Цепочка Тоды обобщенная

О. И. Богоявленский предложил рассмотреть обобщенные цепочки Тоды. Их динамика описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом [c.52]

Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды [c.346]

Систему с гамильтонианом (4.1) назовем обобщенной цепочкой Тоды, если выполнены следующие условия [c.346]

Сюда относятся обычные замкнутые цепочки Тоды и их интегрируемые обобщения, найденные в работах [176, 180]. [c.346]

Рассмотрим более подробно обобщенные цепочки Тоды с максимально возможным числом Ковалевской к = г+ 1. В этом случае условия 1) и 2) теоремы 1 принимают следующий вид [c.347]

Теорема 1 позволяет перечислить в явном виде все обобщенные цепочки Тоды с максимально возможным числом Ковалевской. Это перечисление, по существу, сводится к классификации систем 71 -Ь 1 векторов а[,.. ., а 1 в 7г-мерном евклидовом пространстве, для которых [c.348]

Полная интегрируемость обобщенных цепочек Тоды в случае, когда а,,. .., а 1 принадлежат пополненным системам простых корней, установлена в работе [180]. В [176] этот результат обобщен на системы векторов, удовлетворяющих условиям а) и б) п. 2. Классификация таких систем представляет родственную, но более сложную задачу [c.350]

Можно указать простые необходимые условия однозначности общего решения систем с экспоненциальным взаимодействием (их частный случай — обобщенные цепочки Тоды из п. 1) и связать их с наличием дополнительных полиномиальных интегралов. Рассмотрим гамильтонову систему с функцией Г амильтона [c.355]

Условия существования к дополнительных хороших полиномиальных интегралов степени т 2 интересно сравнить с условиями существования к полных семейств мероморфных решений. Такое сравнение проще всего осуществить для обобщенных цепочек Тоды, у которых N= п + 1. С этой целью рассмотрим (п+ 1) X (п+ 1)-матрицу L с элементами L j = 2(oj-, ау)/(а , а ) (г ф j), Ьц = 0. Если имеется к дополнительных к интегралу энергии независимых квазиоднородных интегралов степени m 2, то, согласно результатам 9 гл. II, в каждой строке матрицы L найдется по меньшей мере к целых неположительных чисел. Если же число Ковалевской такой системы не меньше f , то по теореме 1 в матрице L имеется по крайней мере к строк, все элементы которых являются целыми положительными числами. Эти условия совпадают лишь при f = п + 1. [c.357]

Было бы интересным указать явный вид метрик с неприводимым интегралом произвольной степени п 5. Метрику с интегралом шестой степени можно построить следующим образом. Рассмотрим обобщенную цепочку Тоды с гамильтонианом (4.10), в котором коэффициенты г з или равны нулю. Этот гамильтониан имеет вид (6.1), а соответствующие уравнения Гамильтона допускают полиномиальный по импульсам интеграл степени п = = 6. Остается применить предложение 1. Пока не известны явные примеры метрик с интегралами степени п 7. [c.405]

Мы будем рассматривать матричные обобщения 2-мерных А -цепочек Тоды как периодические, так и непериодические. Подробно будут разобраны возникающие при п=1 матричные уравнения Лиу-вилля и синус-Гордона. Будет исследована алгебраическая структура соответствующих им линейных задач (41, 44, 45]. [c.37]

В заключение этого параграфа обсудим связь биллиардных систем в аффинных камерах Вейля корневых систем с обобщенными цепочками Тоды. Напомним, что цепочкой Тоды [72] называется гамильтонова система с функцией Гамильтона [c.115]

Цепочки Тоды допускают естественное обобщение, найденное [c.117]

Согласно результатам 3 гл. 1 при N—>-оо решения этой системы неограниченно приближаются к движениям биллиардной системы в камере 1 а. Нетрудно проверить, что полиномиальные интегралы обобщенной цепочки Тоды переходят при N— -оо в полиномиальные интегралы биллиардной системы. [c.117]

В работах [39] показано, что для обобщенных цепочек Тоды функции [c.117]

