Колебания системы нелинейные

В случае нелинейности функции Р1 = Р [у) дифференциальное уравнение колебаний системы нелинейно. [c.67]

Ята система нелинейных дифференциальных уравнений не может быть проинтегрирована в замкнутом виде. Ограничиваясь малыми колебаниями, для которых можно положить приближенно sin ф ф, со фа 1, и пренебрегая малыми величинами выше первого порядка малости, представим уравнения (4) и (5) в виде [c.604]

Б у т е н и и Н. В., К теории вынужденных колебаний в нелинейной механической системе с двумя степенями свободы, ПММ 13, вып. 4 (1949). [c.379]

В первом томе были рассмотрены некоторые простейшие вопросы теории колебаний материальной точки с одной степенью свободы. В этой главе мы перейдем к изучению теории колебаний систем с несколькими степенями свободы, ограничившись рассмотрением малых колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия. Затем вновь остановимся на рассмотрении колебаний системы с одной степенью свободы. Будут изучаться нелинейные и квазигармонические колебания, не встречавшиеся в элементарной теории, изложенной в первом томе. [c.215]

Нелинейные колебания системы с одной степенью свободы [c.275]

Здесь рассматриваются нелинейные колебания системы с одной степенью свободы. Конечно, колебания системы совсем не затрагивались в первом томе. Сначала рассмотрим колебания системы, выведенной из состояния устойчивого равновесия. [c.275]

Исследование свободных колебаний в нелинейных диссипативных системах с одной степенью свободы методом поэтапного рассмотрения [c.60]

Вынужденные колебания в нелинейной консервативной системе при гармоническом силовом воздействии [c.98]

КОЛЕБАНИЯ В нелинейной СИСТЕМЕ [c.99]

Рис. 3.16. Графическое определение амплитуды вынужденных колебаний в нелинейной системе.

Рассмотрим, например, колебания в нелинейной консервативной системе с конденсатором с сегнетоэлектриком при достаточно большой амплитуде гармонического воздействия, причем собственная частота малых свободных колебаний системы близка к утроенной частоте воздействия (утроитель частоты). Уравнение в такой системе запишется в виде [c.108]

Для свободных колебаний системы с нелинейностью (Р — 0) получим уравнения [c.109]

Из исследования данной задачи в консервативной идеализации получаются также весьма важные выводы — возможность существования различных режимов колебаний тройной частоты (ветви А и В на рис. 3.22) и зависимость установившегося режима от начальных условий и истории системы. Эта особенность аналогична соответствующим свойствам рассмотренного в предыдущем параграфе резонансного процесса в нелинейной системе при воздействии с частотой, близкой к собственной частоте колебаний системы, но в разбираемом примере она проявляется по отношению к третьему обертону воздействующей гармонической силы. [c.111]

Как указывалось ранее, не представляется возможным выбрать единый эффективный метод для анализа вынужденных колебаний в нелинейной диссипативной системе с произвольной нелинейностью и любой диссипацией при наличии внешнего силового воздействия произвольной формы. Поэтому в первую очередь необходимо сузить наше рассмотрение рамками определенных типов воздействий. [c.112]

Это уравнение при Р = 0 допускает только одно стационарное решение Х1 = 0, так как при этом исходная система должна находиться в покое. При РфО уравнение (3.6.3) можно рассматривать как уравнение, описывающее колебательную систему с вынужденными колебаниями и амплитудами порядка р и периодом 2л/р, взаимодействующими с собственными колебаниями вследствие нелинейности системы. Вопрос же о существовании стационарных собственных колебаний требует дополнительного исследования, так как в этом случае система, вообще говоря, претерпевает периодическое (с частотой, кратной р) изменение энергоемких параметров, что может при выполнении определенных частотных соот-нощений привести к эффектам параметрического вложения энергии. При этом предполагается, что амплитуда воздействующей силы Р не ограничена условием малости подобно силам сопротивления и силам, связанным с нелинейными свойствами системы, которые имеют порядок малости р. [c.120]

Если в системе нелинейность имеет другой характер, при котором у<сО и, следовательно, средняя частота свободных колебаний уменьшается с ростом амплитуды, то для вынужденных колебаний при параметрическом воздействии получим два выражения [c.137]

Как отмечалось в 4.1, в консервативной нелинейной системе установление стационарной амплитуды характеризуется уменьшением до нуля величины вкладываемой энергии и реализуется за счет изменения средних значений нелинейных реактивных параметров (емкости или индуктивности). В диссипативной же системе достижение энергетического баланса и соответственно установление стационарной амплитуды происходит при отличных от нуля вложениях энергии и может осуществляться не только за счет эффективной расстройки системы, связанной с изменением среднего значения одного из реактивных параметров системы, но при наличии в возбуждаемой системе нелинейного затухания и путем изменения величины потерь. Если в возбуждаемой системе значения L и С не зависят от величин тока и напряжения, а эффективные потери растут с увеличением амплитуд колебаний быстрее, чем квадрат последней, что соответствует возрастанию величины R или нагрузки с увеличением тока (это весьма легко реализовать, например, за счет термических эффектов), то можно ввести в рассмотрение медленно меняющееся затухание и представить дело так, как будто с ростом амплитуды возбужденных колебаний увеличивается наклон прямой, проходящей через вершины областей неустойчивости, и области неустойчивости поднимаются вверх (см. рис. 4.3, б). Это будет происходить до тех пор, пока изображающая точка, ранее находившаяся внутри одной из областей неустойчивости, не окажется на ее границе, что будет свидетельствовать о наступлении энергетического баланса. [c.161]

