Задача п тел на плоскости

Б8. Плоская задача трех тел. Обратимся к результатам п. 47, предполагая, что движение трех тел, Яд, Р Р , происходит в плоскости т). Полагая равными нулю третьи координаты и соответствующие проекции количества движения, мы будем иметь для характеристической функции на основании формулы (96) выражение [c.329]

Пример 1 (Ограниченная задача ТРЕХ ТЕЛ (см. п. 124)). Пусть точка Р малой массы движется под действием притяжения двух точек S и J конечных масс, не оказывая влияния на движение последних. Будем считать, что точка J движется относительно точки S по круговой орбите, а точка Р движется в плоскости этой орбиты (т. е. рассматривается так на- Р с. 138 зываемая плоская круговая ограниченная задача трех тел). [c.325]

Задача Герца о сжатии упругих тел. Два упругих тела прижаты друг к другу силами Q, линия действия которых перпендикулярна общей касательной плоскости П поверхностей Si и 5г тел в точке О. Под действием сил Q тела деформируются в области, примыкающей к месту контакта, и сближаются друг с другом. Назовем через —6i, —62 проекции поступательного перемещения первого и второго тел на оси z и z , которые, напомним, направлены внутрь соответствующих тел. Можно также определить 61 и 62 как перемещения достаточно удаленных от места контакта точек первого и соответственно второго тела, а величину [c.329]

Рассмотрим равновесие линейно-упругого пространства с полостью (в частности и трещиной-разрезом), сечение которой в плоскости Хз = О занимает область С, Пусть расстояние между поверхностями полости н (х1, Х2) однозначная функция (х Х2) Е С и мало по сравнению с характерными размерами С (уплощенная полость). Предположим, что область налегания Р С С образуется под действием объемных сил, симметричных относительно плоскости Хз = 0. Как уже отмечалось (п. 5.1.3), можно перейти от системы внешних объемных сил к поверхностным нагрузкам, считая, что из решения соответствующей задачи теории упругости для сплошного тела известны напряжения азз(х1, Х2) на плоскости (Х1, Х2). Граничные условия задачи примут вид [c.175]

При рассмотрении плоской задачи для несжимаемой жидкости мы прежде всего обратим внимание на построение кинематической картины течения при обтекании неподвижного тела или при движении тела в покоящейся жидкости. Это построение сводится к нахождению комплексного потенциала, т. е. к подбору такого распределения особых точек течения — вихревых п источников — на всей плоскости течения, которое при отсутствии тела давало бы ту же самую кинематическую картину течения, какая наблюдается при внесении тела в поток. Построив кинематическую картину течения, мы можем, применяя интеграл Бернулли для установившегося движения и интеграл Коши (Лагранжа) для неустановившегося, сделать расчет сил давлений на обтекаемое тело. [c.238]

Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (1961) рассмотрели задачу об изолированной прямолинейной трещине, простирающейся вдоль некоторой линии упругой симметрии в ортотропном бесконечном теле в условиях плоской деформации. В этой же работе рассмотрена задача расклинивания ортотропного тела с плоскостями симметрии, параллельными двум осям, абсолютно жестким бесконечным клином, движущимся с постоянной скоростью. Предполагается, что на поверхности соприкосновения клина с расклиниваемым телом действуют силы кулонова трения. Более детально исследуется вопрос о расклинивании ортотропного тела неподвижным клином постоянной толщины в пренебрежении силами трения. В работе Э. П. Фельдмана (1967) в рамках дислокационной теории тонких двойников и трещин исследован вопрос распространения тонкой равновесной трещины вдоль анизотропной полосы конечной толщины. При постепенном возрастании внешних нагрузок трещина растет до некоторого критического значения, после чего происходит мгновенное разрушение полосы. [c.387]

Исследование второго случая. Вернемся теперь к общей задаче, поставленной в п. 250, и займемся исследованием колебаний вблизи положения равновесия тяжелого тела на горизонтальной плоскости, у которого центр тяжести находится пад точкой касания. [c.231]

Обозначим через Pi и Pz две материальные точки в задаче п = 2 тел. Пусть общая масса Pi и Рг равна единице, так что если масса Рг обозначена через (х, то масса Pi равна 1 — л. В соответствии с 343 (и с 207) уравнения движения Pi и Ра имеют вид (2i) 241, где х, у — прямоугольные координаты Рг на плоскости [х, у), в которой всегда находится Рг, а Pi расположено в начале координат с осями, параллельными осям инерциальной координатной системы. [c.425]

