Задача Уравнения — Решение — Теорема

Решенная задача показывает, как может использоваться теорема об изменении кинетической энергии для составления дифференциального уравнения движения системы, положение которой определяется одной координатой (здесь углом ф). [c.314]

Из уравнений движения выведем все теоремы динамики. Они дают возможность решить и обе основные задачи динамики точки. В прямой задаче, когда кинематические уравнения движения (5) даны, решение сводится к дифференцированию этих уравнений умножив на массу вторую производную от координаты по времени, получим проекцию силы. В обратной задаче, когда заданы проекции силы X, У и Z, а нужно определить координаты точки х, у, и z как функции времени, решение сводится к интегрированию трех совместных дифференциальных уравнений, где независимым переменным является время. [c.116]

Поле световой волны Е можно считать простой синусоидальной функцией частоты ы, т. е. Е = Е sin ы/, ибо по теореме Фурье поле иного вида всегда можно представить в виде суперпозиции таких функций, и решение более общей задачи сводится к решениям более простых задач такого типа. Положив g = 0 и разделив обе части уравнения (156.6) на т, придадим ему вид [c.553]

Теорема об изменении момента количества движения механической системы относительно движущегося центра масс при решении задач используется обычно совместно с теоремой о движении центра масс. Эти две теоремы позволяют записать диф. уравнения плоского движения тел и использовать их для решения. Задач на эту тему немного. Одну из них желательно знать. [c.129]

Охлаждение (нагревание) тел конечных размеров. В теории теплопроводности задачи на охлаждение (нагревание) тел конечных размеров решаются в соответствии с теоремой о перемножении решений. Суть теоремы состоит в том, что если есть решения уравнений теплопроводности ДЛЯ двух неограниченных пластин [c.162]

Общее решение. Необходимым условием экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . при данной формулировке задачи является удовлетворение требованиям теоремы правила множителей и, как следствия ее, соблюдение уравнений Эйлера — Лагранжа. Согласно теореме правила множителей и ее следствию [111] при наличии экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . необходимо, чтобы между узловыми точками соблюдались уравнения Эйлера — Лагранжа [c.179]

Чтобы в заключение показать на особенно важном примере всю силу подстановки, разобранной в двадцать шестой лекции и давшей нам уже решение ряда механических задач, мы ее применим к теореме Абеля. Эта теорема относится к некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений и дает две различные системы ее интегральных уравнений, из которых одна выражается через трансцендентные функции, другая — чисто алгебраически. Эти две системы интегральных уравнений, так различные по своей форме, тем пе менее вполне тождественны. [c.207]

Хотя прогресс, достигнутый благодаря использованию предложенного Больцманом подхода, поразителен, остается немало и нерешенных вопросов [13]. Во-первых, мы сталкиваемся с чисто практическими трудностями, возникающими, например, при желании использовать выведенные Больцманом уравнения для решения более общих задач (например, возникающих при изучении поведения газов большой плотности). За последние несколько лет кинетическая теория достигла выдающихся успехов. Тем не менее если мы внимательно проанализируем публикации, посвященные современной кинетической теории газов или статистической механики неравновесных систем, то не найдем в них ничего, что было бы похоже па, У/ -теорему Больцмана, хотя эта теорема остается справедливой для более общих случаев. Результат, полученный Больцманом, остался изолированным, что противоречит той общности, которую мы приписываем второму закону термодинамики. [c.145]

Попутно отметим, что те же осредненные зфавнения можно получить иначе путем применения интегральных уравнений неразрывности, вихрей и импульсов к элементарному объему жидкости в криволинейном четырехугольнике шириной 1х, изображенном на рис. 1 19 пунктиром. Помимо указанных уравнений, можно использовать интегральные теоремы следующих порядков и построить, таким образом, процесс последовательных приближений к точному решению задачи. [c.365]

Левые части этих уравнений — такие же, как в (18.37.6). Поэтому их определители будут равны нулю, если при п = k w некотором целом т выполняется равенство (18.37.8). Решение неоднородной статической задачи будет в этом случае, вообще говоря, невозможно. Это можно было предвидеть заранее. Рассматриваемые здесь статическая и геометрическая безмоментные задачи сопряжены (в смысле 7.7). Поэтому, если выполнено (18.37.8), т. е. если однородная геометрическая задача имеет нетривиальные решения, то согласно теореме 1 7.7 надо требовать, чтобы внешние силы статической задачи не совершали работы на перемеш,ениях сех возможных изгибаний. Выше было показано, что таких изгибаний бесконечное множество. Однако соответствующие им перемещения меняются по ag как sin rva или os r -ai,2, а внешние силы меняются по как sin ka или os ka2, поэтому, в силу ортогональности тригонометрических функций, работа внешних сил может отличаться от нуля лишь при п> = k. При фиксированном г существуют только два линейных независимых изгибания, а значит, и число нетривиальных условий Существования решения статической задачи также равно двум. Это и будут те два условия, которым должны отвечать правые части двух систем [c.266]

