формально такое разделение можно сделать, если в уравнениях при старшей производной имеется малый параметр. Его присутствие позволяет во многих случаях (не только, конечно, при анализе автоколебаний) понизить порядок исходной системы — проинтегрировать ее по участкам быстрых и медленных движений. Следует заметить, что большинство методов, позволяющих довести решение конкретной нелинейной задачи до конца без применения численного счета на ЭВМ, связано с наличием в системе малого параметра, т. е. фактически с близостью исследуемой системы к другой, более простой, а точнее, интегрируемой (хотя бы и приближенно). Другой случай, когда удается решить задачу аналитически, — он наиболее часто встречается в физике и различных приложениях — это, когда исходная нелинейная система близка к линейному осциллятору или нескольким осцилляторам. При этом решение близко к набору синусоид, однако их параметрами, очевидно, будут уже не числа, а медленно изменяющиеся функции времени. [c.330]

В связи с анализом нормальных форм полезно иметь в виду следующее важное обстоятельство расходящееся преобразование Биркгофа может сходиться на некотором аналитическом инвариантном многообразии Л, содержащем положение равновесия. Возникающая при этом динамическая система на Л будет интегрируемой. Классический пример такой ситуации доставляет нам [c.256]

Известно (см., например, [8, 145]), что уравнения Эйлера (6) являются интегрируемой динамической системой, решения которой выражаются через эллиптические функции. Используя их, нетрудно получить выводы о характере движения жидкого гироскопа, в частности [c.30]

Консервативная динамическая системы с га = 2 степенями свободы не является вообще интегрируемой . Кроме того, лишь немногие из этих неинтегрируемых систем подвергались детальному исследованию. Наконец, вполне возможно, что эти анализировавшиеся неинтегрируемые системы частного вида не отражают тех характерных трудностей, которые могут возникать в общем случае ге = 2. [c.200]

Интересно, что имеются и иные причины, которые в данное время, по-видимому, наводят на мысль, что связь между динамическим взаимодействием и необратимостью может играть более глубокую роль, чем это мы могли себе представить до сих пор. Согласно классической теории интегрируемых систем, сыгравшей столь важную роль в разработке квантовой механики, все взаимодействия могут быть исключены при помощи соответствующего канонического преобразования. Возникает, однако, вопрос, действительно ли подобная система является истинным прототипом подлежащих рассмотрению динамических систем, в особенности в тех случаях, когда предмет исследования — системы, содержащие взаимодействующие друг с другом элементарные частицы Не должны ли мы попытаться посмотреть, что получится, если мы сначала прибегнем к неканоническому ее описанию, позволяющему на микроскопическом уровне по отдельности рассмотреть идущие в системе обратимые процессы, и лишь затем исключить обратимую часть, с тем чтобы получить описание хорошо определенных, но все еще взаимодействующих друг с другом элементов системы [c.153]

Если удается найти / независимых интегралов движения, то система называется интегрируемой. Тривиальным примером интегрируемой системы является система невзаимодействующих частиц с Ф( г ) = О в гамильтониане (1.1.2). Для интегрируемых систем решение уравнений движения можно найти в явном виде, так что динамическое состояние известно для сколь угодно больших интервалов времени. В общем случае уравнения движения могут быть решены приближенно, например, численными методами. [c.13]

Введение. Математические биллиарды — один из важных модельных объектов рассмотрения в теории динамических систем и ее приложениях [1-5]. В последнее время начались исследования биллиардов с медленно меняющимися параметрами (см., например, [6]). В данной работе рассматривается динамика в медленно вращающихся прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами. Рассматриваемые системы близки к интегрируемым, и для их изучения могут быть применены методы теории возмущений. В этих системах имеют место резонансные явления захват в резонанс и рассеяние на резонансе. При исследовании этих явлений ниже используются методы, развитые в теории гладких гамильтоновых систем с быстрыми и медленными переменными [7]. Результаты настоящей работы свидетельствуют, что эти методы могут успешно применяться и для исследования систем с ударами, какими являются биллиарды. [c.171]

Анализ причин неинтегрируемости гамильтоновых систем начнем с обсуждения обнаруженных сравнительно недавно грубых препятствий топологического характера. В работе [81] доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода х, х 2 не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы причиной является наличие большого числа неустойчивых периодических траекторий, на которых первые интегралы зависимы. Этот результат (не замеченный классиками из-за пристрастия к локальному рассмотрению динамических систем) обобщен в различных направлениях. Доказательство неинтегрируемости использует вариационные методы и тонкие факты из т ории особенностей аналитических отображений. [c.133]

Затем был поставлен вопрос о разыскании классов механических задач, интегрируемых подобно эйлеровой задаче о движении материальной точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, в квадратурах (системы Лиувилля), а также о разыскании каких-либо новых частных решений динамических задач, отличных от знаменитых частных решений задачи трех тел, отмеченных еще Эйлером и подробно изученных Лагранжем и Лапласом. [c.326]

