Метод обобщенных рядов

Наиболее ранним методом этого направления является однопараметрический метод. К- Польгаузена Л. 176]. Теперь этот метод в первоначальном его виде не используется, однако рассмотрение его целесообразно, поскольку идея К- Польгаузена получила широкое применение в различных приложениях динамики жидкости, а однопараметрический метод обобщен рядом исследований на более общие задачи. [c.116]

Видоизменение, которое будет описано ниже, и которое назовем методом обобщенных рядов Фурье, свободно от этих черт неэффективности и позволяет, непосредственно из данных задачи, конструировать необходимую базисную систему и коэффициенты разложения. [c.500]

Методом обобщенных рядов Фурье теорема существования для задачи [c.544]

Решение краевых задач теории упругости для кусочно-неоднородных сред методом обобщенных рядов Фурье. Труды Грузинского политехи, ин-та 4 (97) (1964), 11 — 19. [c.648]

Применение метода обобщенных рядов к задачам теории упругости. Решение задачи (D/) для односвязной области. Согласно 2 гл. X решение задачи (D,) дается решением функциональных уравнений (10.19i) и (lO.lQj). Для плоской задачи эти уравнения принимают следующий вид [c.422]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ РЯДОВ [c.423]

Эта задача решается методом обобщенных рядов аналогично внутренней задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе. Различие состоит лишь в том, что теперь вспомогательную поверхность 5 следует строить внутри области В . Это обстоятельство вызывает незначи- [c.429]

Метод обобщенных реологических моделей. На наш взгляд, этот метод наиболее интересен, поскольку базируется на основных положениях статистической теории вещества и, как будет показано далее, может дать ряд неожиданных теоретических и практических результатов. [c.41]

Применение разложений типа (40) по существу эквивалентно замене рассматриваемой системы системой со счетным числом степеней свободы. При практических расчетах ряд (40) усекают, т. е. распределенную систему заменяют дискретной с конечным числом степеней свободы. Количество учитываемых членов ряда определяется требуемой точностью вычислений, частотным диапазоном внешнего воздействия и т. д. Случайные функции времени Ua t) при этом можно интерпретировать как обобщенные координаты для соответствующей системы с конечным числом степеней свободы. Поэтому метод решения задач случайных колебаний распределенных систем, основанный на использовании выражений, аналогичных (40), называют методом обобщенных координат. [c.315]

При вычислении г для повышения точности.расчетов использовался метод обобщенного суммирования рядов [71.- Расчет проводился для различных значений е из интервала [0,005 0,1]. [c.23]

Кроме этого, на основании разработанного метода найден ряд обобщенных температурных зависимостей термодинамических функций на линии фазового равновесия жидкость—пар. Получена обобщенная зависимость для расчета давления насыщенных паров [22, 24] при температурах, соответствующих давлению насыщения от 1 кПа до критического со средней ошибкой 1%. Для теплоты парообразования выведенная обобщенная зависимость [25] описывает экспериментальные данные в диапазоне Tr = = 0,50-ч-0,95 со средней ошибкой 1—3%. Полученные обобщенные зависимости для плотности пара и жидкости на кривой сосуществования в диапазоне приведенных температур описываются со средней ошибкой в 1% [26, 27]. Так как многие известные методы расчета теплофизических свойств газов и жидкостей требуют для своего расчета знание теплоты парообразования и плотности жидкости при нормальной температуре кипения, то были получены простые и точные обобщенные зависимости для расчета этих свойств [28]. [c.96]

Обобщение метода характеристических рядов для нелинейных [c.243]

Соотношения (1.30), (1.31) эквивалентны обычным условиям сшивания полей. Кроме того, они учитывают и граничные условия. Конкретный вид операторов R а Т зависит от рассматриваемой дифракционной структуры и вида падающего на решетку поля. Знания введенных матричных операторов достаточно, чтобы полностью описать дифракционные свойства структуры при периодическом ее возбуждении, а также для использования структуры в качестве элементарной при решении более сложных композиционных задач методом, который известен как метод обобщенных матриц рассеяния, метод матричных операторов, операторный метод, метод декомпозиции [54, 131, 132]. В этой главе нас интересует не конкретный вид R и Т, а некоторые общие свойства этих операторов. Рассмотрим, вначале ряд энергетических свойств, характерных для элементов обобщенных матриц рассеяния. Отдельно останавливаться на отражательных структурах нет смысла, поскольку переход к ним всегда осуществим, если в (1.28) и в последующих формулах для более общего случая полупрозрачной структуры, положить Тпр = О, п = О, 1,. .. [c.24]