Обоснование схемы. Краевые задачи, предусмотренные п. (1) и (2), представляют собой обобщение задач Я и р, сформулированных в 20.12 различие заключается лишь в том, что в рассматриваемом случае они должны-решаться для оболочки с изломом % и что на А. в каждой задаче должны выполняться два условия сопряжения. Примем, что теоремы существования задач Р п р здесь формулируются так же, как и в 20.12, 20.13. Тогда можно утверждать, что обсуждаемая схема соответствует случаю, когда тангенциальное закрепление — жесткое, т. е. когда изгибания срединной поверхности невозможны, а следовательно, задача Р при любых, достаточно гладких правых частях уравнений и граничных условий имеет решения, зависящие от г констант с/ (s), а задача р имеет решение (единственное) тогда и только тогда, когда выполнены г интегральных требований. В рамках этогО предположения обоснование схемы построения приближения (s) превращается, в сущности, в повторение рассуждений 20.12. Опуская их, оста-. новимся только на следующем обстоятельстве. [c.319]

Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют строгие доказательства теорем о существовании и единственности решений. Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания, важны еще потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные к дифференциальным уравнениям граничные и начальные условия, а также и другие дополнительные требования, без выполнения которых решение задачи не [c.364]

Известно [2], что поставленная для уравнения (2) задача имеет обобщенное решение, характеризуемое конечной скоростью распространения возмущения, обусловленного краевым режимом (4). В [3] для уравнения (2) при 7 = 1 (изотермический газ) был предложен конструктивный метод нахождения обобщенного решения поставленной задачи для аналитической f t). Там же были построены ряды с полиномиальными по t коэффициентами и сформулирована теорема сходимости этих рядов. Целью настоящей работы является получение двух типов решений уравнения (2), доказательство теорем сходимости соответствующих рядов при более общих, чем в [3] условиях, а также анализ двух классов точных решений (2), которые получаются при некоторых конкретных предположениях о законе изменения скорости распространения по нулевому фону возмущений. При этом метод рассмотрения — обратный, функция f t) не задается заранее, а определяется в процессе решения задачи. [c.269]

Теорема единственности показывает, что для того, чтобы решение уравнений Максвелла было единственным, необходимо использовать условия 1—5. Однако этого недостаточно. Следует еще показать, что они не противоречивы и всегда существует (одно) решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее им, т. е. доказать теорему существования. Поэтому при построении решения различных задач дифракции обычно доказываются соответствующие теоремы существования решения задачи и дается эффективный алгоритм их отыскания [25, 50, 58, 63, 91, 93, 139, 198]. Детально ознакомиться с вопросами построения и реализации строгих математических моделей задач дифракции на решетках, электродинамические характеристики которых анализируются в данной книге, можно в работах [25, 58]. [c.16]

Рассмотрим применения теоремы сложения (2.17) для решений итерированных уравнений. При решении дифракционных задач возникает необходимость построения решений уравнения [c.56]

Гидродинамика вязкой жидкости развивалась в XX в. по нескольким в значительной степени независимым направлениям. С одной стороны, изучалась полная система уравнений Навье Стокса и ее свойства, был найден ряд точных решений и получены некоторые общие теоремы. С другой стороны, в целях изучения прикладных задач развивались методы решения различным образом усеченных и, в первую очередь, линеаризованных уравнений Навье — Стокса, приспособленных для специфических задач (в частности, приближение гидродинамической теории смазки, линеаризация В. Озеена), также методы численного решения полной системы уравнений. Наконец, в XX в. был заложен новый раздел гидродинамики вязкой жидкости — теория пограничного слоя — и продолжала развиваться обособленная область -гидродинамики — теория турбулентности. [c.294]

На основании леммы 2 теорема 7 доказывается без всякого труда. Действительно, если О, то I/(Я° )—решение линеаризованного уравнения Больцмана. В условиях теоремы 7 /7(Я°)) 11 Сб для некоторой постоянной s. Из леммы 2 следует, что если 4с4 5<1, то U является оператором сжатия в шаре [F f 2 5 . Отсюда следует, в частности, оценка точности линейного уравнения если f — решение задачи (1.1.4), [c.467]

Существует теорема, с помощью которой можно определить количество безразмерных чисел, свойственное рассматриваемой задаче. Это так называемая л-теорема физическое уравнение, содержащее п размерных величин, из которых т величин имеют независимую размерность, после приведения к безразмерному виду будет содержать п — т) безразмерных величин (критериев). При этом если т = п, то вид функции в уравнении типа (15-11) может быть определен с точностью до постоянной, т. е. метод анализа размерностей позволяет получить решение задачи. [c.155]

