Разложение граничных функций

При выводе соотношения (3.1) предполагалось, что для коэффициентов разложения в ряды Фурье граничных функций (2.4) для [c.171]

Если функция Грина известна, то решение задачи теплопроводности для заданной области, при заданных граничных условиях и начальной температуре, являющейся произвольной функцией пространственных координат, можно сразу же записать при помощи формул данного раздела. Некоторые из этих решений были уже получены другими методами, но при этом мы каждый раз допускали, что возможно такое разложение произвольной функции, которое требуется задачей. В излагаемом сейчас методе нет необходимости в подобном допущении ). [c.350]

В силу соотношения (1.22) между коэффициентами разложения вектор-функций Ua и 0 по базису j можно установить взаимно однозначное соответствие, из чего вытекает эквивалентность второго варианта уравнений динамики оболочки (краевая задача в коэффициентах) уравнениям проекционного метода. Таким образом, уравнения проекционного метода могут содержать в качестве неизвестных коэффициенты или моменты, приводить же граничные условия на боковых поверхностях оболочки к однородным с помощью замены U=U +VJ не обязательно. [c.15]

Дифференциальные уравнения (11.3) при граничных условиях (11.4) можно решать с помощью разложений искомых функций вблизи начала координат (г = 0) и их асимптотических разложений вблизи бесконечно удалённой точки (г = оо). Входящие в эти разложения коэффициенты должны быть определены не только из граничных условий, но и из требований непрерывности самих функций Р, О к И ч пер- [c.148]

В предыдущем разделе было показано, что если просто приравнивать скорость изменения плотности нейтронов к интенсивности поглощения дополнительного поглотителя, помещенного в котел, который первоначально был в критическом состоянии, то мы получаем неверный результат. Ошибка при этом возникает вследствие неправильного учета изменения утечки нейтронов. Попытаемся найти правильные граничные условия в котле с упавшим значением плотности нейтронов. Чтобы получить условия на границе, используем описанное выше гармоническое разложение. Если функции составляют замкнутую ортогональную систему,- то любую функцию, изображающую распределение плотности в котле, можно разложить в ряд по функциям этой системы. [c.164]

Акустическая задача, ряд Ватсона. Как и в задаче о цилиндре, в задаче о шаре при ка 1 целесообразно пользоваться другими рядами. Они либо могут быть получены из найденных выше рядов асимптотическим суммированием (метод Ватсона), либо непосредственно разложением по функциям, удовлетворяющим граничным условиям и имеющим особенность на луче (метод Зоммерфельда). Наметим основы второго метода. Введем частные решения [c.68]

Если исключить небольшое числе частных случаев, когда классический метод Фурье вполне эффективен как расчетный метод, значение его в этом смысле следует признать ограниченным. Применение метода Фурье для решения граничных задач предполагает разложение искомой функции по элементам базисной системы функции, которые в общем случае сами являются решениями не менее сложных граничных задач и численная реализация метода возможна лишь при условии знания собственных функций и собственных чисел этих задач. [c.500]

Если эти условия отброшены, тогда граничные условия (2) 59 недостаточны для полного определения функций Ф и некоторые из коэффициентов разложений этих функций окажутся не вполне определенными и будут содержать известное число произвольных постоянных, [c.214]

Мы видели в предыдуш их отделах этой главы, что в случае областей, ограниченных одной окружностью или двумя концентрическими окружностями, решение граничных задач путем разложения неизвестных функций в степенные ряды дает эффективные результаты. Во многих случаях путем [c.223]

Успешно используется разложение искомой функции по полной системе функций, удовлетворяющих тем же граничным условиям, что и искомая функция. Приведем следующие примеры разложение по стоячим волнам, т. е. по так называемым нормальным модам (при этом электромагнитное поле может рассматриваться внутри конечной полости с соответствующей геометрией — допустим, в форме параллелепипеда — и со стенками, обладающими бесконечной проводимостью) разложение по плоским прямым волнам, на которые накладываются определенные условия периодичности (равенство значений напряженности поля в эквивалентных точках интервала периодичности). Названные в этих примерах функции возникают в проблемах с дискретным спектром собственных значений. Поэтому функции, образующие полную систему, можно пронумеровать если есть [c.92]