IV. 1. Обобщенная (конечная непериодическая) цепочка Тода [c.139]

В этом параграфе, следуя общей конструкции гл. III, мы построим в явном виде общие рещения (в смысле задачи Гурса) системы (III.1.9), т. е. уравнений (1.1), в которых матрица к совпадает с матрицей Картана произвольной конечномерной простой алгебры Ли над полем С. Тем самым, будет полностью описана двумерная обобщенная (конечная непериодическая) цепочка Тода. Другой важный частный случай системы (1.1), когда к совпадает с матрицей Картана бесконечномерной простой алгебры Ли конечного роста, связанной с периодической цепочкой Тода, рассматривается в гл. V, VI. [c.140]

Построение точных решений на основе общей конструкции гл. 1П ). Согласно общей схеме III. 2 решение системы (III. 1.9) в случае конечномерной простой алгебры Ли , описывающей двумерную обобщенную цепочку Тода с закрепленными концами (ро = рг+1 =—оо), полностью определяется групповым элементом Ж (III. 1.16). При этом в соответствии с канонической градуировкой уравнения (III. 1.25) для элементов Л+(2 ) переписываются в виде [c.141]

Одномерная обобщенная цепочка Тода ). Здесь мы построим общие решения одномерной обобщенной цепочки Тода с закрепленными концами, описываемой системами обыкновенных дифференциальных уравнений (1.2) или, что эквивалентно уравнением [c.153]

Наиболее простой способ получения явных выражений для решений одномерной обобщенной цепочки Тода состоит в нало- [c.156]

Формула (1.49) решает задачу интегрирования классической одномерной обобщенной цепочки Тода с закрепленными концами, т. е. системы (1.42) со знаком плюс . Для решения системы (1.42) со знаком минус функции ф /(г ) следует параметризовать в виде ф /(2 +)== с /ехр( /П/г ). При этом формула (1.49) сохраняет свой вид с тем лишь изменением, что г заменяется на t, а множитель (—1) исчезает. [c.157]

В настоящем параграфе рассматриваются точно интегрируемые динамические системы, которые возникают из двумерных типа (111.2,8) при определенных ограничениях на зависимость искомых функций от своих аргументов, например, = = о(г++ г = ), и описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (111.2.13). Их решения в классической области, как уже отмечалось ранее, могут быть получены из общих решений соответствующих двумерных систем путем подходящего выбора асимптотических функций, приводящего в окончательном выражении к правильной зависимости от одной (временной) переменной. Именно таким образом были получены явные формулы для решений одномерной обобщенной цепочки Тода (IV. 1.49). (В квантовой области ситуация существенно изменяется, поскольку коммутационные соотношения в одномерном и двумерном случаях разные.) [c.181]

ОБОБЩЕННОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЦЕПОЧКИ ТОДА [c.192]

Предлагаемая конструкция носит общий характер, однако, в целях ее конкретизации мы ограничимся изложением на примере обобщенной периодической цепочки Тода. [c.192]

Напомним, что уравнения, описывающие периодическую обобщенную цепочку Тода, [c.192]

Эти два свойства позволяют классифицировать обобщенные цепочки Тоды с к = 71+1. Цепочку назовем полной, если к гамильтониану (4.1) нельзя добавить экспоненциальное слагаемое мехр(Ь,а ), и О, 6 а (1 < У < М), не нарушая условий ( )-(Ш) из п. 1, а также условий 1), 2) теоремы 1. Ясно, что любая обобщенная цепочка, для которой к = 7г + 1, получается из некоторой полной цепочки, если отбросить часть векторов вида а.,/2, 1 <. 5 < г + 1. [c.347]

В свою очередь, эта задача тесно связана с теорией корневых систем, играющих важную роль в современной математике (конечные группы отражений евклидовых пространств, полупростые алгебры Ли и т. д. см., например, [35]). Неожиданная связь между вполне интегрируемыми обобщенными цепочками Тоды и корневыми системами, подмеченная впервые О. И. Еюгоявленским [180], выглядит весьма таинственной. [c.348]

Козлов В, В,, Трещёв Д. В, Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды // Матем. заметки, —1989, т, 46, 5, 17-28, [c.421]

