Система Лиувилля

Действительно, для системы Лиувилля функция Гамильтона Н выражается равенством [c.653]

Пример 9.4.9. В случае системы Лиувилля (см пример 9.4.8) имеем [c.656]

Действительно, для системы Лиувилля [c.171]

Система Лиувилля ). В 17.2 мы видели, что система с двумя степенями свободы допускает разделение переменных, если ее кинетическая и потенциальная энергии имеют следующие выражения [c.329]

Общий характер движения можно представить себе совершенно так же, как и в простом случае двух степеней свободы. Появление радикалов в знаменателях соотношений (18.1.11) не является неожиданным. В случае либ-рационного движения знак перед радикалом Уф7-( г) выбирается следующим образом если qr возрастает, берется знак плюс, а если qr убывает — то знак минус. Более подробное исследование будет проведено в следующем параграфе, где рассматривается более общая система, чем система Лиувилля. [c.330]

Система Лиувилля. Теорема 26.7 особенно удобна для изучения системы Лиувилля, рассмотренной нами в 18.1. Система Лиувилля является натуральной системой с п степенями свободы. В простейшем случае имеем [c.540]

Системы Лиувилля. Переменные действие-угол [c.350]

Если задачу удается свести к одномерной, то говорят, что задача допускает разделение переменных. Мы проведем анализ следствий, вытекающих из разделения переменных, в более простом случае системы Лиувилля. [c.351]

Системы Лиувилля замечательны тем, что применение метода Якоби допускает интегрирование в квадратурах и описание движения не локально, а для всех моментов времени I, принадлежащих вещественной прямой. [c.360]

Кинетическая и потенциальная энергии системы Лиувилля имеют вид [c.267]

Затем был поставлен вопрос о разыскании классов механических задач, интегрируемых подобно эйлеровой задаче о движении материальной точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, в квадратурах (системы Лиувилля), а также о разыскании каких-либо новых частных решений динамических задач, отличных от знаменитых частных решений задачи трех тел, отмеченных еще Эйлером и подробно изученных Лагранжем и Лапласом. [c.326]

Мы будем рассматривать здесь класс задач с п степенями свободы, приводящихся к п задачам, каждая из которых имеет одну степень свободы. Речь идет о так называемых системах Лиувилля. [c.170]

Инвариантность фазового объема. Теорема Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р произвольную замкнутую область и рассмотрим какую-либо точку А этой области. Выбор точки фазового пространства предопределяет значения всех обобщенных координат и импульсов, и поэтому можно предположить, что начальные данные системы в некоторый момент времени /о задаются точкой А. Применим это рассуждение ко всем точкам Л,- области So, т. е. будем считать все точки этой области начальными в момент времени /о- [c.300]

Приступим теперь к доказательству теоремы Лиувилля. Эта теорема сразу следует из свойства любых решений гамильтоновой системы, которое устанавливает следуюш,ая Лемма. Пусть [c.302]

Перейдем к изучению инвариантов систем канонических уравнений Гамильтона, получающихся интегрированием по объему фазового пространства. Сначала докажем теорему Лиувилля об интегральном инварианте произвольной системы дифференциальных уравнений. Пусть движение точки пространства Л переменных х, .., ,Хт задано с помощью следующей системы дифференциальных уравнений [c.668]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

В настоящей, второй книге курса рассматриваются неравновесные системы многих частиц. Изучение таких систем является более сложной задачей. При решении этой задачи также возможны два различных подхода неравновесно-термодинамический и молекулярно-кинетический. Первый подход представляет собой обобщение термодинамики на неравновесные процессы, а второй— исходит из основного уравнения статистической физики — уравнения Лиувилля, частное решение которого уже использовалось в теории равновесных систем. [c.5]

Описание неравновесной системы с помощью зависящей от времени многочастичной функции распределения является наиболее полным. Уравнение Лиувилля для этой функции в принципе позволяет воспроизвести результаты неравновесной термодинамики и теории, использующей простые вероятностные предположения о случайном поведении системы. [c.5]

Решение уравнения Лиувилля представляет собой столь же сложную задачу, как и решение уравнений механики для системы многих частиц. Однако оно позволяет получить более простые уравнения для вероятностей нахождения одной или нескольких частиц в элементах соответствующего фазового пространства. Исследование свойств молекулярных систем с помощью функций распределения комплексов частиц составляет содержание метода Боголюбова. [c.36]