В третьем издании книги раздел Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы дополнен изложением приближенного метода определения амплитуды вынужденных колебаний в случае нелинейного сопротивления. [c.3]

С переходом от простого случая линейных колебаний к вынужденным колебаниям системы, описываемым нелинейными уравнениями, задача сильно усложняется. В 23.10 мы рассмотрим одну из таких задач. [c.175]

Если рассматривать систему с одной степенью свободы, то функцию Ро д), взятую с обратным знаком восстанавливающую силу, — называют силовой характеристикой. При этом Ео( ) >-0. На рис. 17.32 показаны графики силовых характеристик, первый из них (рис. 17.32, а) относится к упругой системе с линейной, а второй и третий — к упругим системам с нелинейными силовыми характеристиками. В двух последних случаях дифференциальное уравнение колебания системы получается нелинейным. Если значение производной dFo(q)/йд, называемой квазиупругим коэффициентом, увеличивается с увеличением у [c.65]

При равенстве частот а и сос в механической системе возникает резонанс — происходит рост амплитуд обобщенных координат. Всего возникает k резонансов. Каждый из k динамических коэффициентов имеет к областей возрастания значений р/. Если исследуются колебания системы без учета сопротивления, то наступлению резонанса соответствует обращение в нуль знаменателя в формуле для р и неограниченный рост амплитуд обобщенных координат. Выше уже пояснялось, почему на самом деле рост амплитуд ограничен (неправомочность линейных уравнений и необходимость использования нелинейных уравнений, решение которых не растет неограниченно. К тому же к ограниченному росту амплитуд обобщенных координат в резонансных областях приводит и наличие сопротивлений, что обнаруживается при применении и линейной теории). [c.143]

Функции Го и fI — характеристики соответственно восстанавливающей силы и силы сопротивления (диссипативной силы). Для того чтобы система относилась к диссипативным, наличие члена, содержащего / (с ), обязательно. Наличие функции Га(д) придает движению системы колебательный характер. Для того чтобы колебания системы были нелинейными, должна иметь место нелинейность хотя бы одной из функций Го и I. [c.222]

Если на автоколебательную систему с частотой автоколебаний (Оо действует внешнее возбуждение с частотой т, близкой к шо, то возможно установление колебаний с частотой о). Такое явление носит название захватывания автоколебательной системы. Необходимость наличия в автоколебательной системе нелинейного элемента можно истолковать и при помощи энергетических диаграмм. Действительно, если система линейна, то и и Э- пропорциональны квадрату амплитуды и, таким образом, графики этих функций представляют собой квадратные параболы. Имея в виду, что [c.228]

Нагруженное зубчатое соединение создает в системе нелинейности, которые вызывают негармонические колебания элементов муфты при возбуждении ее гармонической силой. При увеличении силы возбуждения до 0,5 кгс смещения изменяются непропорционально силе, а разности отношений сил и смещений достигают примерно 39%. Спектральный анализ ускорений, возбуждаемых гармонической силой на частоте 340 Гц, показывает, что амплитуды ускорений первой, второй и даже третьей гармоник соизмеримы (рис. 36). [c.87]

На основании описанных вычислений можно сделать вывод о сильном сдвиге максимальных колебаний упругой нелинейной системы при относительно небольшом изменении коэффициента демпфирования. Напомним, что в линейных системах, наоборот, трение очень слабо смеш,ает максимум. Как отмечалось выше, этот вывод может быть интересным для пояснения особенностей колебаний некоторых элементов конструкции, в частности лопаток турбомашин со свободной посадкой в замке, имеющих разброс напряжения в 200—300%. [c.52]

ОБ УЧЕТЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ РАСЧЕТЕ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ РОТОР — КОРПУС ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ [c.190]

Нелинейность деформационных свойств резин проявляется и в области резонансных частот гармонического нагружения, близких к собственной частоте колебаний системы. Нелинейность выражается в аномальной (со скачком) зависимости амплитуды перемещения вынужденных колебаний от частоты со (рис. 3.3.8), наблюдаемой вместо симметричных относительно максимума кривых для линейных систем (см. рис. 1.3.5). Обычно нелинейные соотношения сг — 8 выражены кривыми, вогнутыми к оси напряжений а. При увеличении частоты со амплитуда постепенно возрастает по АВ (см. рис. 3.3.8), достигая максимума <7 при соДалее наб.тю-дается скачок амплитуды, и при увеличении со экспериментальные данные попадают на кривую EF. При уменьшении частоты со ход кривой не совпадает с полученным при увеличении со, а именно кривая проходит по FED до точки D при Wj, а с дальнейшим умень-гаепие>[ со происходит скачок амплитуды из D в 5 и последующее [c.162]