Обобщение ряда ранее индивидуализированных конструктивных решений не только не противоречит техническому прогрессу, но и ускоряет его, так как приводит к укрупнению масштабов и применению передовых методов производства, а кроме того, к сосредоточению внимания на разрешении только принципиально новых технических задач. [c.15]

Основное содержание настоящей работы посвящено дальнейшей разработке расчетно-аналитического метода. В ряде глав даны новые исследования автора, а также приведены обобщения и систематизация накопившихся за последнее время в литературе материалов. [c.21]

Давида Абрамовича всегда отличала точность высказываний и постоянное стремление к простоте, ясности и краткости изложения материалов в статьях и книгах. Как-то, при работе над нашей статьей по рассеянию пи-мезонов на дейтроне, я принес на его рассмотрение вывод ряда многократного рассеяния в ЭКС методе, обобщенном на случай двух констант связи, на 5-6 страницах. При следующей нашей встрече я получил другой, очень изящный вывод, уместившийся на паре страниц. [c.405]

Эти обстоятельства явились побудительными причинами написания данной книги, а ее содержание соответствует указанному выше кругу проблем. В соответствии с существующим в настоящее время положением в книге рассмотрены отдельно экономические, психологические и социальные аспекты внедрения ЭВМ обобщен некоторый имеющийся опыт и дан обзор применяемых методов решения ряда основных задач, возникающих при внедрении выработаны определенные методические рекомендации по проведению отдельных этапов разработки АСУ, облегчающие и ускоряющие процесс ее внедрения, сказывающиеся на эффективности работы ЭВМ. [c.4]

Функциональные уравнения, которые в предыдущих главах использовались для доказательства теорем существования, могут быть также применены для построения приближенных (численных) решений [15]. Для этой цели мы воспользуемся приемом, основанным на замене интегральных (функциональных) уравнений системами линейных алгебраических уравнений, эквивалентными, в некотором смысле, исходным уравнениям, ( 1 — 19) и методом разложения в обобщенные ряды Фурье по некоторым полным системам функций ( 20 — 37). [c.319]

В настоящем обзоре будут рассматриваться в основном уточненные динамические теории, основанные на модели выдающегося отечественного ученого-механика С. П. Тимошенко (1916, 1921) для стержней и ее обобщениях на пластины и оболочки. Будут рассмотрены также с достаточной полнотой метод степенных рядов и менее подробно асимптотические и некоторые другие методы. Метод степенных рядов ведет свое начало от работ выдающихся математиков прошлого века Коши и Пуассона (1828). Асимптотические методы в динамике стержней, пластин и оболочек начали развиваться значительно позже, чем в других естественных науках. Все известные методы сводятся, по существу, к уменьшению тем или иным способом размерности трехмерной задачи теории упругости. [c.5]

Симметричные относительно срединной поверхности колебания пластины в случае плоской деформации были рассмотрены еще Коши [2.78] (1828). Он, исходя из метода степенных рядов, показал, что уравнения обобщенного плоского напряженного состояния вытекают из задачи динамической теории упругости как их простейшее приближение. [c.171]

В работе Y.-Y. Yu [3.174] (1965) построена линейная теория оболочек на основе обобщенного принципа Гамильтона—Остроградского и метода степенных рядов. На основе вариационного принципа в криволинейных ортогональных координатах выводится обобщенное вариационное уравнение движения упругой среды. Затем компоненты вектора перемещений и тензора деформаций представляются в виде бесконечных рядов и подставляются в вариационное уравнение [c.185]

Метод обобщенных координат, применяемых для описания движения (состояния) системы со связями, допускает важную математическую интерпретацию. Пространство, образованное совокупностью обобщенных координат д , носит название пространства конфигураций. Оно имеет 5 измерений. Поскольку состояние системы п материальных точек в любой момент времени задается набором координат ( 1, 2,. .., дз), то оно тем самым задается положением точки, изображающей систему в пространстве конфигураций. Несмотря на формальный характер этого математического приема, он оказывается весьма полезным в ряде вопросов физической теории. Например, описание движения системы с помощью изображающей точки оказывается эффективным и наглядным, если число измерений конфигурационного пространства мало. [c.169]

Обычно принято считать, что метод Фурье, связанный с разделением переменных, допускает эффективную реализацию только для некоторых конкретных областей. На самом деле, как мы видели, при достаточно общих предположениях относительно области и других данных задачи, решение всегда выражается в виде ряда Фурье, с явно задаваемыми коэффициентами. В связи с этим, этот метод мы назвали методом обобщенных рядов Фурье. В действительности, в идейном отношении он близок к так. называемому методу уравнений Фишера—Рисса, получившему широкое развитие, применительно к уравнениям эллиптического типа, в работах современных итальянских математиков (Пиконе, Америо, Фикера и др.), (см. Miranda [11). Основное отличие нашего метода от метода уравнений Фишера—Рисса состоит в том, что в первом содержится общий процесс построения необходимой полной совокупности частных решений, играющей здесь главную роль (см. Купрадзе [171). [c.544]