В работе П. Ф. Папковича [184] впервые ставится проблема базиса для однородных решений, т. е. проблема о возможности представления двух граничных функций в виде разложений по однородным решениям. [c.148]

Вообще же полные системы векторов, которые мы построили для приближенного решения различных граничных задач, могут быть эффективно использованы для тех же целей, если применить часто используемую в математической физике идею разложения в ряд граничных функций, задаваемых в задаче. Покажем это иа примере задачи (7 ,). Пусть граничное значение вектора напряжения есть f y), которое, разумеется, удовлетворяет условиям разрешимости задачи (Г ). Пусть [c.464]

Для построения решения необходимо задать начальные условия во входном значении, а также граничные условия на стенке сонла и его оси. Начальные условия получаются при построении решения в окрестности бесконечно удаленной точки путем разложения искомых функций в ряд по обратным степеням а ([160], см. также 3.4). [c.344]

Поэтому естественно теорию возбуждения систем с потерями строить исходя из разложений искомых полей по некоторым иным заведомо полным системам функций, например по собственным волнам волновода той же формы, но ез потерь. При этом искомое поле и используемые для его разложения базисные функции удовлетворяют разным граничным условиям, так что необходимо обобщение спектрального метода на этот случай. Такой подход развивается в [14, 15]. Ниже мы изложим его, основываясь преимущественно на работе [15]. [c.43]

Отметим, что естественной переменной для дальней области является не сама радиальная координата г, а произведение р = rR. При введении этой переменной из уравнения (20,20) выпадает число R — в соответствии с тем, что при 1/R вязкие и инерционные члены в уравнении сравниваются по порядку величины. Число R входит при этом в решение только через граничное условие сшивки с решением в ближней области. Поэтому разложение функции v(r) в дальней области является разложением по степеням R при заданных значениях произведения р = rR действительно, вторые члены в (20,24), будучи выражены через р, содержат множитель R. [c.97]

Начальные функции определяют из граничных условий на плоскостях (линиях) г=0(у=0) и z=h y=h) из системы трех (двух) линейных дифференциальных уравнений по переменным х, у х). Порядок этих уравнений зависит от числа членов разложения по степеням z y), удерживаемых для дифференциальных операторов L общего линейного преобразования (1.22). [c.16]

Учитывая граничные условия (г), задаем искомые функции Zo, Уо, Хо в виде разложений [c.212]

Решив систему уравнений (8.9) при заданных граничных условиях на поперечных краях, получим выражения для всех функций у) и тем самым согласно разложению (б) определим функцию прогибов w x, у). [c.165]

Эти формулы легко установить, если предварительно задаться для функций ф(Р и ф(Р разложением в ряды Лорана около бесконечно удаленной точки t = оо. Коэффициенты этих разложений определяются из граничных условий при р = а и из условий в бесконечности. [c.508]

Очевидное преимущество использования моделирующей непрерывной однородной среды состоит в том, что оно сразу дает определяющие уравнения вместе с граничными и начальными условиями. Как только такая модель построена, ее можно применять к изготовленным из композита телам конечных размеров и произвольной формы. В то же время в подходах, использующих уравнения теории упругости для отдельных компонентов композита в сочетании с прямыми методами вариационного исчисления или асимптотическими разложениями, требуется разумный выбор множества базисных функций для каждого конкретного тела. [c.375]

Следует заметить, что нарушение гипотезы о линейности граничных условий приводит к невозможности разложения решений по фундаментальным функциям и, следовательно, в данном случае исчезает возможность использования хорошо разработанных сейчас методов исследования колебаний линейных упругих систем с распределенными массами. Развитые ниже методы могут быть перенесены и на задачи о колебании пластин, мембран, струн, имеющих нелинейные граничные условия. [c.4]

Затем были проведены эксперименты по определению динамических характеристик выхлопной трубы, с тем чтобы по ним подобрать соответствуюш,ее демпфирующее покрытие. Для нахождения передаточных функций и форм колебаний, необходимых для расчетов, использовались как аналоговые, так и цифровые ЭВМ, причем в первых применялся метод передаточных функций, а во вторых — численное разложение в ряды Фурье. Патрубок выхлопной трубы прикреплялся болтами к жесткой плите, что имитировало реальные граничные условия. [c.359]