Колебания нелинейной механической системы описываются дифференциальным уравнением q + 3sin + 4 = О, где q - обобщенная координата. Определить логарифмический декремент малых колебаний системы. (7,12) [c.343]

После рассмотрения теории малых, линейных колебаний системы с N степенями свободы, коснемся необъятной области теории нелинейных колебаний. Эти вопросы являются неиосредст-венным развитием содержания предыдущих параграфов настоящей книги, а также 191 —198 и 206, 217—219 первого тома. [c.275]

В настоящей главе мы имели дело с прямолинейными колебаниями материальной точки, причем такими, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Такие колебания называют линейными. Они наиболее просты с математической стороны и поэтому вынесены в начало этого тома. (В некотором роде исключением является случай прямолинейных колебаний при наличии кулонова трения, которые следует отнести к нелинейным колебаниям, описываемым кусочно-линей-ными уравнениями.) Более сложные случаи колебаний системы материальных точек и абсолютно твердых тел, как линейных, так и нелинейных, будут рассмотрены в шестом отделе курса (гл. XXXII—XXXIV). [c.103]

В общем случае полученное выражение для Т будет функцией а, и а. , так что для нелинейной системы имеет место зависимость периода колебаний от общего запаса энергии или размаха совершаемых колебаний кеизохронность колебаний в нелинейных системах). Л ишь для линейной системы, когда потенциальная функция представляет собой квадратичную функцию координат Р (х)--= йСС Л + для колебаний вокруг положения равновесия имеем Т 2л/У2а = пУ 2/У а , т. е. период равен величине, не зазисящеа от амплитуды совершаемых колебаний. В этом случае колебания становятся изохронными, и период свободных колебаний в линейной системе не зависит от сообщенного ей начального запаса энергии. [c.20]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

При воздействии гармонической силы на линейную систему в ней, как хорошо известно, возникает гармонический вынужденный процесс с частотой вынуждающей силы и с амплитудой, определяемой параметрами системы, частотой и величиной внешней силы. В частности, при совпадении частоты воздействующей силы с частотой свободных колебаний системы в ней при отсутствии потерь (т. е. в случае консервативной системы) возбуждается бесконечно нарастающий вынужденный колебательный процесс, соответствующий наступлению резонанса. Однако если по-прежнему рассматривать консервативную, но нелинейную систему, то вследствие возможной неизохронности при возникновении в ней колебаний условие резонанса с изменением амплитуды колебаний может измениться, и в этом случае мыслимо установление конечной амплитуды вынужденного колебания при любой частоте воздействия. [c.98]

Эти высшие гармонические компоненты достаточно малы пока система для данной амплитуды колебаний слабо нелинейна, но возрастают по мере роста амплитуды вынужденных колебаний. Если частота одной из возникших за счет нелинейности системы гармонических компонент близка к собственной частоте колебаний системы, то амплитуда этой компоненты может существенно возрасти. В итоге при исходной гармонической вынуждающей силе результирующий колебательный процесс может иметь характер весьма далекий от гармонического с резким увеличением амплитуды тех компонент, частоты которых лежат в резснансной области. При этом, естественно, от вида нелинейных зависимостей (тип нелинейности) существенно зависит возможный характер результирующего процесса. [c.107]

Далее, следует отметить, что в нелинейной системе (в отличие от линейной) даже при консервативной идеализации всегда имеет место ограничение амплитуды вынужденных колебаний. Это ограничение обязано своим существованием свойству неизохронности колебаний в нелинейных системах. [c.140]

Несмотря на внешнее сходство явления синхронизации в том-соновских автоколебательных системах без термистора и с термистором (ср. рис. 5.34 и 5.39), между этими системами и в режиме синхронизации, и вблизи области синхронизации имеется существенное различие. Томсоновский генератор без термистора принци-1тиально не может генерировать гармонические колебания в автономном, синхронном и промежуточном режимах из-за неизбежного захода колебаний в нелинейные области характеристики для снижения значения ее действующей крутизны 5 (х) до величины, обеспечивающей квазиконсервативность системы. В томсоновских генераторах с термисторами ограничение амплитуды колебаний происходит за счет термистора, а значение крутизны характеристики выбирается постоянным (So = onst), т. е. колебания в автономном, синхронном и промежуточном режимах не выходят за пределы линейного участка характеристики системы и в таких системах колебания при выходе на стационарный режим не обогащаются гармониками и комбинационными компонентами. [c.224]

Дж. Хейл. Колебания в нелинейных системах. М., Мир , 1966. [c.315]

Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М., изд-во Мир , 1966, стр. 229. [c.350]

Допустимость такой операции с инженерной точки зрения подтвердил эксперимент. Теперь остается найти методику для определения амплитуд колебаний проекций перемещения ротора в плоскости действия постоянной силы. Амплитуды колебаний этой проекции можно приближенно определять, как амплитуды колебаний одномассовой нелинейной системы, на которую действует постоянная сила. Такая задача для одномассовой нелинейной системы, имеющей одну степень свободы, была рассмотрена А. И. Чекмаревым применительно к крутильным колебаниям [35]. [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...