Взаимодействия между фононами

При этом члены более высокого порядка, чем второй, являются ангармоническими они и описывают взаимодействие между фононами, которые ограничивают длину их свободного пробега. Отсутствие энгармонизма не позволяет установиться тепловому равновесию (по-прежнему рассматривается идеальный кристалл). [c.44]

ОТЛОЖИТЬ до рассмотрения фононных взаимодействий как будет видно из 2 гл. 5, необходимо учитывать взаимодействия между фононами, которые не приводят к установлению равновесного распределения в соответствии с законом (4.6). [c.42]

Идеальный кристалл с бесконечными размерами может иметь конечную теплопроводность только вследствие отклонений от гармоничности колебаний решетки это приводит к взаимодействиям между фононами, и и-процессы обусловливают тепловое сопротивление. В действительности конечные размеры кристалла приводят к резистивному рассеянию фононов на внешних границах кристалла. [c.70]

Пренебрегая взаимодействиями между фононами, можно считать, что фононы с энергией в интервале йб дают свой собственный вклад х( )б в теплопроводность. Если их время релаксации в отсутствие спинового рассеяния равно т( , Г), то на основе модели Дебая имеем [c.143]

Роль ангармонических членов будет увеличиваться с ростом амплитуды колебаний, т. е. с повышением температуры. В картине с фононами при повышении температуры увеличивается число фононов, что приводит к повышению роли актов взаимодействия между фононами. Поэтому само понятие фононов как свободно движущихся частиц применимо лишь к области не слишком высоких температур (значительно меньших температуры плавления). [c.13]

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ФОНОНАМИ 49 [c.49]

Взаимодействия между фононами [c.49]

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ФОНОНАМИ [c.51]

В обоих последних параграфах этой главы мы перейдем к предельному случаю длинноволновых колебаний решетки. Когда длина волны велика по сравнению с атомными расстояниями, то микроскопическая структура твердого тела не играет роли. Здесь осуществляется переход к классической континуальной теории. В приближении, которым мы будем пользоваться, потенциальная энергия ионов решетки разлагается по степеням мгновенного отклонения и используется только первый, неисчезающий (гармонический) член. Это —гармоническое приближение. В этом приближении оператор Г амильтона может быть разложен в сумму независимых частей, которые имеют форму операторов Гамильтона гармонических осцилляторов. Это разложение лежит в основе квантования и дает возможность описывать колебания решетки как газ невзаимодействующих фононов. Учет более высоких ангармонических членов в разложении означает учет взаимодействия между фононами и является предметом последней главы (гл. XI). Область, связанная с рассмотрением колебаний решетки в гармоническом приближении, излагается во многих работах. Большое число нижеприведенных литературных ссылок выходит за рамки приводимого в этой главе материала поправки на ангармонические члены, взаимодействие фононов с другими элементарными возбуждениями и с локальными нарушениями решетки. Специальную литературу к этим вопросам мы приведем в последующих главах. [c.130]

Ангармонизм решетки. Подобно рассмотренным процессам распада фотона на несколько фононов, фонон тоже может распасться на несколько фононов. Такие процессы, так как исходная частица тоже фонон, должны быть в отклонениях соответственно более высокого порядка. Например, распад фонона на два фонона должен быть третьего порядка в s a- Эти и более высокого порядка члены, определяющие ангармонизм колебаний, и были опущены в разложении (30.2). Они определяют взаимодействие между фононами. Мы рассмотрим их подробнее в гл. XI. Здесь они существенны, так как рассмотренный на рис. 88 механизм превращения фотона в один фонон, но с последующим его распадом также принадлежит к процессам многофононного поглощения. В противоположность связи через дипольные моменты высших порядков, связь через ангармонизм решетки может быть эффективной только в полярных твердых телах, так как частичные процессы запрещены в неполярных телах. [c.308]

Эти ангармонические члены ответственны за ряд макроскопических явлений, например за тепловое расширение решетки и за появление линейного члена в теплоемкости при высоких температурах [1]. С микроскопической точки зрения они приводят к взаимодействию между фононами. При учете этих членов фононы уже нельзя рассматривать как вполне хорошо определенные возбуждения — они получают возможность рассеиваться друг на друге, распадаться на два и т. д. Следовательно, наличие ангармонических членов обусловливает важный механизм теплосопротивления неметаллических твердых тел ). Более того, учет этих членов играет важную роль в интерпретации данных по однофононному неупругому когерентному рассеянию нейтронов, ибо он приводит к конечному времени жизни и к сдвигу энергии рассматриваемых фононов 2). [c.74]

