Компонента эргодическая

Компонента эргодическая 25 Конечный горизонт 195 Конфигурация с наименьшей энергией 120 [c.308]

В 1.2 на основании эргодической гипотезы утверждалось, что для определения эффективных свойств неоднородного материала не нужно проводить усреднение по ансамблю, а достаточно провести усреднение по объему образца V. В этом случае обе структуры (рис. 2.1) являются адекватными, так как обладают одинаковыми средними структурными характеристиками, а именно размерами включений и расстояниями между ними формой и объемными концентрациями условиями взаимодействия между компонентами. Заметим, что при вьщелении элементарной ячейки не обязательно переходить к упорядоченной структуре. [c.24]

Разложим движение спстемы на метрически неразложимые эргодические компоненты [c.216]

Таким образом, квазиклассическое квантование сводится в самом общем случае динамической системы к нахождению всех возможных энергетических серий, порождаемых эргодическими компонентами. На энергетической оси этп серии, вообще говоря не разделяются п сложным образом могут перекрываться друг с другом. [c.216]

Лемма 4.1.10 и теорема Шоке П 2.10 вместе дают следующий более силь ный результат о разложении на эргодические компоненты. [c.150]

Следствие 4.3.17 верно, даже если две меры взаимно не сингулярны. Это может быть доказано с помощью разложения меры на эргодические компоненты (см. теорему 4.1.12), которое дает единственное представление инвариантной меры как интеграла по эргодическим мерам (таким образом, множество инвариантных мер в сущности представляет собой симплекс). Однако зависимость метрической энтропии от меры довольно тонка, поскольку она нередко не является непрерывной (в слабой топологии). Сосуществование этой линейности с отсутствием непрерывности связано с тем обстоятельством, что даже на множестве эргодических мер энтропия не непрерывна например, слабый предел периодических атомарных мер может обладать положительной энтропией. [c.182]

Доказательство. Согласно вариационному принципу для энтропии (теорема 4.5.3) существует такая /-инвариантная борелевская вероятностная мера ц, что )>0. Пусть — разложение на эргодические компоненты меры /х по [c.665]

С иения независимые 173 ожение меры на эргодические компоненты 150, 182 [c.766]

Имеются эргодические биллиарды, не являющиеся рассеивающими. Регулярная компонента границы биллиарда, выпуклая вовне (внутрь) М, называется фокусирующей (рассеивающей). [c.148]

В работе Л. А. Бунимовича [47] приведены примеры эргодических биллиардов, у которых граница дМ вообще не имеет рассеивающих компонент. Самым популярным среди них является стадион его граница составлена из двух полуокружностей и двух касательных к ним отрезков (рис. 50). Этот биллиард выпуклый, а его граница имеет гладкость С (ср. с теоремой 4). [c.148]

На эргодические компоненты (см. ниже).— Прим. ред. [c.292]

Все эти разнообразные случаи охватываются общим понятием эргодической компоненты движения. Под эргодичностью же в физике понимается,-как показывает само название, эргодичность на энергетической поверхности.— Прим. ред. [c.294]

Существование инвариантной меры (сосредоточенной на аттракторе), позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы, было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и Крыловым (см. [447], т. ), с. 411). Инвариантная мера единственна, если существует только один аттрактор (одна эргодическая компонента движения (ср. п. 5.2а), или строгая эргодичность [486], с. 43). Равновесным распределением ниже в основном тексте называется инвариантное распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого аттрактора.— Прим. ред. [c.444]

Это означает, что спектр движения области является смешанным, т. е. имеет как дискретную, так и непрерывную компоненты, даже если спектр отдельной траектории является чисто дискретным. Отметим также, что изучение динамики области, точнее произвольной функции в фазовом пространстве, является одним из основных методов в эргодической теории (см., например, работу [486] и 5.2).— Прим. ред. [c.489]

