Чисто точечный спектр

Докажите, что каждый сдвиг тора имеет чисто точечный спектр, т. е. соответствующий унитарный оператор обладает полной ортогональной системой собственных функций. [c.169]

Определение 9.11. Динамическая система (М, //, (р) есть система с чисто точечным спектром если собственные функции индуцированного оператора II образуют базис в 7 2 (М, /i). [c.32]

Следствие 12.40. Если ранг спектра динамической системы с чисто точечным спектром конечен, то такая система имеет нулевую энтропию. [c.53]

Чисто точечный спектр 32 [c.281]

Определение 2,1. Эргодический автоморфизм Т (поток Р ) называется автоморфизмом (потоком) с чисто точечным спектром, если циклическая группа /г" (однопараметрическая группа ит ) имеет полную в Ь [М, 2Д, (г) систему ортогональных собственных функций. [c.38]

Для динамических систем с чисто точечным спектром, в отличие от общего случая, из унитарной эквивалентности сопряженных групп операторов вытекает их метрический изоморфизм. Это позволяет провести полную метрическую классификацию таких систем. [c.38]

Теорема 2.1 (Нейман [98]). Для того, чтобы эргодические автоморфизмы Г,, Гг пространства Лебега (Мь Л"ь [гО, (ЛГг, <Ж2, м-г) с чисто точечным спектром были метрически изоморфны, необходимо и достаточно равенство Л г(Т 1) =Л г(Т 2), где Аа(Т)—счетная подгруппа окружности образованная собственными значениями оператора От, сопряженного с Т. [c.38]

С помощью теории двойственности Понтрягина для произвольной счетной подгруппы легко построить автоморфизм с чисто точечным спектром, у которого Аа(Т)=А. Этот автоморфизм есть групповой сдвиг на компактной группе М характеров группы Л с нормированной мерой Хаара (х и задается формулой Tg=g go g, g< M), где go(k) =к, к А. [c.38]

Как и в случае автоморфизмов, для любой счетной подгруппы Лс Я можно построить поток Р с чисто точечным спектром, у которого Лй( 7 )=Л и который состоит из сдвигов на группе характеров группы Л. Поэтому всякий эргодический поток с чисто точечным спектром метрически изоморфен потоку, порожденному групповыми сдвигами вдоль некоторой однопараметрической подгруппы группы характеров спектра. [c.39]

Теория автоморфизмов с чисто точечным спектром обобщается на более широкий класс систем. [c.40]

Всякий автоморфизм с чисто точечным спектром, разумеется, имеет квазидискретный спектр. Эргодический косой сдвиг на двумерном торе Т х,у) = х+а, у+х), x,y S а иррационально, — пример автоморфизма с квазидискретным спектром, но не с чисто точечным спектром. [c.40]

Изучение спектров различных классов динамических систем долгое время оставляло надежду на то, что какой-то аналог теории систем с чисто точечным спектром может быть построен для систем более общего вида. Впоследствии, однако, такая надежда разрушилась. Были построены, в основном, с помощьк> методов теории аппроксимации (см. гл. 4) примеры динамических систем с весьма неожиданными спектральными свойствами. Приведем несколько таких примеров (см. [24]). [c.41]

Для автоморфизма Т с чисто точечным спектром максимальный спектральный тип р (т. е. тип дискретных мер, сосредоточенных на группе Ad (Г)), очевидно, подчиняет свою свертку р р. Это свойство, называемое групповым свойством спектра, имеется также у многих естественно возникающих систем с непрерывным или смешанным спектром. Однако, гипотеза о том, ЧТО так бывает всегда, оказалась неверной. [c.42]

С помощью аппроксимаций строится такой эргодический автоморфизм Т, что максимальный спектральный тип а оператора 1/т не подчиняет свою свертку <т а (см. [20]). Смысл этого примера в следующем для эргодических автоморфизмов с чисто точечным спектром свойство максимального спектрального типа о оператора От подчинять свертку а о непосредственно вытекает из того, что множество собственных значений С/т есть группа. До введения аппроксимаций существовала гипотеза о том, что это свойство, называемое групповым свойством спектра, имеется у любого эргодического автоморфизма. [c.73]

Приведенная теорема показывает, что малое возмущение интегрируемой системы не эргодично и имеет инвариантное подмножество положительной меры, эргодические компоненты которого имеют чисто точечный спектр. Этим была, в частности, полностью опровергнута гипотеза, часто встречавшаяся в физических работах, о том, что многомерная нелинейная гамильтонова система общего вида эргодична. Заметим дополнительно, что строящиеся в теории KAM торы гладко зависят от параметра е/с. [c.122]