Получили систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В силу единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений получим А = А. Теорема доказана. [c.156]

К сожалению, число полученных решений в этой области остается весьма ограниченным [8]. И это замечание сорокалетней давности справедливо до сих пор. Малое количество решений не позволяет до конца изучить структуру уравнений, доказывать теоремы суш ествования и единственности, тестировать численные расчеты. В конечном счете это сводится к невозможности эффективно решать практически важные задачи в которых возникают либо учитываются пластические деформации. Поэтому задача построения точных решений актуальна до сих пор. [c.719]

Таким образом, задача сводится к решению уравнений (7.87) и (7.88). Уравнение (7.88) есть уравнение с сингулярным ядром А (х, у 0), и его резольвентой, согласно (7.76), является А (х, у х) поэтому не является характеристическим числом для уравнения (7.88), и его решение находится по первой теореме Фредгольма, уже доказанной выше. [c.195]

Теорема. Если (а) и (5), то задача (1)" имеет решение и притом единственное. Это решение дается потенциалом двойного слоя W (х ф), где ф — решение уравнения (I)" . [c.262]

Замечание. Тот факт, что внешние задачи оказались разрешимыми в потенциалах для всех значений параметра со , указывает на возможность априорной конструкции решения в таком виде, который приводит к интегральным уравнениям, разрешимым по первой теореме Фредгольма. Однако в общем случае разыскание подобных искусственных конструкций затруднительно, и, как мы видели, в этом нет никакой необходимости. Достаточно каждый раз пользоваться потенциалами либо простого, либо двойного слоя и хотя при этом приходим, вообще говоря, к необходимости обращаться к третьей теореме Фредгольма, но интегральные уравнения сами указывают тот набор функций, которые обеспечивают разрешимость. В том случае, когда полюс является простым, как в рассмотренных выше задачах, такими функциями служат совокупности фундаментальных решений данного и союзного уравнения, а в случае полюса высшего порядка — совокупность так называемых главных функций этих же уравнений (см. по этому вопросу Купрадзе 16], [13]). [c.310]

Теорема. Регулярное решение задачи (II) есть решение функционального уравнения (5.23), определенное с точностью до произвольного аддитивного вектора жесткого смещения, [c.481]

Согласно теоремам из П1, 1, п. 6, однородные гранично-контактные статические задачи, кроме второй, допускают лишь нулевые решения, вторая же задача имеет ненулевое решение, являющееся жестким смещением. На этом основании, в соответствии с теоремами эквивалентности, можно утверждать, что однородные функциональные уравнения, соответствующие уравнению (5.52) для всех задач, кроме второй, имеют лишь тривиальные решения [c.490]

Ясно, что и в данном случае из этой теоремы можно сделать те выводы, которые в предыдущем параграфе были сделаны из теоремы 5.18. В частности если решение интегрального уравнения (5.58) не обладает такой степенью гладкости, которая необходима для принадлежности решения функционального уравнения (5.51) классу ( )П то рассматриваемая гранично-контактная задача не имеет решения в классическом смысле и в этом случае решение функционального уравнения может быть принято за обобщенное решение задачи. [c.495]

Для определения решения в исходных переменных необходимо вычислить квадратуры (25). То есть для получения в некоторой области переменных р, q общего решения достаточно уметь вычислить соответствующие квадратуры и разрешить неявные функции. Такие задачи называются интегрируемыми. Тем самым теорема Лиувилля утверждает, что знание всего т независимых первых интегралов в инволюции гарантирует интегрируемость уравнений Гамильтона. В этом одна из специфических особенностей гамильтоновых систем. [c.370]

Для вырождающегося на границе линейного однородного эллиптического уравнения (32) справедливо обобщение теоремы Жиро [32] во внутренней точке линии вырождения, где решение достигает максимального значения, производная по направлению внутренней нормали строго отрицательна (см. также [19]). Отсюда с учетом общего принципа максимума следует единственность непрерывного в замкнутой области решения задачи N. [c.50]

По теореме единственности решения (доказательство теоремы дано в приложении), если некоторая функция Т х, у, 2, х) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. [c.30]

В этой главе мы видели, что несколько различных задач сводятся к решению линейного функционального уравнения специального вида. Так обстояло дело с уравнениями (2.2.6), (2.2.7) и с (2.2.8), когда мы изучали замены времени для потоков с уравнениями (2.6.4) и (2.6.5), возникшими при доказательстве топологической устойчивости гиперболических автоморфизмов тора (теорема 2.6.1, см. также доказательство предложения 2.6.2) и в линеаризованном уравнении (2.8.3) для сопрягающего отображения при использовании метода Ньютона. В случае дискретного времени все эти уравнения могут быть представлены в виде [c.111]

