Автоморфизм тора гиперболический

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Гиперболические автоморфизмы тора [c.56]

Гиперболические автоморфизмы тора представляют собой довольно естественный обратимый аналог растягивающих отображений Е . Они имеют весьма схожие свойства, и их анализ даст нам возможность испробовать некоторые важные методы, используемые в теории гиперболических динамических систем. [c.56]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ АВТОМОРФИЗМЫ ТОРА [c.57]

Конструкция примера из этого раздела может быть обобщена, например, так. Пусть L R R — некоторая целочисленная (гтг х т)-матрица с определителем + 1 или —1 и без собственных значений, по модулю равных единице, т. е. гиперболическая матрица. Тогда LZ = Z и отображение L обратимо на Z , так что L определяет обратимое отображение т-тора которое имеет свойства, очень сходные с рассмотренными ранее свойствами Fj . Мы будем называть такое отображение гиперболическим автоморфизмом тора. Если опустить ограничение на определитель L, возникающее в результате отображение все еще может рассматриваться как отображение тора, хотя и не обратимое. Такие отображения называются гиперболическими эндоморфизмами тора. Для m = 1 это просто растягивающие отображения окружности. [c.60]

Вычислите число Р (Н) периодических точек периода п произвольного гиперболического автоморфизма тора Я. Покажите, что для некоторого А >О существует т Р (Я)/А . [c.60]

Чтобы подчеркнуть различие между эквивалентностью и орбитальной эквивалентностью потоков, заметим, что в обоих случаях образ периодической орбиты потока есть периодическая орбита его образа. Однако даже из С -эквивалентности потоков следует, что период такой орбиты сохраняется, в то время как при орбитальной эквивалентности может произойти изменение этого периода. Например, типичная замена времени изменяет период данной орбиты, и такие изменения могут производиться независимо для различных орбит. Таким образом, периоды периодических орбит являются модулями даже для С -эквивалентности потоков, и в случаях типа надстройки гиперболического автоморфизма тора F имеется бесконечно много таких модулей. Взаимоотношения между этими модулями и модулями, соответствующими собственным значениям линеаризации этого отображения, далеко не тривиальны. [c.79]

Рассмотрим гиперболический автоморфизм тора из 1.8. Каждая периодическая орбита определяет единственную периодическую орбиту любого специального потока, построенного по Р . Выберем любое конечное семейство О ,.периодических орбит. Покажите, что для любых положительных действительных чисел существует такая положительная функция на класса С , что орбита специального потока на (Т ) , соответствующая О , имеет период а = 1,..., т. [c.80]

По-настоящему интересные и, возможно, несколько неожиданные примеры— растягивающие отображения из 1.7 и гиперболические автоморфизмы тора из 1.8. Эти отображения имеют сложную структуру орбит (см. предложения 1.7.2, 1.7.3, 1.8.1 и 1.8.4), и сохранение такой структуры при возмущениях, несомненно, показательно. В следующем параграфе мы перейдем к исследованию устойчивости этих примеров, а также некоторых взаимоотношений между ними и символическими системами. На самом деле мы сделаем даже больше, чем просто установим структурную устойчивость отображений Е -. мы покажем, что степень дает полную топологическую классификацию большого класса отображений, который включает С -возмущения Е . [c.83]

Устойчивость гиперболических автоморфизмов тора [c.99]

УСТОЙЧИВОСТЬ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ АВТОМОРФИЗМОВ ТОРА 101 [c.101]

В этой главе мы видели, что несколько различных задач сводятся к решению линейного функционального уравнения специального вида. Так обстояло дело с уравнениями (2.2.6), (2.2.7) и с (2.2.8), когда мы изучали замены времени для потоков с уравнениями (2.6.4) и (2.6.5), возникшими при доказательстве топологической устойчивости гиперболических автоморфизмов тора (теорема 2.6.1, см. также доказательство предложения 2.6.2) и в линеаризованном уравнении (2.8.3) для сопрягающего отображения при использовании метода Ньютона. В случае дискретного времени все эти уравнения могут быть представлены в виде [c.111]