Перейдем теперь к рассмотрению периодических цепочек Тоды. В этом случае совокупность операторов Х< , по которой проводится суммирование в правой части уравнения (3.1), и совркупность операторов входящая в правую часть уравнения (3.2), включают в себя 1ЮМИМО операторов, отвечающих положительным и отрицательным простым корням, еще по одному оператору, отвечающему соответственно максимальному отрицательному, и положительному корням. ° В случае алгебры эти операторы Х-м и Хм имеют вид Х-м = АГп+1 = Бп+1,1] Хм = Х ( 4-1) = Яд - = г,+1.п+1 — 1.1-Функции/ иф , г = 1,.. .,п-Ь 1, связаны межд) со й соота М ф = где — обобщенная матрица Картана алгебры Ла, лф удовлетворяют уравнениям [c.33]

Во введении (п. 12) уже обсуждались условия регуляризуемости фазового потока биллиардных систем в аффинных камерах Вейля корневых систем. Эти динамические системы оказываются интегрируемыми. Последнее обстоятельство тесно связано с полной интегрируемостью серии гладких гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием — так называемых обобщенных цепочек Тоды. Рассмотрим эти вопросы более подробно. [c.113]

В дальнейшем при изучении задачи квантования обобщенной цепочки Тода потребуются явные выражения для так называемых векторов Уиттекера, введенных Костантом. Канонически они определяются как собственные векторы оператора сдвига основной серии унитарных представлений полупростой (или редуктивной) группы Ли С, [c.110]

Заметим, что, как это ни парадоксально на первый взгляд, двумеризованный вариант системы (обобщенной цепочки Тода) в классическом и квантовом случаях (последний рассмотрен в гл. VII) допускает существенно более простые по сравнению с соответствующими обыкновенными дифференциальными уравнениями методы рещения, т. е. методы явного интегрирования. При этом общие рещения одномерных классических систем получаются достаточно просто из двумерных для квантовых систем ситуация более сложная. [c.141]

Из этих формул можно получить решение задачи Гурса для двумеризованной обобщенной (конечной непериодической) цепочки Тода. Действительно, подчиним элементы начальным условиям Ж+ а+)=1, (а )=1, где а+ и а — произвольные числа. Тогда из (1.11) следует, что [c.143]

Граничная задача (инстантонные и монопольные конфи гурации) ). Знание явных выражений для общих решений (IV. 1.11) обобщенной цепочки Тода позволяет эффективным образом использовать их при изучении нелинейных эффектов конкретных физических приложений, описываемых уравнениями (III. 1.9) при тех или иных граничных условиях. Здесь мы ограничимся рассмотрением применения этих решений к задаче выделения инстантонных и несингулярных монопольных конфигураций при минимальном вложении Л] в калибровочную группу G. [c.160]

Обсуждаемая в предыдущем параграфе двумеризованная обобщенная цепочка Тода тесно связана с целым рядом нелинейных дифференциально-разностных уравнений первого порядка по производным. В частности, конечная система вида [c.164]

Как и для обобщенной цепочки Тода, решения системы (2.1) в одномерном случае могут быть получены из построенных общих решений (2.15) двумеризованных уравнений Вольтерра путем, выбора произвольных функций ф И U ТаКИМИ, чтобы Na зависели лишь от одной переменной, например, t = г+ — г . Этого можно достичь подстановкой ф 1 == с ехр ( /п,г ) и и = о = onst, при которой общие решения соответствующих одномерных уравнений вида (2.2) с ао = аг = О задаются 2г 1 произвольными числовыми параметрами mi, di = +i -i и uq, 1 г г. Функция X. определяющая согласно (2.5) решения Xi и выражающаяся формулой (1.35), переписывается при такой параметризации следующим образом [c.168]

В частном случае обобщенной (конечной непериодической) цепочки Тода, когда / = Е /<7 Та иЬцр1 Ьц (кр),- [c.184]

Некоторые общие заключения можно сделать о коэффициентных функциях дифференциального оператора левой части спектрального уравнения по отношению к дифференцированию по одному из аргументов, скажем, по г+. С этой целью предположим, что в условиях совместности (1.4) в операторозначных функциях А отсутствуют элементы т, т. е. мы имеем дело с обобщенной цепочкой Тода с закрепленными концами (см, IV. ). В этом случае волновая функция Ч == подчинена условию 2 = 0 ((/ 0), а спектральное уравнение [c.200]

Следовательно, а являются функциями решений характеристического уравнения обобщенной цепочки Тода с закрепленны.ми концами, т, е. функциями ее локальных интегралов. [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...