Симметрия задачи позволяет вместо бесконечного пористого слоя рассматривать течение в одном канале, приняв на стенках этого канала вне пористого тела (в переходных слоях) зеркальный закон отражения молекул. Вдали от пористого слоя течение равномерное, причем в набегающем потоке - подобное течению конденсации на плоскость, а за пористым слоем - подобное испарению с плоскости. В соответствии с этой аналогией в набегающем потоке должны быть заданы (см., например, [7-14]) числовая плотность = п(л —>-оо) и температура 7 , = Г (х —>-оо), а в потоке за плоским слоем каналов - только плотность = п х —> +оо). [c.195]

Пример решения задач на равновесие системы тел (см. 18) дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней ио узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фер-мах число стержней k и число узлов п связаны соотношением [c.61]

Если твердое тело в точках А VI В (рис. 1.5) опирается на ребра двугранных углов, а в точке С—на гладкую плоскость, то для направления реакций связи в точках А и В следует применить метод обращения, т. е. представить, что двугранный угол опирается на твердое тело (рис. 1.6), являющееся для него связью. Эта обращенная задача сводится к рассмотренному выше случаю 1, т. е. опорная реакция Л направляется по соответствующей нормали. Снова обратив задачу, определяют искомое направление реакций в точках А п В, причем на основании закона равенства действия и противодействия Ла= —Л а в— — в- Реакция в соответствии со случаем 1, направляется перпендикулярно к горизонтальной плоскости (см. рис. 1.5). [c.13]

Задача 1.26. В приборе (рис. а) тела А п В могут скользить по сторонам угла К, одна из сторон вертикальна, а другая образует угол 20° с горизонтом. Наклонная плоскость соприкосновения обоих тел составляет угол 40° с вертикалью. Сжатая пружина давит вниз с силой Я =10 кГ на тело А. [c.70]

Об интегрировании дифференциальных уравнений движения ДИСКА, в п. 9 мы видели, что в общем случае определение движения тяжелого гироскопического тела с круглым основанием, опираю-ш,егося на горизонтальную плоскость, приводится, если не считать двух дальнейших квадратур, к интегрированию системы дифференциальных уравнений (19). Для диска (2о = 0) система (19) должна быть заменена более простой системой (19 ) как было сказано в п. 10, мы предполагаем здесь исследовать аналитическую природу задачи интегрирования, к которой приходим в этом последнем случае. [c.207]

Рассмотрим трещину, развивающуюся в упругом Твердом теле с переменной скоростью (t). Как дифференциальное уравнение, так и граничные условия, описывающие окрестность вершины трещины, развивающейся в произвольном режиме [4], совпадают с уравнениями и граничными условиями задачи, определяющей установившийся рост трещины с постоянной скоростью С. Пусть координатные оси X и У фиксированной декартовой системы координат лежат в плоскости тела, а ось Z сориентирована по толщине тела, в результате У = 0 определяет плоскость развивающейся трещины. Предположим, что поля перемещений и напряжений не зависят от Z. Теперь введем подвижную координатную систему х, у п z, которая остается фиксированной относительно движущейся вершины трещины, в результате чего х = Х — а (рис. 1). Теперь появляется возможность свести краевую задачу теории упругости к задаче на комплексные переменные. Получаем следующие выражения, определяющие напряжения и перемещения [5, 6] [c.269]

Рассмотрим задачу о равновесии твердого тела под действием заданных внешних сил, опирающегося п точками Pi,. .., на шероховатую плоскость Z = 0. Для определенности будем считать, что тело расположено в области Z > О и с опорной плоскостью свяжем систему координат Оху. [c.196]

Остановимся на частном случае общей задачи, которая допускает разложение общей системы разрешающих уравнений на ряд систем для отдельных гармоник. Это накладывает ограничение на распределение механических характеристик материала, которые не должны изменяться в окружном направлении. При этом предполагается, что зоны взаимодействия между телами охватывают полную окружность, т. е. не зависят от координаты 0. Будем также предполагать, что рассматриваемая задача имеет хотя бы одну меридиональную плоскость симметрии, чтобы при разложении в ряды Фурье радиальных и осевых компонентов объемной и поверхностной нагрузки, заданных перемещений и , и , температуры оставить только члены разложения по косинусам, а для компонентов перемещений и нагрузки окружном направлении — по синусам. Для нулевой гармоники удержим и окружные компоненты перемещений и нагрузки, чтобы можно было рассматривать осесимметричную задачу с деформациями типа кручения В этом случае общая система уравнений (V.8) распадается на п отдельных систем более простого вида [c.169]