В заключение отметим, что для гиперболического автоморфизма тора Fj Т , Fi(i, у) = (2х -Ь у, i -ь у) (mod 1), мы имеем [c.119]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

Системы с различным асимптотическим поведением для различных начальных условий, неустойчивостью асимптотического поведения относительно начальных условий и высокой (экспоненциальной) степенью роста сложности глобальной структуры орбит, представляемой, например, экспоненциальным ростом числа периодических орбит и положительной топологической энтропией. В эту группу входят растягивающие отображения окружности ( 1.7), гиперболические автоморфизмы тора ( 1.8) и транзитивные топологические цепи Маркова, включая полный сдвиг ( 1.9). [c.156]

Теперь мы приведем другое доказательство строгой эргодичности сдвигов тора. Оно состоит из двух частей. Сначала с использованием соображений из анализа Фурье мы докажем эргодичность. Соображения такого рода весьма полезны при анализе многих динамических систем алгебраического происхождения, включая растягивающие отображения и гиперболические автоморфизмы тора. В случае сдвига доказательство эргодичности по существу содержится в нашем доказательстве топологической транзитивности (предложение 1.4.1). [c.157]

Неравенство h (F) log A вытекает также из вариационного принципа (теорема 4.5.3). Другой способ вычисления энтропии гиперболического автоморфизма тора содержится в упр. 4.4.6 и 4.4.7. [c.187]

Используя упражнения 4.4.2 и 4.4.7, строго сформулируйте и докажите утверждение периодические точки гиперболического автоморфизма тора Р равномерно распределены относительно меры Лебега . [c.188]

Весьма естественен вопрос об условиях единственности такой меры. Очевидно, можно брать объединение нескольких непересекающихся копий одной и той же разделяющей системы, которое представляет собой разделяющую систему, или объединение нескольких различных систем с одинаковой энтропией, и по второму утверждению предложения 3.1.7 и второму утверждению предложения 4.3.16 мера с максимальной энтропией тогда не будет единственной. Не помогает и добавление условия топологической транзитивности (упражнение 4.5.2). Однако, как мы увидим в 20.1, для большого естественного класса разделяющих динамических систем, который, в частности, включает все транзитивные топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора, подковы, растягивающие отображения и т д, инвариантная мера с максимальной энтропией единственна. [c.191]

В настоящей главе мы продолжаем пополнять наш список примеров, двигаясь в нескольких направлениях. Сначала будем искать гиперболические множества, которые являются аттракторами (см. определение 3.3.1). До сих пор все известные нам примеры такого вида, а именно сжимающиеся периодические орбиты, гиперболические автоморфизмы тора, где весь тор был аттрактором, и произведение этих двух систем, когда инвариантный тор, сужение автоморфизма на который гиперболично, притягивает все точки в своей окрестности, были достаточно просты с геометрической точки зрения. В первых двух параграфах мы опишем гораздо более замысловатые примеры гиперболических аттракторов. [c.533]

Сначала покажем, что в топологически перемешивающем гиперболическом множестве все неустойчивые многообразия равномерно плотны (ср. с обсуждением специального случая гиперболических автоморфизмов тора в 1.8). [c.580]

Покажите, что для гиперболического автоморфизма тора выполнено равенство iop(- L ) = S log А, где Л — собственные значения L. [c.588]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

Покажите, что если I 81 п,Х) — гиперболическая матрица, то множество Flx(i ) неподвижных точек автоморфизма тора поднимается до решетки в К . [c.623]

Докажите, что мера Лебега А — единственная мера максимальной энтропии для гиперболического автоморфизма тора. [c.623]

Докажите, что для гиперболического автоморфизма тора 1ое А , где А, — собственные значения Ь. 1 , I > 1 [c.623]

Основной результат настоящей статьи состоит в том, что п сохраняет свойство минимальности и что все минимальные подмножества / нульмерны. Это, в частности, дает ответ на следующий вопрос Смейла [10] может ли гиперболический автоморфизм тора иметь одномерные минимальные множества Хирш [2] показал, что в этом примере пе может быть минимальных множеств коразмерности один. [c.92]