При определении статистических характеристик турбулентности по данным реальных измерений вместо осреднения по статистическому ансамблю обычно приходится использовать осреднение по времени (предполагая тем самым, что регистрируемые измерительными приборами пульсации значений гидродинамических полей представляют собой реализации некоторых эргодических случайных процессов см. п. 3.3 и п. 4.7 части 1). Более того, на практике всегда приходится ограничиваться осреднением данных измерений лишь по некоторому конечному интервалу времени Т. При этом существенно, что если период осреднения Т будет выбран недостаточно большим, то средние значения будут неустойчивыми — они будут заметно меняться от измерения к измерению под действием компонент турбулентности, характерные времена которых не малы по сравнению с 7 (т. е. будет иметь место эволюция уровня рассматриваемого гидродинамического поля, о которой мы уже упоминали на стр. 361 части 1). Кроме того, если Т попадает в такой интервал периодов, в котором спектральная плотность колебаний во времени изучаемой гидродинамической величины не мала, то среднее значение, взятое по интервалу времени порядка Т, будет существенно зависеть от его длины. [c.414]

Эргодичность. Разложение иа эргодические компоненты. Раз личные типы перемешивания. . , . [c.5]

Разложение на эргодические компоненты. [c.24]

Т е о р е м а 3.2 (о разложении на эргодические компоненты,. [98], [37]). Для почти всех Сб динамическая система Р индуцирует на (С, цс) динамическую систему Тс, эргодическую относительно цс- [c.25]

Элементы разбиения называются иногда эргодическими компонентами. [c.25]

Теорема 1.6 (см. [20]). Если автоморфизм Т допускает циклическую аппроксимацию со скоростью /(п)=0/п, 0 2, то число его эргодических компонент не превосходит 0/2. [c.73]

Эргодические свойства гладких потоков на торе, имеющих неподвижные точки, могут быть существенно иными. В [26] построен пример гладкого потока с состояниями равновесия на двумерном торе, который обладает перемешиванием. Для потока Р без неподвижных точек на торе, заданного уравнениями вида (4.2) с непрерывными, но не обязательно гладкими правыми частями, спектр сопряженной с ним группы t/ может иметь как непрерывную, так и дискретную компоненту [27]. [c.75]

Следствия. 1) Для траекторного изоморфизма двух автоморфизмов необходимо и достаточно, чтобы измеримые разбиения на эргодические компоненты этих автоморфизмов были изоморфны. [c.93]

Это следствие получается стандартным способом надо установить изоморфизм разбиений на эргодические компоненты и применить к каждой из иих теорему. [c.93]

Теорема тем самым показывает, что в определенном смысле траекторный изоморфизм для группы Z оказывается мало содержательным никакие динамические инварианты (спектр, энтропия и др.) не сохраняются при траекторной изоморфизме что касается типа разложения на эргодические компоненты, то он является геометрическим инвариантом автоморфизма, так как, очевидно, не меняется при траекторной изоморфизме, и им исчерпывается перечень траекторных инвариантов. [c.93]

Приведенное выше описание показывает, как могут выглядеть отдельные эргодические компоненты стандартного ото бра-жения. При малых X инвариантные кривые Г/,я, образуют мно- жество положительной меры и поэтому Т имеет инвариантные множества положительной меры, на которых оно не эргодично. С другой стороны, при больших X численный счет и качественные соображения на физическом уровне строгости (критерий перекрытия резонансов Чирикова) показывают, что у Т есть-инвариантные множества большой меры, на которых оно обладает определенными свойствами стохастичности. Однако, соответствующего математически строгого результата не существует. [c.121]

Приведенная теорема показывает, что малое возмущение интегрируемой системы не эргодично и имеет инвариантное подмножество положительной меры, эргодические компоненты которого имеют чисто точечный спектр. Этим была, в частности, полностью опровергнута гипотеза, часто встречавшаяся в физических работах, о том, что многомерная нелинейная гамильтонова система общего вида эргодична. Заметим дополнительно, что строящиеся в теории KAM торы гладко зависят от параметра е/с. [c.122]

Следующее утверждение описывает разбиение на эргодические компоненты для мер Синая. [c.154]

В [31] приведены достаточные условия, обеспечивающие эргодичность S на Л. Оказывается, что если слоение (или W ) является локально непрерывным на Л (определение см. в [31]), то каждая эргодическая компонента Ai будет mod О открытым множеством. Поэтому, если S A топологически транзитивен, то [c.154]

