Задача четырех вихрей на плоскости

Остановимся сначала на качественном анализе задачи трех вихрей, к задаче четырех вихрей (на плоскости и сфере) мы вернемся в 6 после решения проблемы классификации вихревой алгебры и введения соответствующих симплектических координат. [c.44]

Замечание 1. Для задачи четырех вихрей на плоскости при условиях (4.1) в работе [94] выполнена редукция по Раусу на три степени свободы посредством явного исключения всех циклических переменных с помощью канонических преобразований. При таком подходе остается невыясненной связь с задачей М — 1) вихрей и возникает необходимость рассмотрения всевозможных частных случаев. [c.90]

Задача четырех вихрей на плоскости [c.117]

Рассмотрим две задачи динамики четырех вихрей на плоскости и сфере, обладающие двумя типами симметрии — центральной и зеркальной (для [c.97]

С их помощью удалось строго показать отсутствие нетривиальных интегралов и групп симметрий в ряде классических задач динамики в ограниченной задаче трех тел, при вращении тяжелого несимметричного тела с неподвижной точкой, при движении твердого тела в идеальной жидкости, в задаче четырех точечных вихрей на плоскости и многих других. В каждой из этих задач результат о неинтегрируемости основывается на анализе особенностей качественного поведения фазовых траекторий. В итоге, на мой взгляд, сложилась самостоятельная часть теории гамильтоновых систем со своими характерными задачами, методами и результатами. Цель книги — дать систематическое изложение современных идей и результатов этой теории. [c.18]

В отличие от задачи трех вихрей, система четырех вихрей (равных интенсивностей) на плоскости не является интегрируемой, поэтому ее решения не допускают достаточно полного описания. Методом 3 (см. раздел Абсолютное движение и адвекция ) можно показать, что периодическим решениям приведенной системы соответствуют такие движения вихрей в абсолютном пространстве, что в некоторой вращающейся системе координат все вихри движутся по замкнутым кривым. Если эти кривые для каждого вихря одинаковы и переводятся друг в друга поворотом относительно центра завихренности, то существует также вращающаяся система координат, в которой вихри движутся по одной и той же кривой, т. е. образуют относительную хореографию. Кроме этого в задаче четырех вихрей возможны также несвязные относительные хореографии, когда вихри парами движутся по двум различным замкнутым кривым, когда три вихря движутся по одной замкнутой кривой, а четвертый по другой, когда вихри движутся по трем различным замкнутым кривым и самый крайний случай, когда каждый вихрь движется по своей, отличной от других замкнутой кривой. [c.128]

Замечание 2. Мы доказали неинтегрируемость задач только в ограниченной постановке. Однако остаются открытыми вопросы об интегрировании общей задачи о движении четырех вихрей (как на сфере, так и на плоскости) и общей задачи трех коаксиальных колец при конечных значениях интенсивностей Г , а также поиска частных случаев интегрируемости. Для четырех точечных вихрей на плоскости один из таких случаев рассмотрен в [22] при этом [c.383]

Взаимодействие четырех вихрей при наличии центра симметрии. Интегрируемую систему динамики четырех вихрей можно получить и при другом типе симметрии задачи, а именно при центральной. При этом расположении вихрей на комплексной плоскости и их интенсивности должны удовлетворять соотношениям [c.126]

Как следует из 3 и приведенного выше описания абсолютного движения, задача адвекции для системы трех вихрей приводит к одностепенной гамильтоновой системе (1.17), (1.18) с квазипериодическим по времени (двухчастотным) возмущением. В литературе рассматривались лишь частные постановки этой задачи с периодическим возмущением, в частности, для доказательства неинтегрируемости ограниченной задачи четырех вихрей на плоскости [23]. В общем случае анализ подобных систем сводится к исследованию некоторого трехмерного точечного отображения (сечения) Пуанкаре [И] и в настоящее время не выполнен. [c.65]

Замечание 2. Первоначально связь с приведенной системой задачи М — 1) вихрей для этого случая была указана в книге [10], впоследствие, для случая четырех вихрей на плоскости при нулевом суммарном моменте в работе [73] были указаны интегралы (4.7) и показано, что этот случай частной интегрируемости может быть исследован при помощи качественных методов задачи трех вихрей. Тем не менее, гамильтонова природа редукции и ее обобщение на систему Л/ -вихрей и случай сферы в работе [73] не указаны. [c.90]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...