Для тел, ограниченных координатными поверхностями в какой-либо одной из ортогональных систем координат [8], с однотипными в пределах каждой отдельной координатной поверхности граничными условиями точное аналитическое решение линейной задачи можно получить методом разделения переменных (методом Фурье) [7] или математически эквивалентным ему, но более универсальным методом интегральных преобразований [10, 13, 20]. Основная идея этих методов связана с разложением искомого решения в ряд по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Собственные функции и формулы интегральных преобразований для тел простой геометрической формы табулированы [13]. [c.43]

Следует отметить, что используемый здесь метод разложения решений уравнения теплопроводности в ряд по собственным функциям однородного уравнения справедлив лишь при линейных граничных условиях типа (3.3). Из самого вывода уравнения для собственных функций (3.98) видно, что граничное условие (3.99) сохранило вид (3.3) в силу линейности последнего. Задачи, в которых теплоотвод из твэла осуществляется по нелинейным законам [тепловое излучение, электронное охлаждение, см. формулы [c.100]

Граничное условие на внешней поверхности канала с теплот носителем описывается уравнением (3.25). Будем искать решение нестационарного уравнения (3.24) в виде разложения в ряд по собственным функциям однородного уравнения (3.111) [c.101]

Способ разложения граничных функций. Как мы видели, строя по методу функциональных уравнений приближенное решение задачи (D), мы сначала получае1М обобщенный ряд Фурье для граничных значений вектора напряжений а в задаче Т) — ряд Фурье для граничных значений вектора смещений и лишь затем находим значения смещения и напряжений в произвольной точке внутри области. Аналогичную картину имеем и при решении смешанных задач (см. 32—37). На практике встречаются задачи, в которых основной интерес представляют именно эти промежуточные величины, и тогда, очевидно, метод функциональных уравнений особенно удобен. [c.464]

Разложение граничных функций 464 Регуляризатор глобальный 104 Регуляризация глобальная 140 [c.471]

Найденные значения А , используют для нахождения производных в правых частях системы обыкновенных дифференциальных уравнений, причем полиноминаль-ное разложение искомой функции выбирают таким образом, чтобы удовлетворить всем граничным условиям. Для случая граничных условий 1-го рода, а также при нулевых производных построение полиноминального разложения не вызывает труда. Для случая граничных условий типа (1.5.16) (граничные условия 2-го рода) полиноми-нальное разложение, например, для скорости, выбирают в следующем виде [c.38]

Полученное соотношение ортогональности (7) значительно облегчает процедуру разложения произвольных функций в ряды по собственным формам обобщенных краевых задач и решение неоднородных уравнений вида (1). Описанным здесь способом могут быть получены соотношения ортогональности для резонансных форм движушихся стержней и струн [6] с граничными условиями типа (И), для нормальных волн Лэмба [7] в толстом упругом слое, для волн в тонкой полосе [8] и, по-видимому, для нормальных волн любого твердого волновода. [c.9]

Таким образом, система интегральных уравнений с помощью данного метода разложения искомой функции заменяется диффе ренциальным уравнением бесконечного порядка (7-60) с граничными условиями (7-61) и (7-62) на первой и второй стенках слоя. Ограничиваясь несколькими членами разложения, получаем дифференциальное уравнение соответствующего порядка, аппроксимирующее систему интегральных уравнений. Если порядок дифференциального уравнения принимается больше двух, то граничных условий оказывается уже недостаточно для того, чтобы определить все постоянные интегрирования. Поэтому приходится искусственно добавлять граничные условия к дифференциальному уравнению, вводя те или иные дояу-щения. [c.214]

Подробнее остановимся на подходе, предложенном А.Н. ВсСлковым [84]. В этой работе функции смещений и напряжений разлагаются в пределах каждого слоя в ряды по степеням поперечной координаты. Их подстановка в уравнения пространственной задачи теории упругости, отделение поперечной координаты и использование условий межслоевого контакта приводят к выражениям для коэффициентов разложений через начальные функции, определенные на начальной поверхности. Искомые функции выражаются через начальные при помощи матрицы начального преобразования, операторные элементы которой содержат в качестве параметров тепловые члены, механические и геометрические параметры слоев. Система дифференциальных уравнений для определения начальных функций получается путем удовлетворения условиям нагружения на верхней и нижней граничных поверхностях оболочки. Порядок этой системы определяется как числом слоев оболочки, так и числом членов ряда, удерживаемых в разложениях искомых функций, и оказывается достаточно высоким, что ограничивает возможности практического использования метода. Так, если для четырехслойной оболочки в разложениях искомых функций удерживаются члены до третьей степени включительно, то получающаяся при этом система дифференциальных уравнений имеет сороковой порядок. [c.7]

