Консервативная динамическая система

Кроме отмеченных выше специфических проявлений механистического упрощенного мировоззрения, типичного для 18 века, труд Лагранжа, разумеется, не свободен и от известных недостатков специального научного характера. Некоторые теоремы (например — теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной динамической системы и т. п.) доказаны в нем недостаточно строго, некоторые выводы недостаточна ясны или недостаточно общи (вывод условий равновесия проведен только для удерживающих связей, а вывод уравнений движения дан только для удерживающих и не зависящих от времени связей и т. д.). Дальнейший прогресс аналитической механики в 19 веке устранил эти недостатки и принес существенные обобщения системы аналитической механики Лагранжа, причем в этом прогрессе науки исключительно важную роль сыграли труды представителей передовой русской школы механики, школы Остроградского — Чебышева — Ляпунова Жуковского. [c.6]

Было замечено также ), что если для консервативной динамической системы с характеристической функцией fi= T)—U задача может быть сведена к квадратурам, то это справедливо и для случая, когда (Т) = Е, т. е. для соответствующей задачи о движении при отсутствии сил (движение по инерции). [c.345]

Замкнутые траектории. Теорема Уиттекера. Как мы уже знаем (п. 15), траектории консервативной динамической системы, при--надлежащие к определенной связке, дают интегралу [c.458]

Обратимся теперь к выводу обобщенного интеграла энергии, который играет весьма важную роль в динамических исследованиях и ВО многих вопросах физики. Пусть связи консервативной динамической системы не зависят от времени и, следовательно, функция Лагранжа L не содержит явно 1, Полная производная функции Лагранжа по времени может быть в этом случае приведена к следующему выражению [c.193]

Консервативные динамические системы (см. гл. 7), как уже указывалось, естественно рассматривать как динамические системы бесконечной степени негрубости. [c.161]

Консервативные динамические системы являются лишь идеальным случаем по отношению к системам, действительно встречающимся в природе, тем не менее значение их чрезвычайно велико. [c.27]

Если Ш есть функция работы консервативной динамической системы и если Ь — соответствующая главная функция, то обобщенные внешние силы Qi могут быть выражены в форме (6) и (7). [c.29]

Всякая консервативная динамическая система имеет внешние силы, которые могут быть представлены в виде суммы внешних сил лагранжевой системы и внешних сил системы, лишенной энергии . [c.30]

Интересно отметить, что в случае, когда т = 1, из уравнения (7) следует, что В.х = О, так что всякая консервативная динамическая система с одной степенью свободы будет лагранжевой системой. Подобным же образом, если то = 2, то внешние силы могут быть представлены в виде [c.31]

Квадратичный интеграл 61 Кинетическая энергия 34 Консервативная динамическая система 29 Консервативные преобразования 327 [c.405]

Описанный выше переход от системы с п степенями свободы к системе с га — 1 степенями свободы в случае фиксированного значения постоянной энергии h можно рассматривать в силу изложенного в 93 или 9а как операцию исключения координаты, которая не входит явно в гамильтонову функцию. Следовательно, можно ожидать, что если, например, функция (3i) зависит лишь от производной дп переменной дп, но не от самой переменной дп, то консервативную динамическую систему = = О с га степенями свободы можно заменить консервативной динамической системой = 0 с га — 1 степенями свободы, причем д = (gi), i = 1,..., га, и д = (gj), / = 1,..., га — 1. [c.159]

В силу изложенного в 207 каждая консервативная динамическая система, имеющая радиальную симметрию и и > 2 степеней свободы, может быть приведена при каждом фиксированном значении постоянной энергии к задаче, рассмотренной в 206 и решаемой в квадратурах. [c.185]

Консервативная динамическая системы с га = 2 степенями свободы не является вообще интегрируемой . Кроме того, лишь немногие из этих неинтегрируемых систем подвергались детальному исследованию. Наконец, вполне возможно, что эти анализировавшиеся неинтегрируемые системы частного вида не отражают тех характерных трудностей, которые могут возникать в общем случае ге = 2. [c.200]

Рассмотрим сначала коллинеарные (в указанном в 329 смысле) решения задачи трех тел. Если такое решение не является прямолинейным (в указанном в 321 смысле), то оно будет в соответствии с 331 гомографическим. Тогда результаты, приведенные в 378, позволяют получать это решение в явном виде, поскольку задача сводится к консервативной динамической системе с одной степенью свободы, определяемой уравнением (21i) 268. Следовательно, достаточно рассмотреть прямолинейный случай. [c.389]

При л = о рассматриваемая динамическая система будет линейной консервативной и фазовые траектории на плоскости qq представляют собой вложенные друг в друга концентрические окружности с центром в начале координат, являющимся состоянием равновесия, В этом случае решением уравнения (5.3) служит [c.120]

Рассмотрим консервативную динамическую систему, подчиненную стационарным голономным связям и имеющую две степени свободы независимые обобщенные координаты системы обозначим через q и <72. [c.547]