Плоское деформированное состояние. Аналогичное упрощение, подобное упрощению задачи для тонких пластин, о котором шла речь в предыдущем пункте, имеет место в другом предельном случае, когда размер тела в направлении оси г очень велик. Если цилиндрическое или призматическое тело нагружается силами, которые перпендикулярны оси г и интенсивность которых не изменяется по длине тела (вдоль оси г), то предполагается, что часть тела, расположенная на значительном расстоянии от концов, находится в плоском деформированном состоянии, т.е. что частицы тела при деформировании движутся в плоскостях, перпендикулярных оси г. Примером может служить подпорная стена, подвергающаяся действию бокового давления, постоянного вдоль оси г, т. е. по длине стены (рис. П. 10). Легко видеть, что в этом случае деформация возникает в плоскостях, перпендикулярных оси г. Поперечные сечения, удаленные от концов стены, остаются плоскими, и при исследовании распределения напряжения достаточно рассмотреть только ту часть стены, которая расположена между двумя смежными поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на единицу длины. Составляющие перемещения и и и являются функциями координат л и и не зависят от продольной координаты г. В то же время составляющая [c.575]

В солнечной системе орбиты больших планет, за исключением Плутона, имеют малые наклонности относительно общей плоскости, за которую можно выбрать такую плоскость, в которой момент количества движения системы достигает максимума. Это так называемая неизменяемая плоскость Лапласа. Если пренебречь координатами, перпендикулярными к этой плоскости, то уравнения движения относятся к задаче га тел, движущихся в общей плоскости. Такая система имеет порядок 4га, Число общих интегралов теперь равно 4 + 1-)-1 = 6, и порядок может быть понижен до 4га —6. Для задачи трех тел в плоскости понижением порядка приходим к системе шестого порядка. Как и в трехмерной задаче, возможно еще одно понижение порядка этой системы на две единицы. Следовательно, для задачи трех тел в плоскостп окончательное понижение порядка приводит к системе четвертого порядка, для задачи п тел в плоскости —к системе порядка 4га-8. [c.222]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

К проекциям движения на три координатные плоскости. Если через центр тяжести системы и касательные к траекториям каждой точки провести плоскости, то обе эти плоскости пересекутся по прямой, лежащей в неизменяемой плоскости (т. е. перпендикулярной к Ga, п. 350) (Пуансо). Якоби использовал это свойство в задаче трех тел (Journal de Grelle, т. 26, стр. 115) (Журнал Крелля). [c.79]

Метод изображенвй. Метод изображений, играющий такую важную роль в математической теории электричества, целиком применим также и к решению задач теплопроводности, если твердое тело ограничено плоскостями, находящимися при нулевой температуре. Мысленно продолжаем твердое тело неограниченно во все стороны и соответствующим подбором источнйков и стоков находим функцию ), исчезающую на границе и имеющую внутри тела заданные особенности (источники, стоки и т. п.). Мы найдем эту функцию, если распределение источников и стоков вне твердого тела выберем таким, чтобы оно было изображением действитель- [c.175]

Возмущения (ударные волны), опережая в своем движении тело, будут многократно отражаться от плоскости симметрии лепестка и плоскости симметрии течения, не выходя за пределы двухгранного угла (тг/п). Это обстоятельство делает возможным изучение качественной картины интерференции волн в зазоре между лепестками на примере погружения плоского профиля (клина) в вертикальный канал заданной ширины. Решение этой задачи получено в п. 2 на основе обобщения известных результатов о проникании тонкого профиля в сжимаемую жидкость со свободной поверхностью. Третий пункт содержит решение задачи о входе клина в канал со слоем жидкости конечной толщины. Наконец, в п. 4 дается способ построения решения для начального этапа входа пространственного тела со звездообразным поперечным сечением, имеющим четное число лепестков п. [c.274]

Наверное читатели, по крайнем мере, слышали о физических задачах академика Петра Леонидовича Капицы [27]. Задачи разные. Часто достаточно и школьной подготовки, чтобы в оби ем виде уловить идею решения задата. Но дать полное решение задачи на вступительных аспирантских экзаменах или на экзаменах стажеров-исследователей, проходящих практикуй Институте физических проблем РАН, невозможно. Каждая задача П. Л. Капицы — целая тема для исследования. Вот что пишет о них один из учеников П, Л. Капицы — математик В, Н. Тростников [68]. ...31адачи Капицы были сформулированы так, чтобы студент, избравший какую-то из них для размышления, чувствовал себя пионером в исследовании некоторых явлений к задачам не было дано ни пояснений, ни ответов и даже было непонятно, решал ли их сам Капица. Характерной особенностью этих задач было то, что необходимые для решения параметры нужно было брать из справочников, а также то, что при решении надо было учитывать не только свойство трго объекта, по отношению к которому ставился вопрос, но и поведение окружающей его среды, т. е. четко осознать всю физичеб1 Ь ситуацию в целом. В качестве примера можно привести такую задачу Река образует наклонную плоскость может ли тело из-за этого 1 1ть по реке со скоростью, превышающей скорость течения Ее можно решить лишь при том условии, что человек разобрался во всей картине распределения скоростей в толще воды. [c.42]