В некоторых случаях эта проблема решается с помощью естественных модулей, а именно периодов периодических орбит. Это верно, например, для спещ1альных потоков, соответствующих гиперболическому автоморфизму тора (см. п. 19.2 в). [c.79]

Метод кодирования, который мы впервые использовали в доказательстве топологической сопряженности произвольного растягивающего отображения окружности с линейным отображением той же степени (теорема 2.4.6). Мы применяли этот метод еще три раза в полулокальной ситуации в пп. 2.5 б, 2.5 в, при построении топологического сопряжения полного 2-сдвига с квадратичным отображением и отображением подковы на их инвариантных подмножествах и, наконец, в п. 2.5 г когда мы установили наличие полусопряженности топологической цепи Маркова с автоморфизмом тора. Этот метод очень эффективен в применениях к глобальным и полулокальным гиперболическим проблемам, т. е. к случаям, когда близлежащие орбиты расходятся с экспоненциальной скоростью, как это имеет место в упомянутых примерах (см. гл. 6, особенно определения 6.4.1 и 6.4.2). Одна из главных особенностей этого метода — его непосредственный характер. В частности, он не требует рассмотрения вспомогательного пространства кандидатов в сопряжения. С другой стороны, этот метод применим только к проблеме топологической (но не гладкой) сопряженности и полусопряженности. Метод особенно эффективен в ситуации малых размерностей, где он нередко работает без предположений гиперболичности (см. 14.5, 14.6, 15.4). [c.103]

Наконец, для гиперболического автоморфизма тора Р мы будем использовать тот же прием, что и в доказательствах топологической транзитивности (предложение 1.8.1) и отделенности периодических точек друг от друга (см. п. 3.2 д). А именно, если точки х,уеТ близки друг к другу, то имеет место одна из трех возможностей либо эти две точки находятся на одном и том же коротком отрезке растягивающейся прямой, либо на одном и том же коротком отрезке сжимающейся прямой, либо можно единственным образом указать минимальный прямоугольник, состоящий из отрезков сжимающихся и растягивающихся прямых, проходящих через х и у. В первых двух случаях ситуация очень похожа на то, что мы имели в случае растягивающих отображений. А именно, расстояние между положительными (соответственно отрицательными) итерациями точек х, у равно расстояний вдоль растягивающейся (соответственно сжимающейся) прямой и возрастет экспоненциально, до тех пор пока не превзойдет 1/(3 + у5) = 1/(2А). В по следнем случае можно использовать только что изложенное соображение заменяя у точкой г — пересечением неустойчивой прямой л с устойчивой прямой у — и используя неравенство треугольника. Расстояние между по ложительными итерациями жиг растет, пока оно не достигнет по крайне мере величины 1 /(2Л), в то время как расстояние между положительным итерациями г ч у равно расстоянию Шз1(2/, г) - Л"". [c.136]

Покажите, что образ меры Лебега относительно полусопряжения гиперболического автоморфизма тора Р с топологической цепью Маркова Сд, задаваемой марковским разбиением из п. 2.5 г. — мера Цц. [c.188]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Теорема 2.3 (см. [4]). Алгебраический автоморфизм является аносовским тогда и только тогда, когда [Xi =й1 для 1=1,...,/г (в этом случае А называется гиперболическим автоморфизмом тора). [c.130]

В случае когда ф --постоянная функция, является едннстоенной инвариантной мерой, максимизирующей энтропию (ф = 0 и ф имеют одно и то же равновесное состояние). Для гиперболического автоморфизма двумерного тора является мерой Хаара, а конструкция 4.1 принадлежит Адлеру и Вейсу [1], Эта статья играет важную роль в развитии предмета к хорошо читается. Еслн = ь С, мера t максимальной энтропией все же имеет следующий геометрический смысл периодические точки па Й равномерно распределены относительно [5]. К. Зигмунд [19] рассмотрел типичные свойства мер па i2j. [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...