Во-вторых, с точки зрения теории динамических систем, рассматривая систему (0.1)—(0.3),(4.1), делаем вывод, что она интегрируема. Вообще говоря, достаточно иметь для этого пять первых интегралов. Но поскольку система (0.1)—(0.3) -независимая подсистема третьего порядка в системе (0.1)— (0.3),(4.1), достаточно проинтегрировать эту подсистему, а затем подставить полученные функции в систему (4.1). При этом качественно находятся величины ф, х, у. [c.189]

Так как Ф принадлежит к первому классу, то [Ф, Ф ] равна нулю слабо и, следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для Ф первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой частя равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть имеется А независимых Ф первого класса и М независимых Ф любого класса. В фазовом пространстве (2М-мерное пространство переменных и р ) имеется (2N — М)-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все Ф-урав-нения. Назовем его (2N — М)-пространством. Состояние динамической системы для некоторого т задается точкой р в (2N — 7И)-пространстве, в. которой удовлетворяются все Ф-уравнения. Движение системы задается кривой в (2N — М)-пространстве, выходящей из точки р. Так как А и Ра произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом Л-мер-ном объеме, окружающем точку р. Такие малые окрестности измерений окружают каждую точку в (2N — М)-л1ерном пространстве. Покажем, что эти малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала т, дг = все V, кроме равного единице, равны нулю. То же самое предполагается относительно интервала 6г = в котором от нуля отлично только также равное единице. Тогда любая функция от р и д примет при замене т на т + е вид [c.716]

Полученная картина весьма привлекательна, однако не стоит проявлять из липший оптимизм Уравнение Гамильтона — Якоби является, вообще говоря, чрезвычайно сложным нелинейным уравнением. Лишь в весьма редких случаях его можно действительно репшть (это так называемые интегрируемые динамические системы). В таких случаях можно на самом деле указать набор подходящих N переменных действия и убедиться в существовании некоторого тора. [c.363]

Отмечены классы существенно нелинейных систем второго и третьего порядков, интегрируемых в трансцендентных (в смысле теории функций комплексного переменного) элементарных функциях [56, 91, 117, 216, 241, 244, 284, 285, 287, 292, 301]. Для примера такими являются пятипараметрические динамические системы, включающие в себя большинство систем, исследуемых в книге [c.33]

Эта задача оказывается эквивалентной многим другим интегрируемым динамическим системам, возникающим в различных разделах механики и физики, например, случай Клебша в уравнениях Кирхгофа, 1 гл. 3. [c.216]

Во введении (п. 12) уже обсуждались условия регуляризуемости фазового потока биллиардных систем в аффинных камерах Вейля корневых систем. Эти динамические системы оказываются интегрируемыми. Последнее обстоятельство тесно связано с полной интегрируемостью серии гладких гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием — так называемых обобщенных цепочек Тоды. Рассмотрим эти вопросы более подробно. [c.113]

Этому кругу вопросов, применительно к динамическим системам, были посвящены исследования Лиувилля, который установил общий критерий полной интегрируемости этих систем. Этот критерий заключается в требовании наличия необходимого числа (равного рангу системы) функционально независимых глобальных интегралов движения в инволюции. Важно отметить, что даже для одномерного случая знание вида таких интегралов не всегда позволяет явно проинтегрировать соответствующую систему в обычном смысле, т. е. описать в замкнутой форме ее эволюцию по начальным данным. Аналогичное утверждение имеет место и для двумерия задача Коши зачастую не имеет явного решения, тогда как явные выражения для динамических переменных системы могут быть получены в терминах асимптотических (или свободных) полей — ее динамических характеристик в бесконечно прошлом или в бесконечно будущем . Сказанное требует некоторого разъяснения. [c.6]

В предыдущем параграфе была предложена общая схе.ма. построения интегрируемых динамических систем в двумерном пространстве, связанных с произвольной градуированной алгеброй или супералгеброй Ли, и развит групповой метод нахождения их решений. Он позволяет получить замкнутые выражения. для решений, однако, ввиду отсутствия общего способа описания (определения структурных постоянных) алгебр Ли произвольного положения , сами уравнения не всегда удается представить в явной форме, а не в абстрактной (см. (1.4)). Кроме того, формулировка уравнений существенно зависит от выбора калибровочных условий. Вместе с тем нелинейные динамические системы, порождаемые локальной частью произвольной алгебры. Ли, градуировка которой согласована с целочисленным вложением в ней Зс -подалгебры Ai, удается записать в компактном. виде. Именно такие системы будут рассмотрены ниже. [c.124]