В настоящее время вопрос о содержательном объединении гладкого и ядерного подходов остается открытым. Впрочем, такое объединение, по-видимому, не может быть слишком далеко продвинутым . Во всяком случае существование ВО Н, Яо) при произвольной ограниченной функции до и любом а > 1 представляется при б > 1 сомнительным. Если (I — то существование и полнота ВО Н, Яо) проверяются ядерным методом. Для него структура спектра невозмущенного оператора Яо совершенно несущественна. В связи с этим отметим, что, как показано в [56], для почти всех ограниченных до операторы Яо и гют чисто точечные спектры. Из существования и полноты ВО вытекает, что этот результат обладает определенной устойчивостью. Именно, абсолютно непрерывная компонента отсутствует и в спектре оператора Я. [c.20]

Теорема 6. Пусть Но—произвольный самосопряженный оператор. При любых р > 1 и е > О найдется самосопряженный оператор V = Ур е, что V Е р, HV Hp < е, и оператор Н = Но- -У имеет чисто точечный спектр. [c.241]

Теорема 7. Пусть Но—какой-либо самосопряженный оператор с чисто сингулярным спектром. Тогда при любом е > О найдется такой самосопряженный ядерный оператор V = Уе, что К 1 < е и оператор Н = Но + У имеет чисто точечный спектр. [c.242]

Инфракрасный спектр. Как всегда, чисто вращательный спектр может возникнуть лишь в том случае, если молекула обладает собственным дипольным моментом. В молекулах, обладающих осью симметрии, собственный дипольный момент обязательно ориентирован по этой оси. Поэтому если молекула имеет две или несколько (несовпадающих друг с другом) осей симметрии, то ее собственный дипольный момент должен равняться нулю. Это справедливо для всех молекул, являющихся сферическими волчками вследствие своей симметрии, т. е. для молекул, относящихся к любой кубической точечной группе, например, для молекул СН,,, и др, Следовательно, такие молекулы не обладают вращательным инфракрасным спектром. Только в том случае, когда молекула случайно является сферическим волчком, сна может иметь собственный дипольный момент, отличный от нуля, и, следовательно, давать инфракрасный вращательный спектр. Тогда для квантового числа / справедливо простое правило отбора с О, 1, причем достаточно рассматривать аере- [c.54]

Правила отбора. Аналогично случаю двухатомных молекул, можно считать с хорошей степенью приближения, что правила отбора для чисто колебательного спектра и для чисто вращательного спектра остаются неизменными и при взаимодействии колебания и вращения (доказательство см. в разделе 26). Таким образом, также и для вращательно-колебательного спектра в инфракрасной области происходят только те колебательные переходы (см. табл. 55), для которых составляющая собственного момента относится к типу симметрии 1 или составляющие и Му относятся к типу симметрии П (где значок и для точечной группы Соо следует опустить), т. е. только те колебательные переходы, для которых [c.408]

Перечисленные выше свойства дискретного спектра имеют аналогии среди свойств непрерывного спектра (Синай [2], [3]). Ясно, что группа собственных значений есть инвариант динамической системы. Если спектр чисто точечный, то эта группа образует полную систему инвариантов. Точнее, справедлива следующая теорема. [c.34]

Структура динамических систем с чисто точечным и квазидискретным спектром [c.38]

Доказательство см. у Халмоша [1]. Оно сводится к доказательству того, что эргодическая система с чисто точечным спектром изоморфна компактной абелевой группе, на которой действует вращение. [c.34]

Теорема 2.1 в сочетании с этим утверждением означает, что всякий эргодический автоморфизм пространства Лебега с чисто точечным спектром метрически изоморфен групповому сдвигу на группе характеров спектра. В случае непрерывного времени (для потоков) имеет место аналогичное зтверждение. [c.38]

По аналогии со случаем чисто точечного спектра, для любой последовательности счетных коммутативных групп Л0СЛ1С... [c.41]

Оценки сверху для скорости аппроксимации, справедливой для всех автоморфизмов, не существует. Более того, рассмотренный в 2 главы 2 автоморфизм Т с чисто точечным спектром, состоящим из чисел вида ехр 2л1р/2<г, обладает тем свойством, что для любой п) 0 он допускает циклическую аппроксимацию со скоростью /( ). [c.73]

Одной из первых работ по спектральной теории общих действий была работа Макки [92], дававшая точное обобщение известной теоремы Неймана о чисто точечном спектре. Приведем ее формулировку. [c.84]

Унитарное представление группы О имеет по определению чисто точечный, или дискретный, спектр, если оно есть прямая сумма конечномерных неприводимых представлений. Для группы 2 это определение совпадает с обычным определением чисто точечного спектра (ограничение на конечность кратности отсутствует). Теорема Неймана утверждает, что для 0 = 2 и эргодического действия собственные числа (спектр) образуют счетную подгруппу в 5, кроме того, по спектру действие восстанавливается однозначно с точностью до метрического изоморфизма и может быть реализовано сдвигом на коммутативной компактной группе, а именно, на группе характеров спектра. Тем самьш любая счетная подгруппа может быть спектром некоторой динамической системы (см. гл. 2, 2). Обобщение Макки состоит в следующем. [c.84]