Ангармонический характер колебаний обычно учитывают в разложении потенциальной энергии [см. (6.72)] ангармоническим членом gx . Вводя в разложение потенциальной энергии ангармонические члены, мы тем самым учитываем наличие в реальной ситуации взаимодействия между модами колебаний, которое проще всего описать как рассеяние фононов друг на друге. Вероятность рассеяния фононов моды (кь Ш]), характеризуемых волновым вектором ki и частотой oi при учете в потенциальной энергии ангармонического члена gx , зависит от процессов, которые включают взаимодействия трех мод. Например, энергия мод (к,, aii) и (кг, (02) может перейти за счет взаимодействия в моду (кз, шз). Этот процесс может протекать и в обратном направлении — энергия моды (кз, шз) может перейти в энергию мод (к,, toi) и (кг, шг) или энергия моды (ki, oi)—в энергию мод (кз, (02) и (кз, з). Таким образом, рассеяние фононов на фононах сопровождается рон<дени-ем и исчезновением фононов — либо два фонона превращаются в один, либо один фонон распадается на два (рис. 6.14). [c.188]

Колебания решетки, согласно разделу 2, могут быть разложены на квантованные волны, или фононы. Взаимодействия между электронами и решеточными волнами можно рассматривать как индивидуальные процессы, в которых электрон с волновым вектором к взаимодействует с фононом с волновым вектором q и получается электрон с волновым вектором к, илм наоборот. Энергия при этом сохраняется неизменной [c.261]

Решетка дает заметный вклад в термоэлектрический эффект также и в случае полупроводников. Теоретическое рассмотрение в этом случае усложняется, так как электроны взаимодействуют только с фононами очень низкой частоты кш 4 КТ), и поэтому необходимо рассматривать в явном виде не только взаимодействие между электронами и фононами, но также взаимодействие низкочастотных фононов с фононами тепловых частот. Этот вопрос подробно обсуждался Херрингом [189] (см. также [23]). [c.286]

Физический смысл различных членов в (40.о) следующий. Члены в первой строке представляют энергию отдельных электронов, поля фононов и плазмы. Первый член во второй строке соответствует взаимодействию плазмы с фононами и третий — взаимодействию плазмы с электронами. Последняя строка содержит члены с v l>%p., для которых коллективные координаты не введены. Последний член в этой сумме представляет экранированное кулоновское взаимодействие между отдельными электронами. [c.766]

Нелинейные эффекты. В действительности колебания кристалла не являются строго гармоническими. Несмотря на малость ангармонкзма, при слабых возбуждениях нормальные колебания кристалла оказываются связанными друг с другом (фононы образуют неидеальный газ, т. е. взаимодействуют между собой), а закон дисперсии оказывается зависяш им от темп-ры. Наличие энгармонизма взаимодействие между фононами), в частности, объясняет тепловое расширение кристалла. [c.619]

Оно определяет ширины магн. резонансов (см. Антифер-ромагнитный резонанс, Ферромагнитный резонанс), резонансное взаимодействие между фононом и магноном — причина т. н. ферроакустического резонанса. [c.339]

Для простой кубической решетки с постоянной решетки а моды характеризуются векторами q с компонентами дх, Яу, Яг вдоль главных осей, каждая из которых лежит в интервале от О до 2п1а. Тогда куб в -пространстве с ребрами длиной 2л/а содержит все возможные значения я и их компонент. Такой куб представляет собой первую зону Бриллюэна (для других типов решеток зона Бриллюэна не будет иметь кубическую форму). Поперечные сечения простейших зон показаны на фиг. 5.1, где иллюстрируются некоторые особенности взаимодействия между фононами. Три базисных вектора длиной 2п/а для простой ку- [c.35]

При распространении тепла через кристалл с температурным градиентом можно представить себе, что фононы впрыскиваются на горячем конце и вытягиваются из холодного конца. Иногда утверждается, что имеется аналогия между движением фононов в кристалле под действием температурного градиента и течением газа через трубу под действием градиента давления. Хотя аналогия кнудсеновскому типу течения газа при низких давлениях найдена для всех очень хороших монокристаллов при достаточно низких температурах, аналогия пуазейлевскому типу течения наблюдается только в очень немногих, особенно совершенных кристаллах и только в очень узком температурном интервале. Во всех других случаях взаимодействие между фононами, которое обусловливает сопротивление потоку тепла, отличается от взаимодействия между молекулами газа, которое вместе со стенками трубы определяет величину потока газа при нормальных давлениях. [c.37]