По происхождению и смыслу название метод граничных интегральных уравнений , конечно, шире, чем метод граничных элементов , поскольку предусматривает возможность решения уравнения любым из множества известных способов, а не только с помощью деления границы на элементы с аппроксимацией функций на них постоянными, полиномами или другими приближенными выражениями. Можно, например, использовать последовательные приближения, замену ядра уравнения иа близкое вырожденное ядро, разложения искомых функций в ряды и другие способы [1, 2]. Однако практически любой способ решения требует численного иитегрироваиия, которое, как правило, выполняется с делением границы иа элементы. Это, в частности, очень сближает два главных способа, используемых для решения ГИУ, — метод последовательных приближений и МГЭ в каноническом виде , т. е. решение ГИУ, сведением к алгебраиче- [c.265]

Задачи рассматриваемого типа, сводящиеся к решению диференциаль-ного уравнения (94) при граничных условиях (95), играют в теорети- ческой физике большую роль. Мы попытаемся решить задачу, предположив, что f(x, бесконечным рядом, каждый член которого представляет произведение из функции от одного только х на функцию от одного только общее выражение для f x, [c.103]

Граничные условия периодические 29 Г рупповое разложение приведенных функций распределения 175 [c.290]

Д. и, Шерман предложил метод эффективного решения этих задач для двусвязных областей определенного вида, заключающийся в следующем ) на одном из контуров, ограничивающих область сечения, вводится вспомогательная функция, для определения которой строится интегральное уравнение типа Фредгольма, которое затем решается при помощи разложения вспомогательной функции в ряд по степеням параметра, характеризующего частично размеры сечения, главным образом сравнительную близость граничных контуров для решения задачи с высокой степенью точности оказалось достаточным найти незначительное число приближений. В работах Д. И. Шермана [40], [41], [44—47], Д. И. Шермана и ]VI. 3. Народецкого [1] этим методом решены задачи кручения и изгиба брусьев, поперечные сечения которых являются двусвязными областями, ограниченными окружностью и эллипсом, окружностью и квадратом с закругленными вершинами, неконфокальными эллипсами и т. п. В работе Р. Д. Степанова и Д. И. Шермана [1] изучено кручение круглого бруса, ослабленного двумя продольными цилиндрическими круговыми полостями. В работе Д. И. Шермана [43] изучены бесконечные системы линейных уравнений, построенные для решения задач, рассмотренных в упомянутых выше работах (Шерман [40], Степанов и Шерман [1]). [c.629]

Граничные условия для функциональных коэффициентов в разложениях искомых функций в ( динарные ряды Ф ье [c.211]

Граничные условия к уравнению (2. 3. 21) совпадают с усло-ВИЯМ11 (2. 2. 10)—(2. 2. 13). Соотношение (2. 2. 13), определяющее нор.мальные ко.мпоненты тензора напряжений на поверхности пузырька, сводится к предположению о сферичности пузырька. Функцию тока будем искать в виде разложения [13] [c.27]

Скалярный потенциал ф, вообще говоря, связан с векторным потенциалом г1зг через граничные условия, что приводит к значительным математическим осложнениям. Несмотря на это, разложение перемещений вида (60) упрощает исследование, поскольку решение задачи с начальными и граничными условиями можно найти подбором подходящих частных решений уравнений (61а) и (616), выраженных через произвольные функции или интегралы от произвольных функций. Если эти функции можно подобрать так, чтобы удовлетворялись и граничные, и начальные условия, то тем самым будет получено точное решение. Это решение является единственным в силу теоремы [c.395]

В данном случае функция неуравновешенности, точнее эксцентриситета, не является истокообразной, но в большинстве случаев она обладает необходимыми свойствами для применения обобщенной теоремы о разложении, в которой не предполагается, что разлагаемая функция удовлетворяет граничным условиям. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...