В отличие от изложенных выше физических предположений в данном выводе необратимость вносится в уравнение Лиувилля с помощью специального приема (связанного с идеей сокращенного описания системы), состоящего в введении в уравнение Лиувилля бесконечно малого ( е- 0+) источника, задающего граничное условие в бесконечно удаленном прошлом ( ->—оо). Соответствующие решения при е О удовлетворяют обычному уравнению Лиувилля и в то же время позволяют описать неравновесные процессы. [c.58]

Функция распределения возмущенной системы подчиняется уравнению Лиувилля [c.165]

Важным достоинством рассматриваемого метода является его большая общность, или универсальность. В частности, с неболь-щими очевидными изменениями он непосредственно обобщается на квантовый случай. В этом случае гамильтониан возмущенной системы представляется в виде (9.1). Причем оператор возмущения Йi t=- x>=0 аналогичен (9.2), и вместо уравнения Лиувилля (9.3) необходимо использовать его квантовый аналог — уравнение Неймана [c.169]

Так как каждая такая система изображается некоторой точкой в фазовом пространстве, то ансамблю этих систем в фазовом пространстве будет соответствовать некоторое множество точек. В теореме Лиувилля рассматривается плотность этого, множества в какой-либо из его точек и доказывается, что при движении систем, составляющих ансамбль, она не изменяется. [c.294]

Все же важно уже теперь отметить, что на основании общей теоремы Лиувилля, которую мы уже упоминали в п. 10 и доказательство которой отложили до 7 гл. X, задача 6 движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, будет интегрироваться только в квадратурах во всех тех случаях, когда для системы уравнений (34 ), (35 ) возможно указать первый интеграл, отличный от первых интегралов живых сил и моментов. [c.104]

С точки зрения применения к конкретным задачам особую важность имеет случай, когда т = п, или случай, когда интегрирование канонической системы может быть сведено к операции нулевого порядка, т. е. к конечным операциям и к квадратурам. Мы ограничимся здесь доказательством теоремы С. Ли для этого частного случая, который известен под названием случая Лиувилля ) ). [c.311]

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов /j, Д . .., / i, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции Д, [c.314]

Случай интегрируемости Лиувилля. Интегрирование канонической системы было сведено в 6 к определению полного интеграла для соответствующего уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.338]

Система Лиувилля впервые рассматривалась в Journal de math., XIV, 1849, стр. 257. Интегрирование можно выполнить непосредственно с помощью уравнений Лагранжа, не прибегая к теореме Гамильтона — Якоби см., например, Уиттекер [27]. Другое элементарное доказательство см. далее в этой книге ( 26.9). [c.329]

Система Лиувилля представляет собой частный случай системы Штеккеля чтобы убедиться в этом, положим = %,г1Рт и напишем матрицу и в форме [c.335]

Такое сведение можно сделать, например, в задаче С. В. Ковалевской, в задаче двух центров, в системах Лиувилля (гл. IX). Приведение системы дифференциальных, уравнений (1) к виду ф1 = LJi, ф2 = UJ2, i 2 = onst, выполненное е 1, фактически является эффективным способом введения переменных угол . [c.171]

Остановимся лишь на рассмотрении практически важного случая Лиувилля. Если в голономиой системе с л степенями свободы кинетическая и потенциальная энергии имеют вид [c.167]

Теорема Штеккеля (Stae kel). Штеккель в omptes rendus (1893) указал обобщение теоремы Лиувилля. Это обобщение применимо к системе, зависящей от к параметров, но чтобы не осложнять обозначений, мы изложим ее для случая трех параметров. [c.375]

Метод Лиувилля приведения произвольной системы диффер-н-циальных уравнений к канонической форме. Даны обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида [c.429]

Это свойство канонической системы, замеченное Лиувиллем ), имеет основное значение в статистической механике и в ее при- [c.294]

Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы теории канонических систем, которая формулируется следующим образом (теорема С. Ли) если для канонической системы порядка 2я известны т интегралов, независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же переменных р, то ранг системы, от которого зависит определение общего реигения, понижается на 2т единиц (вместо т) и интегрирование данной системы сводится к интегрированию другой системы, тоже канонической, с п — т парами сопряженных яе-ременных. [c.311]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...