С точки зрения эргодической теории, описанная ситуация означает, что поток 5 , отвечающий гамильтоновой системе с функцией Гамильтона H(p,q) и инвариантной мерой dqdp, не эргодичен. Его эргодическими компонентами служат (mod 0) п-мерные торы, на каждом из которых индуцируется эргодический поток с чисто точечным спектром. И в более общем случае, если динамическая система не эргодична, а на почти всех, ее эргодических компонентах реализуется динамическая система с чисто точечным спектром, то мы будем называть ее интегрируемой. [c.115]

Каждая равновесная конфиг фацпя молекулы л[0-жет быть отнесена по своей симметрии к определенной точечной группе, т. е. к такой группе симметрии, все операции к-рой — повороты и отражения, переводящие равновесную конфигурацию саму в себя, — оставляют одну точку неподвижной в пространстве принадлежность к той или ипой группе соответствует наличию у молекулы тех или иных элементов симметрии — осей, плоскостей и центра спмметрии. При этом обычно, когда говорят о равновесной конфигурации молекулы, подразумевают ео равновесную конфигурацию в основном электронном состоянии. Точечные группы, к к-рым могут относиться равновесные конфигурации молекул, ириведены в табл. это — все 32 кристаллографич. точечные группы (см. Классы кристаллов), а также группы с осями симметрии порядка п= 5, 7, 8,... и и = оо и нкосаэдрич. группы. Отличный от нуля постоянный дипольный момент имеют только молекулы симметрии и эти же молекулы обладают чисто вращательными спектрами. Линейные молекулы относятся к группам и [c.292]

ЧИСТО колебательного спектра нельзя сделать выбор одной из них. Пенни и Сезерланд 691] считают, что, согласно теории направленных валентностей, третья модель (в) наиболее удовлетворительна. В этом случае атомы Н находятся в двух разных плоскостях, пересекающихся друг с другом вдоль связи О—О примерно под прямым углом (точечная группа Са, см. фиг. 2, а). Однако, но мнению Гельмана [7], из этой теории следует, что модель б столь же вероятна. Бейли и Гордон [88] интерпретировали экспериментальные данные на основе модели вив предположении валентных сил они получили приемлемые значения постоянных. Их интерпретация приведена в третьем столбце табл. 77. Несомненно, что ее следует считать пробной. [c.326]

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что всякий автоморфизм с чисто точечным, конечнократным или сингулярным спектром имеет нулевую энтропию. [c.51]

В электронных спектрах молекул часто наблюдаются запрещённые электронно-колебат. полосы. Напр., электронный переход fiju — ig и молекуле бензола (точечная группа симметрии запрещённый по чисто [c.204]

Более общим вариантом является такая ситуация, когда спектр таких гетерогенностей создается или непосредственно в процессе цикла нагружения за счет пересыщения по точечным дефектам (в этом случае процесс размножения может идти и без участия ростовыхвьщелений), или же, если спектр ростовых дефектов все же присутствует, то он должен существенно трансформироваться и видоизменяться в процессе нагружения (например, растворение петель внедренного типа и рост петель вакансионного типа или наоборот, а также создание дополнительного спектра гетерогенных источников чисто деформационного происхождения — за счет конденсации точечных дефектов при их пересыщении в нагруженном кристалле). [c.243]

Реконструкция поверхности крайне чувствительна к присутствию на ней как структурных дефектов (макроскопических и точечных), так и химических примесей. Появление ничтожного количества ионов Li+, Na+, К+, Ni " и др. в ряде случаев приводит либо к исчезновению существующих, либо к появлению новых сверхструктур. Многие из ранее вошедших в справочник по сверхрешеткам структур были впоследствии отвергнуты из-за их примесного происхождения. Ныне каждое измерение спектров ДМЭ обязательно сопровождается измерениями спектров оже-электронов. Однако чувствительность ЭОС невысока, не более 10 атомов примеси на см . Такие поверхности теперь часто называют оже-чистыми". Эксперименты последних лет убедительно показывают, что даже появление примеси в количествах, меньших числа элементарных ячеек, сопровождается перестройкой всей наблюдаемой при ДМЭ поверхностной сверхструктуры. Так, следы Ni (менее 1 % монослоя) на поверхности Si (100) приводили к разнообразным фазовым перестройкам типа 2 х а, где а принимает значения от 6 до 10. Число перестроенных в этих фазах ячеек составляло = 5—8 % от числа неперестроенных. Следовательно, даже малые концентрации примесей могут инициировать фазовые переходы в отдельных доменах поверхностной сверхструктуры. В этом нет ничего удивительного — фазовый переход является коллективным эффектом. Заметим, что ЭОС дает лишь среднюю концентрацию примесей. На вицинальных поверхностях примеси могут сегрегировать на ступеньках и выходах дислокаций (рис.5.1). Не исключено, что белые "дыры" в области атомной ступеньки на изображении СТМ (рис.4.7) являются атомами примесей. Заметим, что доминирующей примесью на поверхности многих металлов и полупроводников (Si, Ge) является диффундировавший из объема углерод, который попадает в материал в процессе роста кристаллов ). [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...