Теорема 1. Регулярное решение задачи (А) есть решение функциональных уравнений (4.10,), (4.1 Од), [c.87]

Теорема 3. Если о) отлично от собственных частот задачи (Tj) для области В, то регулярное решение задачи В2, есть решение функционального уравнения [c.90]

Теорема 4. Регулярное решение статической задачи (Б,) есть решение уравнения [c.96]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Можно использовать также и неповёрну-тый план скоростей. В этом случае необходимо все силы при их переносе на план скоростей повернуть в одном и том же направлении на угол в 90°. Так как при решении задач силового расчёта по этому методу план скоростей рассматривается как жёсткий рычаг, то уравнение (100) носит название теоремы о жёстком рычаге, или теоремы Жуковского. [c.54]

Уравнеркя для и мы только что разобрали. Уравнения для W представляются в их простейшей форме. Следовательно, теорема Дюамеля упрощает задачу и сводит решение ее к решению задачи теплопроводности, в которой температура граничной поверхности не зависит от времени. [c.26]

Член Pq (w) в правой части представляет собой возмущающую функцию, которая равна нулю при оу = О, т. е. в точке нахождения малой планеты массы v при этом, однако, левая часть вырождается. Подставив в уравнение(6) Pq (w) = О, получим после поворота z = уравнение (2). Таким образом, уравнение (6) оказывается близким к уравнению интегрируемой кеплеровой задачи для малых w, даже когда величина fx = 1 — v не мала. В данном случае наиболее важным моментом вновь является применение условий периодичности (3) после замены х наоу, так как тем самым гарантируется, что якобиан относительно невозмущенного эллиптического решения л (/) не будет равен нулю. Приводить, однако, условия (3) к виду (5) бесполезно, так как в настоящих обстоятельствах нельзя рассматривать х как малый переменный параметр — теперь эта величина фиксирована и близка к единице. Несмотря на это, мы можем разрешить (3) с учетом (4) относительно Т и rjg, как и в случае уравнения (5), с помощью теоремы о неявных функциях, если воспользуемся следующим приемом. [c.98]

Решение. Материальная система имеет две степени свободы. Дэиже-ние системы описьшается двумя дифференциальными уравнениями движения. Читателю, недостаточно искушенному в решении задач, трудно из значительного числа общих теорем и уравнений выбрать нужные две теоремы. Поэтому рекомендуется применить уравнения Лагранжа. [c.558]

Отметим попутно, что было бы ошибкой пытаться представить возмущение как действие внешней среды на изучаемую систему, получая таким образом равновероятность собственных состояний полной энергии системы. Причины этого те же, что и указанные в 20 п. г главы I задача доказательства Я-теоремы, составляющая одну из наиболее важных частей Teopiin, может быть поставлена лишь по отношению к изолированной системе. Главное же заключается в том, что, привлекая внешнюю среду для обоснования статистических свойств системы, мы просто переносим трудности в другое место — в определение вероятностной характеристики действия внешней среды (в частности, в излагаемой теории внешнее возмущение должно будет удовлетворять второму и третьему из только что приведенных требований). Как показывает строгое, основанное на уравнении Шредингера решение квантовомеханической задачи, для любой заданной начальной Т-функции и любой [c.147]

Третья глава посвящена граничным условиям. В связи с этим обсуждаются явления, происходящие при взаимодействии газа с поверхностью, и роль, которую они играют при доказательстве Я-теоремы Больцмана. В четвертой главе расс1иатриБаются линейные уравнения переноса, в особенности линеаризованное уравнение Больцмана, уравнения переноса нейтронов и излучения, а также линейные модельные уравнения. Основное внимание уделяется общим аспектам этих задач и их решения. В пятой главе обсул<даются предельные случаи бесстолкновитель-ного и почти континуального течений. Шестая глава посвящена аналитическому решению линейных кинетических модельных уравнений с приложением к ряду задач о течениях газа и распространении звука в разреженных газах. [c.8]

Полупространственные задачи труднее для решения, поскольку они требуют применения теоремы полноты для полупространства и, следовательно, уравнений, содержащих P u s). Тем не менее для задач с начальными условиями решение всегда можно свести к двойным квадратурам, а для задач со стационарными колебаниями — к одной квадратуре, при условии что граничные условия дают явное выражение для функции распределения молекул, входящих в полупространство (как в случае полной диффузии от стенки). [c.347]

Задача В( для неоднородной упругой полосы изучалась в [10], где были определены свойства обобщенных решений, в том числе и дифференциальные, и доказаны теоремы единственности решений интегральных уравнений задачи. Отмечено, что решения задач при дорэлеевских режимах движения во многом схожи с решениями соответствующих задач А( . Существенным отличием является уже отмеченная ранее несимметричность решений задач В и В , вызываемая движением. [c.345]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...