В связи с этим рассеивающие биллиарды естественно относить к классу неравномерно полно гиперболических систем (см. гл. 7, 1). Можно показать, что построенные локальные многообразия обладают свойствам абсолютной непрерывности (см. гл. 7, 3). Отсюда, согласно общей теории для НПГ-систем (см. гл. 7, 3), сразу вытекает, что эргодические компоненты рассеивающего биллиарда имеют положительную меру, его энтропия положительна и на почти каждой эргодической компоненте поток Т является /С-потоком. [c.183]

Основные классы эргодических биллиардов с фокусирующими компонентами были изучены в работах [15], [56]. [c.190]

Отметим в связи с этим интересную работу [51], в которой численно исследовался переход от биллиарда в круге к биллиарду в стадионе, происходящий при непрерывной деформации границы области. В частности, в этой работе показано, что при. таком переходе метрическая энтропия возрастает, но не монотонно, что, по-видимому, связано с возникновением у системы в некоторый промежуточный момент рассматриваемого перехода нескольких эргодических компонент положительной меры. [c.191]

Поскольку вследствие макрооднородности напряженно-деформированного состояния поля микронапряжений и микродеформаций однородны в пределах структурных элементов, то осреднение по объему, эквивалентное для эргодических полей статистическому осреднению, может быть осуществлено с помощью объемных долей р( ) всех п компонентов [c.158]

Анализ рис. 6.11 и 6.12 показывает, что вид псевдоогибающей А (t) и спектральной плотности 5 (со) существенно зависит от принятого способа аппроксимации и обработки акселерограмм. Разброс результатов — естественное явление, если учесть, что они представляют собой в сущности статистические оценки. Эти оценки к тому же получены при дополнительных, трудно проверяемых гипотезах (мультипликативное представление нестационарного случайного процесса, эргодические свойства стационарной компоненты и т. п.). В условиях крайнего недостатка записей сильных землетрясений, большой изменчивости их параметров, зависящих от различных, порой не поддающихся учету факторов, разброс результатов обработки имеет второстепенное значение. Другие модели процесса сотрясений рассмотрены в работах [54, 98, 111]. [c.248]

Из соотношения (1.1) и табл. 1.1 следует, что для определения эффективных характеристик неоднородного материала (НМ) необходимо определить распределение физических полей во всех компонентах (столбцы 2 и 3), а потом уже перейти к квазигомогенной среде (столбец 4). Ясно, что это очень трудная задача, для решения которой требуется детальная информация о геометрии, ориентации и расположении всех составляющих компонентов неоднородного материала. Воспользуемся эргодической гипотезой, согласно которой среднее по объему совпадает со средним по ансамблям. Иными словами, допускается, что эффективные свойства неоднородного материала не зависят от исследуемого образца, пока все образцы материала имеют одинаковую в статистическом отношении структуру. Итак, для определения эффективных свойств НМ нужна только статистическая информация о его внутренней структуре, которая не одинакова для различных образцов, полученных при близких условиях. [c.6]

Здесь мы покажем (см. п. 4.1, 4.2 и приложение В), что система Лоренца отвечает простейшему лагранжиану суперсимметричного поля, компоненты которого представляют величины г/, Л, 5. В отличие от обычной полевой теории стохастической системы [39], где грассмановы компоненты суперполя играют вспомогательную роль переменных, не обладающих физическим смыслом, в рассматриваемом случае они задают управляющий параметр 5. С другой стороны, объединение переменных г , Л, 8 в вектор суперсимметричного пространства является отражением самосогласованного поведения синергетической системы (в отличие от статистической полевой схемы [39], где суперполе представляет не более чем удобное техническое средство). Исследование корреляторов суперполя, проводимое в п. 4.3, показывает, что в эргодическом состоянии компоненты таких корреляторов не являются независимыми наличие суперсимметрии обуславливает выполнение флуктуационно-диссипационной теоремы, связывающей указанные компоненты [39]. С включением за- [c.90]