В настоящем параграфе методы теории возмущений применяются для построения явных выражений для рещений точно интегрируемых динамических систем. При этом важно подчеркнуть, что речь идет не о каких-либо приближенных результатах, а о точных выражениях, возникающих в результате суммирования рядов теории возмущений, которое для рассматриваемых систем удается довести до конца. Тем самым, преобразование Беклунда, осуществляющее связь нелинейной и соответствующей линеаризованной систем, приобретает явную формулировку. Им является каноническое преобразование, связывающее рещения некоторой нелинейной динамической системы с рещениями системы, возникающей из исходной при нулевом значении постоянной взаимодействия . (В простейшем случае в роли нелинейной и линеаризованной указанным образом систем выступают уравнения Лиувилля и Лапласа соответственно.) [c.177]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Недавно был предложен еще один метод проверки динамической системы на интегрируемость, использующий так называемое свойство Пенлеве. Последнее означает, что все подвижные особенности решения в плоскости комплексного времени являются только простыми полюсами. Подвижными называются особенности, зависящие от начальных условий. Абловиц и др. [4] показали, что существует тесная связь между уравнениями в частных производных, имеющими солитонные (интегрируемые ) решения, и соответствующими им обыкновенными дифференциальными уравнениями, обладающими свойством Пенлеве. Сегур [366] продолжил эти исследования и показал, что модель Лоренца для диссипативной системы (см. 1.5), обладающая в общем случае хаотическим по- [c.57]

С ТОКОМ. В таком поле частицы дрейфуют поперек магнитных линий, поэтому оно не может служить для удержания плазмы. Добавление азимутального тока приводит к появлению второй компоненты поля, так называемого полоидального поля (рис. 6.20). Магнитные линии результирующего поля лежат на торе и напоминают фазовые траектории интегрируемой динамической системы на рис. 3.1, а. [c.387]

Далее совершенно естественным является исследование движения более чем двух точечных вихрей, причем очень скоро становится ясно, что решение этой задачи будет гораздо более сложным. Аналогичному вопросу в случае гравитирующих материальных точек — знаменитой задаче трех тел — суждено было привести (попав в руки Анри Пуанкаре и других ученых) к первым намекам на то, что в настоящее время мы называем хаосом в динамических системах. Однако задача трех вихрей не связана с хаосом. Она принадлежит к семейству интегрируемых систем. Диссертация Грёбли заключалась в установлении этого факта и объяснении подробностей движения нескольких произвольно выбранных троек интенсивностей вихрей. В некотором смысле задача трех вихрей играет в вихревой динамике ту же роль, что и задача Кеплера двух тел в теории гравитационно взаимодействующих материальных точек. [c.687]

Предпосылки возникновения хаоса. Изученные выше интегрируемые случаи движения нескольких точечных вихрей представляют собой исключение в общем неинтегрируемом случае нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3.2). Неинтегри-руемость любых уравнений является обычным делом и до недавнего времени казалось, что разработанные многочисленные эффективные вычислительные алгоритмы — методы Рунге — Кутта, Адамса — Бошфорта и другие — полностью обеспечивают я ализ поведения динамической системы на любом промежутке времени. Однако, начиная с работы Э.Лоренца [170], в научное сознание глубоко вошла идея о возможности хаотического поведения в детерминированных нелинейных систем ах даже с малым числом степеней свободы. В работе исследовалась общая задача термоконвекции применительно к образованию крупномасштабных вихревых структур. Используя уравнения Навье — Стокса, записанные в так называемом приближении Буссинеска [103] , и раскладывая их по стандартной процедуре метода Бубнова — Галеркина, Э.Лоренц получил свою знаменитую систему трех обыкновенных нелинейных уравнений. При определенных значениях параметров, отражающих физические характеристики исходной задачи, найдены необычные, хаотические свойства ее решений, названные странным аттрактором . [c.157]

Из сказанного вытекает, что фактически понятие интегрируемой системы остается совсем неопределенным. Было бы неестественным связывать понятие интегрируемости динамической системы с возможностью ее приведения к квадратурам. Это видно не только из сказанного в 199, но также из примеров, показывающих, что возможность приведения динамической системы к квадратурам не является ни достаточным, ни необходимым условием для получения достаточной информации качественного характера о решениях этой системы (см., во-первых, 195—198 и, во-вторых, исследования геодезических многообразий на двумерных многообразиях отрицательной кривизны, упоминавшиеся в 127). Все это находится в согласии с высказываниями Пуанкаре, который относил системы не к интегрируемым или к неин- [c.178]

Интегрируемые и иеннтегрнруемые гладкие динамические системы. Иерархия стохастических свойств детерминированной динамики. ...............115 [c.113]

С точки зрения эргодической теории, описанная ситуация означает, что поток 5 , отвечающий гамильтоновой системе с функцией Гамильтона H(p,q) и инвариантной мерой dqdp, не эргодичен. Его эргодическими компонентами служат (mod 0) п-мерные торы, на каждом из которых индуцируется эргодический поток с чисто точечным спектром. И в более общем случае, если динамическая система не эргодична, а на почти всех, ее эргодических компонентах реализуется динамическая система с чисто точечным спектром, то мы будем называть ее интегрируемой. [c.115]

Тем не. менее, интегрируемость динамической системы следует считать исключением, а не правилом. Уже при малом возмущении достаточно общего вида функции Гамильтона полная интегрируемость гамильтоновой системы исчезает. Знаменитая теория Колмогорова—Арнольда—Мозера (J. Moser) (теория KAM, см. следующий параграф) утверждает, что иивари- [c.115]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых Новых методах небесной механики . В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. Мы приводим в приложении доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова Симметрии, топология и резонансы в гамильто- [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...