При определении противовесов к несимметричным вращаюптимся телам или при определении влияния не вполне правильной установки уравновешенного по своей форме тела на дополнительные динамические давления в подшипниках представляет интерес следующая задача. Пусть АВ — ось вращения твердого тела (рис. 1). Известен центр его тяжести С, положение главных осей инерции Су и Сг — они в плоскости чертежа, как и ось АВ. Тело имеет любую форму, в частности, это может быть любое тело, симметричное относительно плоскости чертежа (пластинка любой формы, параллелепипед, любой эллипсоид, любое тело вращения с осью Су, дуга окружности и т. п.). [c.78]

Из анализа эллиптических движений (/г < О или е < 1) в задаче двух тел ( 7(р) 1/р) следует, что независимо от начальных данных, когда ф изменяется на 2т1, радиус р совершает полное колебание, например от р1 до р2 и обратно до р1, т.е. значение р(фо) совпадает с р(фо + 2к). Можно показать, что такой периодический характер движения сугцествует только при С/(р) 1/р и С/(р) р . Во всех остальных случаях Щр) для почти всех начальных данных, при которых движение остается ограниченным, период полного колебания по р не будет рационально соизмерим с 2к. Например, для потенциала С/(р) = - х/р + е/р , где е - малое число, в общем случае движение в конфигурационном пространстве (р, ф) происходит уже по незамкнутой кривой, типа представленной на рис. 107. Если е достаточно мало, то движение на каждом обороте близко к движению по эллипсу, однако угол со, который определяет положение перицентра эллипса, медленно, со скоростью, пропорциональной 8, изменяется с течением времени. К такому эффекту приводит учет, например, в задаче двух тел песферичности одного из тел или эффектов общей теории относительности. При этом так же, как для задачи о движении точки по поверхности (см. 4.10), для специальных начальных данных траектория движения в плоскости (р, ф) может замкнуться через п оборотов, число которых будет велико при малом 8. [c.281]

Задача на рис, 601 решена способом обратного луча. Строим падающие на П, тени от конуса и пирамиды, предположив, что пирамида не имеет граней и состоит из одних ребер, Определяе.м точки (] ), (2 ), (4 ), (5 ),, ,. пересечения границы падающей на П, тени от конуса с тенями от ребер пирамиды. Обратными лучами находим точки У, 2, и 5 на ребрах пирамиды. В точках 6 и 7 тень от конуса пересекается с ребром ТЕ, лежащим в плоскости П, и совпадающим поэтому со своей тенью. Чтобы определить тень от верщины 5 на поверхности пирамиды, проводим через точку (5 ) прямую Г, —3, и, проведя обратный луч, найдем точку 3 на ребре АВ соединим ее с вершиной Т. На прямой Т—3 отметим тень 5 от вершины 5 на грани АВТ (в пересечении прямой Т— с лучом, проходящим через точ Соединив последовательно точки б, 4, 2, 5, , 5 и 7, получим дадающую на пирамиду тень от конуса. Для определения освещенности граней пирамиды воспользуемся /236/, Граница падающей тени состоит из теней от ребер ЕЕ, ЕА, А В и ВС. Следовательно, эти ребра определяют границу собственной тени пирамиды. Когда нужно определить тень, падающую от одного тела на поверхность другого, часто вначале строят собственную тень тела, от которого падает тень. Проводя через ее границу лучевую поверхность, находят линию ее пересечения с поверхностью тела, на которое падает тень. Покажем построение собственной тени некоторых тел вращения, оси которых вертикальны. [c.242]

Когда должны быть найдены падающие тени и от отрезка и от тела, можно воспользоваться для решения описанной задачи способом обратного л -ча . Построив тень от конуса я отрезка ЕР на плоскость П (рис. 217), проведем тень 75 от произвольной образующей конуса 18 и отметим точку М ее пересечения с тенью от отрезка ЕР. Если бы не было конуса, то мы нашли бы теиь только от отрезков ЕР и 18. Один из лучей света пересекся бы с обоими отрезками, а затем с пло- [c.154]