Первое изложение метода обобщенных рядов Фурье было дано в совместных работах Купрадзе и Алексидзе [11, [21 и более подробно в книге Купрадзе [131. [c.544]

Метод обобщенных рядов Фурье. Вводные замечания. Рассмотренные в предыдущих параграфах численные примеры показывают, что метод канонических функциональных уравнений может быть использован для получения приближенных решений граничных задач. Однако общего доказательства сходимости процесса приближения, применяемого в этом методе, мы не имеем, и теоремы 19 дают доказательство сходимости лишь в частных случаях. Теперь мы укажем другой способ приближенного решения граничных задач, в котором нам удалось доказать сходимость. Этот метод позволит получить решения в виде р.чдов по некоторым полным системам ортогональных функций и конечные их отрезки представляют приближения к точным решениям, [c.394]

В связи с этим обстоятельством в ряде случаев целесообразно использовать другие подходы к оценке точности результатов, полученных методами статистической линеаризации. В работе [85] предложен метод обобщенной статистической эквивалентной передаточной функции, основанный на разложении в ряд по ортогональным полиномам Чебышева—Эрмита случайных функций и позволяющий определить (в общем случае приближенно) высшие моменты этих функций в нелинейной системе. В этом методе искомые коэффициенты линеаризации вычисляются с помощью дополнительных коэффициентов, характеризующих разложение произвольных законов распределения вероятностей в ортонормиро-ванный ряд. В первом приближении закон распределения сигнала на входе нелинейного элемента предполагается нормальным. Исходя из принятой гипотезы вычисляют моментные характеристики нелинейного преобразования и пересчитывают их для входа нелинейного элемента. По этим моментам восстанавливают плотность вероятностей входного сигнала нелинейного элемента. Если плотность вероятностей отлична от нормальной, то расчет повторяют уже с учетом того, что закон распределения не является нормальным. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. [c.157]

В основе метода обобщенных определителей Хилла [9 лежит представление одного из решений общего уравнения (3) в форме (14). Пусть матрица-функция G (/) в уравнении (3) разложена в ряд Фурье по времени [c.128]

Алгоритм метода обобщенных определителей Хилла. Для системы с п степенями свободы при сохранении в рядах Фурье (54) и (55) первых Ра р гармоник соответственно размерность матрицы К равна 2п (2/io + 1) (2р + 1). В связи с высокой размерностью могут встретиться затруднения при проверке условий устойчивости. Если система обладает полной и достаточно сильной диссипацией, то следует отдать предпочтение критерию Зубова. Если диссипация отсутствует или она не является полной, то в области устойчивости все или часть характеристических показателей — чисто мнимые. Критерии Рауса — Гурвица и Зубова в этих случаях непригодны. Устойчивость проверяют непосредственным вычислением комплексных корней уравнения (56). [c.130]

Изложению сущности метода обобщенного подобия в разных его аспектах посвящен ряд работ, среди которых отметим лишь следующие Л. Г. Л о й ц я н с к и й. Универсальные уравнения и параметрические приближения в теории ламинарного пограничного слоя, Прикл. матем. и мех. 29, № 1, 1965 и того же автора Универсальные уравнения теории ламинарного пограничного слоя и параметрические методы их интегрирования, Труды ЛПИ, № 280, 1967 Обобщенно-подобные решения уравнений пограничного слоя, сборник, посвященный шестидесятилетнему юбилею Л. И. Седова, Наука , М., 1969, стр. 301 Методы подобия в теории интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя, сборник Вопросы математической физики , посвященный семидесятипятилетнему юбилею Г. А. Гринберга, Наука , Л., 1976, стр. 237—254. Ссылки на статьи, содержащие разнообразные применения метода обобщенного подобия, приводятся далее. [c.468]

Метод обобщенного подобия к задачам ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности был впервые применен Чаном ), составившим универсальное уравнение и использовавшим для его решения метод разложения решения в ряд по степеням параметров, относительно которого были уже сделаны критические замечания в конце предыдущего параграфа. Численное решение универсального уравнения в простейших приближениях на ЭВЦМ для случая проницаемой поверхности было выполнено аспирантами [c.480]

Указанный путь развития метода дискретных вихрей можно рассматривать как эвристический. Он опирается на качественный анализ и югическое обобщение ряда фактов и закономерностей, установленнь[х расчетно-экспериментальным путем или точно доказанных в частных случаях. Благодаря развитию ЭВМ и численных методов аэродинамики стала возможной постановка численного эксперимента, особенно эффективного в тех случаях, когда он сочетается с аналитическими подходами и физическими экспериментом. При этом, конечно, важно иметь строгие доказательства сходимости и корректности таких подходов, что пока удалось сделать только частично [2.7,2.9]. [c.55]