Особенность изложенной самосогласованной схемы состоит в том, что она позволяет выйти за рамки адиабатического приближения. В условиях его применимости V < )(. критическая величина термического беспорядка определяется равенством (1.275). С ростом параметра взаимодействия происходит полное подавление эргодического состояния при величинах ь, превышающих критическое значение г с = 0,252. При этом существенным образом проявляются эффекты взаимно согласованного влияния компонент суперполя, и следует использовать зависимости типа представленных на рис. 25-30. [c.110]

П Ра. затем продолжаем на борелевскую сг-алгебру = 1 стандартным образом. Меры определяются аналогично. Меры /z и таким образом, по определению инвариантны относительно сдвига. Иногда меры-произведения называются бернуллиевскими мерами, и сдвиги, рассматриваемые как сохраняющие такую меру преобразования, часто называются бернуллиевскими сдвигами. Термин топологический бернуллиев-ский сдвиг для топологических динамических систем возник в результате имитации более распространенного термина, используемого в эргодической теории. Заметим, что, когда лишь одна компонента вектора р отлична от нуля, меры j, и fj. становятся атомарными, так что мы исключим этот случай. [c.166]

А. Н. Колмогоров [6] доказал, что для большинства начальных условий движение остается квазипериодическим (см. теорему 21.7). Отсюда следует, что системы (21.5) не эргодичны на поверхности Н = onst и что среди эргодических компонент имеются компоненты с дискретным спектром, дополнение к которым имеет настолько малую лебеговскую меру, насколько мало возмущение [c.95]

Начиная с 70-х годов, преимущества широкого изучения действия общих групп стали очевидными и соответствующая теория интенсивно развивалась в тесном взаимодействии с теорией представлений, теорией групп Ли и дифференциальной геометрией. При этом, в свою очередь, эргодические методы дали много нового и для теории групп Ли (например, в теории арифметических подгрупп Мостова—Маргулиса) и теории представлений. Особенно важно, что метрические задачи для групп R , групп движений и др. стали широко использоваться в математической физике. В самое последнее время активно изучаются действия бесконечномерных ( больших ) групп (например, групп диффеоморфизмов, токов и др.). Различие между локально к01мпактными группами и остальными в эргодической теории очень существенно, а именно, орбиты действия не локально компактной группы могут не иметь даже квазиинвариантной меры поэтому разбиение на орбиты, разложение на эргодические компоненты могут быть не определены корректно. Для локально компактных групп эти вопросы решаются так же, как и для групп Z и R. Здесь мы будем рассматривать лишь локально компактные группы. Остановимся на немногих общих вопросах определение действия групп, эргодические теоремы, характеризация дискретного спектра. [c.79]

С точки зрения эргодической теории, описанная ситуация означает, что поток 5 , отвечающий гамильтоновой системе с функцией Гамильтона H(p,q) и инвариантной мерой dqdp, не эргодичен. Его эргодическими компонентами служат (mod 0) п-мерные торы, на каждом из которых индуцируется эргодический поток с чисто точечным спектром. И в более общем случае, если динамическая система не эргодична, а на почти всех, ее эргодических компонентах реализуется динамическая система с чисто точечным спектром, то мы будем называть ее интегрируемой. [c.115]

Теорема 2.3 ([73]). Пусть Q — разбиение отрезка [0,1], порожденное точками разрыва и критическими точками, р,— эргодическая, f — инвариантная, абсолютно непрерывная мера с положительной энтропией h f). Тогда если Р эргодично при всех к, то естественное расширение эндоморфизма f изоморфно сдвигу Бернулли. В любом случае существует такое feo, что естественное расширение бернуллиевское на каждой эргодической компоненте, общее число которых конечно. Справедлива формула Рохлина для энтропии [c.214]

Предположим для простоты, что любая постоянная компонента поля, например среднее значение потенциала, исключена из рассмотрения, т. е. среднее значение равно нулю. Это среднее значение можно представить в виде интеграла по большодгу, но конечному объему V, в котором определен вектор К, или в виде интеграла по статистическому ансамблю очень большого числа одинаковых объемов в таком ансамбле величина в любой точке пространства принимает все возможные свои значения. Утверждение о равенстве двух указанных интегралов основывается на существовании эргодической гипотезы. [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...