Если ячейка центрирована по объему, то ее телесная диагональ при четной сумме h- -k- l=2n, где п — целое число, рассечена последовательными узловыми плоскостями семейства hkl) на /i+ частей, если же сумма А+/г4-/=2/г+1 нечетна, диагональ рассекается на 2(/г+А+/) частей или межплоскостных расстояний, а оси элементарной ячейки при нечетной сумме h+k- l — на отрезки al 2h), bl 2k], j(2l). Для других случаев центрированности ситуация аналогична и задачу о числе рассечений необходимо решать в каждом конкретном случае отдельно. Вопрос о вдсле рассечения осей элементарной ячейки последовательными узловыми плоскостями семейства (kkl) является важным при решении многих задач физики твердого тела, например при рассмотрении распространения волн в твердом теле. [c.22]

П. М. Бесанер 14], использовав работу Дж. Райса [3], обобщил этот результат на трехмерную задачу (при условии, что трещина является плоской, а тело и действующая на него нагрузка симметричны относительно плоскости разреза). При этом интеграл от произведения весовой функции на напряжение на берегу разреза берется не по контуру, а по площади разреза, а его результатом является среднее квадратичное от значения коэффициента интенсивности напряжений вдоль контура разреза. [c.232]

П.И. Перлии, используя численный метод, решил ряд задач о распределении напряжений вокруг отверстий в форме окружности и различных эллипсов лри этом бьши рассмотрены также случаи частичного охвата отверстия пластической зоной и случай двухсвязной области, занимаемой телом [ 19-21 ]. Тот же метод был применен B. . Са-жиным при решении упругопластической задачи для плоскости при наличии отверстия, близкого к квадрату предполагалось, что на бесконечности имеет место всестороннее сжатие, а пластическая область охватывает все отверстие [22, 23 ]. B. . Сажин рассмотрел также другие интересные задачи применительно к проблеме проявления горного давления вблизи выработок различной формы [24, 25]. [c.8]

Двухзвенная ломаная трещина. Пусть в бесконечной плоскости имеется система N -Ь 1 прямолинейных разрезов L , размещенных вдоль отрезков локальных осей координат ОпХп (п О, 1,. .., N). Берега трещин нагружены самоуравно-вешенной нагрузкой р (л ) (q (х ) = 0), а напряжения на бесконечности отсутствуют. Тогда задача об определении напряжений в таком теле сводится, согласно (1.150), к системе интегральных уравнений [c.59]

Несмотря на чисто учебную роль этого небольшого сочинения, его содержание заслуживает пристального внимания, и мы сделаем некоторые дополнения к п. 13 предыдущей главы. Недаром Лагранж не раз ссылается на эту работу в своей Аналитической механике , Галилей начинает с вывода закона моментов при рассмотрении равновесия рычага. Уже здесь он идет своим путем. Вместо известного доказательства Архимеда он приводит свое, более простое. Для условия равновесия груза на наклонной плоскости Галилей также дает свой вывод, ничем не связанный с выводом Стевина. Наконец, к задаче о равновесии груза на наклонной плоскости применены соображения, вплотную примыкающие к принципу возможных перемещений Книга Гвидо Убальдо была хорошо известна Галилею . Он постарался избежать недомолвок и молчаливых допущений, не редких у его предшественников. Так, Гвидо Убальдо молчаливо предполагает, что сила, приложенная к ободу колеса ворота, направлена по касательной к ободу Галилей же не только подчеркивает, что сила должна быть направлена именно так, но рассматривает случай, когда сила приложена в направлении хорды. Он показывает, что равновесие в этом случае нарушается, так как плечо силы уменьшается. Применяя принцип к равновесию тяжелой точки на наклонной плоскости, он обращает внимание читателя (вернее, слушателя — Галилей сам не публиковал Механику , оставляя за ней роль учебного пособия) на то, что работа силы веса зависит только от вертикального перемещения груза. Тяжелые тела,— говорит он,— не оказывают сопротивления поперечным движениям . Наконец (и это — [c.133]

В следующих шести параграфах рассматриваются нестационарпые динамические задачи о совместном деформировании двух различных тел (одно из них может считаться абсолютно жестким), соприкасающихся по некоторой поверхности (области контакта). Взаимодействующие тела занимают области Gi, G2 и ограничены поверхностями ui, П2. Характерной особенностью контактных задач является совпадение области контакта Q, лишь с частью граничных кусков поверхностей (I2 С П], I2 С П2). На остальных же участках (Hi О и П2 П) контакт не происходит. При этом ограничимся, в основном, нестационарными задачами об ударе абсолютно жестких и деформируемых тел по деформируемому полупространству Gi (поверхность П2 — плоскость). В качестве среды же, заполняющей полупространство G2, как правило, будем рассматривать упругие и акустические среды, а также некоторые сплошные среды, моделирующие грунт. [c.350]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...