В ЭТОЙ задаче все полученные результаты тривиальны и могут быть, разумеется, найдены просто разделением переменных. Решая задачу о дифракции на цилиндре или о возбуждении цилиндрического резонатора этим методом, пользуются рядами типа (1.4). В этом варианте ( 9) обобщенного метода собственных колебаний такие ряды используются и в том случае, когда каледая функция не является произведением функций от одной координаты — основным является то, что удовлетворяет волновому уравнению и граничному условию (1.2). [c.12]

Одно из интересных обобщений задачи устойчивости конвективного течения в вертикальном слое с однородными источниками тепла изучено в работе [5]. В этой работе рассматривается случай, когда вертикальные границы слоя поддерживаются при разных постоянных температурах. Основное течение представляет собой, таким образом, суперпозицию симметричного течения, обусловленного однородным тепловыделением (25.5), и антисимметричного, создаваемого разностью температур границ (1.13). Спектральная амплитудная задача решалась методом степенных рядов. Расчеты проведены в интервале чисел Прандтля от 0,01 до 1000 Расчеты показывают, что взаимодействие двух компонент течения оказывается сравнительно простым и приводит к взаимнсй дестабилизации. В зависимости от числа Прандтля потеря устойчивости связана с гидродинамической либо волновой модами, причем на обеих ветвях фазовые скорости отрицательны и могут значительно отличаться по величине. [c.289]

Анализ парадокса потери существования решения, который первоначально установлен был в конкретной задаче о взаимодействии вихревой нити с плоскостью, привел к попиманию ряда общих свойств конических течений вязкой жидкости и решению немалого числа далеко не тривиальных задач. Преодоление парадокса в тепловой задаче для струи Ландау привело к созданию метода обобщенных мультипольных разложений, который позволил решить ряд трудных задач в теории вязких струй и выявить их весьма необычные свойства. [c.318]

Соответствующее обобщение ряда Гёртлера на расчет температурных пограничных слоев (см. 5 главы IX) выполнено Э. Враге и Э. М. Спарроу [ ]. Оба метода применимы к любым распределениям температуры на стенке (см. следующий пункт настоящего параграфа). Сравнение расчетов температурного пограничного слоя на основе ряда Блазиуса и на основе ряда Гёртлера выполнено Н. Фрёсслингом [Щ. [c.289]

Идея представления решений граничных задач рядами по ортогональным функциям есть одна из основных идей математической физики и различные ее реализации применялись неоднократно. Достаточно подробный обзор соответствующих результатов и их применений можно найти, например, в известной книге Л. В. Канторовича и В. Й. Крылова Приближенные методы высшего анализа (Гостехиздат, 1949, М.—Л.). Главное затруднение, с которым приходится иметь дело при пользовании этим способом, состоит в указании систем функции, по которым следует разлагать искомое решение, для того чтобы обеспечить сходимость к точному значению. Кроме того, во многих случаях необходимо иметь функцию Грина и ей подобные другие функции, чтобы завершить доказательство сходимости. Дополнительные трудности возникают при рассмотрении задач с многосвязными областями. Способ обобщенных рядов Фурье, который мы изложим ниже, как нам кажется, свободен от этих недостатков. В 21—38 он будет применен к граничным задачам для одного уравнения и для систем уравнений. Эти результаты (за исключением тех, которые относятся к смешанным задачам) получены в совместной работе автора и М. А. Алексидзе [15] и излагаются здесь с некоторыми изменениями и дополнениями. [c.395]

Способ разложения граничных функций. Как мы видели, строя по методу функциональных уравнений приближенное решение задачи (D), мы сначала получае1М обобщенный ряд Фурье для граничных значений вектора напряжений а в задаче Т) — ряд Фурье для граничных значений вектора смещений и лишь затем находим значения смещения и напряжений в произвольной точке внутри области. Аналогичную картину имеем и при решении смешанных задач (см. 32—37). На практике встречаются задачи, в которых основной интерес представляют именно эти промежуточные величины, и тогда, очевидно, метод функциональных уравнений особенно удобен. [c.464]

Отметим также работу В. В. Новожилова и Р. М Фин-кельштейна [3.62] (1943), в которой применяется метод степенных рядов в криволинейных ортогональных координатах как вспомогательная процедур а. Э. И. Григолюк (1951) применил этот метод к двуслойным оболочкам. В этих работах с целью обобщения гипотез Кирхгофа —Лява напряжения определяются в виде рядов Маклорена, в которых ограничиваются тремя членами [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...