Р) Обыкновенная динамическая система (ОДС). Это голономная, склерономная, консервативная система с [c.217]

Важные характеристики динамического поведения исследуемой системы могут быть получены на основе ее так называемой линеаризованной консервативной динамической модели. Эту модель получают в результате линеаризации нелинейных упругих характеристик соединений, заключающейся в замене нелинейной упругой характеристики Z (ст) линейной вида [c.14]

Мы будем" предполагать, что рассматриваемая динамическая система близка к линейной консервативной. Коэффициент ц (обычно безразмерный) и будет тем малым параметром, который будет характеризовать близость исходной системы к линейной консервативной. [c.533]

Как задачи небесной механики, так и задачи теории колебаний существенно нелинейны. Но в то время как динамические системы небесной механики являются так называемыми консервативными, в частности, гамильтоновыми системами, динамические системы теории колебаний заведомо не являются такими системами. Для того чтобы отчетливо уяснить это различие, укажем, не давая точных определений, некоторые характерные особенности консервативных систем. [c.128]

Свойства консервативных систем на нлоскости [2, 3]. Как и всюду, мы предполагаем правые части динамической системы аналитическими функциями. [c.128]

До сих пор мы рассматривали при том или другом определении расстояния между динамическими системами пространство всевозможных динамических систем. Однако в ряде вопросов представляет интерес рассмотрение относительной грубости, именно грубости по отношению к некоторому классу динамических систем, т. е. по отношению к некоторому подмножеству пространства динамических систем На или -Йд). Таким понятием относительной грубости мы воспользуемся при выделении простейших негрубых систем (см. следующую главу), так называемых систем первой степени негрубости, а также при классификации негрубых систем по степени сложности, или степени негрубости. Отметим, что с точки зрения такой классификации негрубых систем консервативные системы (см. гл. 7) являются системами бесконечной степени негрубости, другими словами, системами степени негрубости более высокой, чем любая конечная степень негрубости. Таким образом, в пространстве На (или Н 2) консервативные системы являются с точки зрения такой классификации чрезвычайно редкими системами. [c.150]

Общие замечания. При исследовании динамических систем, соответствующих физическим задачам, нельзя ограничиться только одним понятием грубой динамической системы. При этом не только потому, что при некоторых идеализациях имеет смысл рассматривать негрубые системы, например консервативные, а прежде всего потому, что при изменении параметров, входящих в динамическую систему, мы можем перейти от одной грубой системы к другой, качественно отличной грубой системе. Такой переход всегда совершается через негрубую динамическую систему. Отсюда естественно вытекает задача рассмотрения негрубых динамических систем и их классификации. С этим вопросом тесно связана теория зависимости качественной картины разбиения на траектории от параметра, которую мы будем называть теорией бифуркаций динамических систем. [c.155]

Основная гипотеза, выражающая принцип сохранения энергии, состоит в том, что если при каком-нибудь приложении этих внешних сил динамическая система проходит замкнутый цикл, так что конечные значения 2т величин и равны начальным значениям, то полная работа, совершенная внешними силами на протяжении всего цикла, равна нулю. Всякую систему, удовлетворяющую этому условию, мы будем называть консервативной. [c.27]

V. Принцип сохранения энергии. Рассматриваемая динамическая система консервативна. [c.40]

Из теорем об эквивалентности 4 следует, что если известно движение консервативной динамической системы с живой силой Ти потенциалом U, то мы сможем указать и спонтанное движение, соответствующее живой силе U Е)Т при Е = onsl. Отсюда еще не следует, что если функции Т к U имеют форму Штеккеля (гл. X, п. 64), то то же справедливо и для функции U + Е) Т. Проверить, что это действительно имеет место, установив, что (f/ + ) Т входит в тип живой силы Штеккеля, если вместо tf ,, подставлены выражения [c.458]

РАЗМЁШИВАНИЕ (перемешивание) в фазовом пространстве — свойство потока траекторий консервативной динамической системы, достаточное для перехода этой системы в процессе её временнби эволюции к стохастич. поведению. [c.247]

Рассматривая консервативные динамические системы, А. Н. Колмогоров ввел метрическую точку зрения, которая позволяет изучать свойства не всех возможных движений, а основной массы движений, соответствующих не всем, а почти всем начальным условиям. Колмогоров предложил для исследования задач с малыми знаменателями новый в теории динамических систем итерационный метод, обладающий свойством ускоренной сходимости по сравнению с геометрической прогрессией. Идею такого метода в самой первичной фроме для задач небесной механики мы встречаем у С. Ньюкомба в работе 1874 г [116]. [c.133]

В тех задачах, в которых имеется зависимость от времени, в термодинамическом пределе также исчезают некоторые эффекты, имеющие место в конечных системах. Самый знаменитый среди них связан с так называемыми возвратами Пуанкаре. Этот эффект выражается следующей точной теоремой классической динамики. Пусть имеется консервативная динамическая система N тел, помещенная в конечную область пространства. Тогда, начав движение из заданного состояния в нулевой момент времени, система по истечении промежутка времени Тр вернется сколь угодно близко к начальному состоянию. Поэтому движение любой конечной механической системы является квазиперио-дическим. Кроме того, при Т —оо период Тр стремится к бесконечности. Следовательно, результаты, получаемые из теории в термодинамическом пределе, могут быть справедливы лишь для времен, значительно меньших времени возврата Пуанкаре. Однако оказывается, что для всех систем представляющих интерес с точки зрения статистической механики, время Тр столь фантастически огромно, что фактически никакого ограничения не существует вообще (для 1 см газа Т,, имеет порядок биллиона биллионов лет). Поэтому с уверенностью можно утверждать, что эволю- [c.92]

Движение свободной консервативной динамической системы совпадает с движениелг лагранжевой системы, к которой приложена система сил, не производящая работы. [c.30]

Свободная консервативная динамическая система, очевидно, имеет интеграл работы W = onst, который в силу соотношения (5) может быть написан в другой форме, а именно [c.30]

Если от перелшнных дг ,. .., <7 консервативной динамической системы перейти к новой системе переменных Т , то динамическая система остается консервативной с прежними значениями функций Ь, в то время как величины Qi и Щ преобразуются в новые выражения посредством формул (8). В частности, если система была лагранжевой или лишенной энергии в первоначальных переменных, то она остается такой же в новых переменных. [c.33]

Для консервативной динамической системы в случ если функция Гамильтона имеет структуру ьида [c.160]

Если бы направление силы Q оставалось таким же, как при стационарном движении ротора, то в линейной постановке задачи к динамической системе были бы приложены лишь консервативные силы, характеризуемые жесткостью масляного слоя. Такая система при наличии демпфирующей силы всегда была бы устойчива. Но сложные гидродинамические явления в слое переменной толщины приводят к тому, что даже в линейной постановке задачи нельзя пренебрегать изменением направления вектора Q. При этом в его состав войдет составляющая, периенднкуляриая первоначальному направлению вектора Qo. [c.249]

СЕПАРАТРИСА (от лат. зерагаЬй) — траектория динамической системы С двумерным фазовым пространством, стремящаяся к седловому состоянию равновесия при времени - оо устойчивая С.) или при г —>— оо (неустойчивая С.). Если С. стремится к седлу при < < , то её (вместе с седлом) называют петлей С. [1,2]. В диссипативных динамич. системах из петли С. может рождаться предельный цикл [2]. В консервативных динамич. [c.487]

В случае динамической системы частиц, взаимодействующих посредством сил, не зависящих от скорости, естественно использовать физические переменные, например декартовы компоненты радиусов-векторов и скоростей частиц, или переменные, связанные с ними преобразованием с постоянным якобианом (в частности, для консервативных сил так называемые канонические переменные связаны с декартовыми компонентами радиусов-векторов и импульсов преобразованием с единичным якобианом). Действительно, в силу теоремы Лиувилля элемент объема YldXf dlf не меняется при эволюции системы, и именно данное свойство выделяет этот элемент объема среди других возможных мер. [c.118]

Теория малых колебаний динамической системы около положения относительного равновесия по отношению к реальной или воображаемой твердой системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью около неподвижной оси, отличается в некоторых существенных чертах от теории малых колебаний около положения абсолютного равновесия, о которой мы говорили в 168. Необходимо поэтому уделить некоторое внимание общей теории, прежде чем заняться исследованием специальных проблем. Система, которую мы исследуем, может быть oBepuienno свободна или может быть связана с вращающимся твердым телом. Во втором случае предполагается, что как реакции связи, так и внутренние силы системы являются консервативными. [c.385]

Системы, в которых возможно бесчисленное множество периодических движений, непрерывно переходящих одно в другое, называются консервативными. В таких системах характер движения зависит от начальных условий, и однажды начавщиеся колебания уже не прекращаются, хотя и не нарастают. Поэтому практически система, для которой фазовая диаграмма имеет вид, графически показанный на рис. ПП.1, является неустойчивой. Подобный характер движения получился потому, что мы положили трение равным нулю. Рассмотрим теперь фазовую диаграмму динамической системы при трении, не равном нулю. [c.218]

Под динамическими системами в то время понимались в первую очередь консервативные системы, уравнения движения которых записываются в форме Гамильтона. Основным конкретным объектом теории были задачи небесной механики. Изучение земных неконсервативных систем или, как их назвали В. Томсон и П. Г. Тет, искусственных систем , началось позже и пошло в значительной мере по пути изучения аналогий между явлениями разной физической природы и формирования более широкого взгляда на них. Возникновение привычного для нас колебательного подхода в первую очередь следует отнести к заменитому трактату лорда Рейли по теории звука. [c.137]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...