В реальных ситуациях, когда несколько типов процессов рассеяния происходят одновременно, простой релаксационный метод и вариационный метод могут давать существенно разные результаты. Однако оба метода опять хорошо согласуются, если воспользоваться модификацией релаксационного метода, предложенной Каллуэем [40] этот модифицированный метод учитывает те взаимодействия между фононами, которые сами по себе не приводят к возвращению произвольного распределения к равновесному. [c.48]

Константа взаимодействия между КВБТ 1г фононами но порядку величины совпадает с константой взаимодействия между фононами, т. е. с постоянной ангармонизма А. [c.47]

Если учесть малые ангармонические члены в потенциальной энергии колебл.ющейся решетки, то приведенное выше выражение для энергии перестает быть точным. Появляется некоторая вероятность перехода между состояниями с различными наборами чисел Это может быть интерпретировано и на языке фононов как различные процессы взаимодействия между фононами, приводящие к рассеянию их друг на друге и к рождению новых фононов. Иначе говоря, при строгом рассмотрении фононы лишь приближенно можно считать свободно движущимися частицами. [c.13]

Рассмотрим сначала многочастичную теорию поляризуемости в задаче комбинационного рассеяния света. Теория строится на базе обобщений теории Плачека, изложенной в 3. Основу многочастичной теории поляризуемости составляет вычисление сечения рассеяния света кристаллом методом функций Грина с учетом всех взаимодействий. Как обычно, можно считать, что электромагнитное поле вызывает появление флуктуирующего дипольного момента в среде, который переизлучает рассеянное поле. Этот момент возникает благодаря электронной поляризуемости среды, которая в свою очередь изменяется вследствие ангармонического взаимодействия между фононами. В частности, имеются компоненты момента на сдвинутых частотах, соответствующие процессам рождения и уничтожения одного или нескольких фононов. Однако вследствие взаимодействия отдельные фононы не соответствуют дискретным уровням (как при бесконечном времени жизни) и распадаются на другие фононы. [c.62]

Если взаимодействие между фононами отсутствует или осуществляется без процессов переброса, т. е. при выполнении закона сохранения импульса в каждом акте взаимодействия, то суммарный импульс всех фононов сохраняется. В этом случае фононы будут переносить энергию (в кристаллах бесконечных размеров) даже без градиента температур (отсутствует тепло-сопротивление). Наличие теплосопротивления указывает, что в процессе взаимодействия фононов нарушается закон сохранения импульса, т. е. осуществляются процессы переброса. Однако процессы переброса возможны только,при взаимодействии фононов с энергией. й, превышающей некоторую критическую энергию Е . При низких температурах среднее число таких фононов пропорционально — Ео1кТ). Следовательно, при низких температурах теплосопротивление пропорционально хр — Еа1кТ), а теплопроводность ехр Е кТ). [c.52]

В кристалле в каждом квантовом состоянии кз может быть возбуждено любое число фононов. Следовательно, фононы образуют газ квазичастиц, подчиняющихся статистике Бозе. Из-за взаимодействия между фононами, обусловленного ангармоническими эфс ктами, число фононов в кристалле не сохраняется, и они перераспределяются по разным состояниям так, что наступает тепловое равновесие, если кристалл находится при определенной температуре. [c.53]

При распространении Г. в кристаллах полупроводников и металлов, где имеются электроны проводимости, кроме взаимодействия Г. с тепловыми фононами, имеет место взаимодействие Г. с электронами (см. Взаимодействие ультразвука с электронами проводимости). Взаимодействие между когерентными фононами и электронами становится существенным в области УЗ-вых и особенно в области гиперзвуковых частот в полупроводниках, обладающих пьезоэлектрич. свойствами (напр., в кристалле dS, в к-ром взаимодействие между фононами и электронами проводимости очень сильно). Если к кристаллу приложить постоянное электрич. поле, величина к-рого такова, что скорость электронов будет немного больше скорости упругой волны, то электроны будут обгонять УЗ-вую волну, отдавая ей энергию и усиливая её, т. е. будет происходить усиление ультразвука. Если же ско- [c.88]

Фонон-фононте взаимодействие. Гармонические нормальные колебания соответствуют отсутствию взаимодействия между фоно-нами. Учет ангармоничности колебаний решетки соответствует учету фонон-фоноиных взаимодействий. Они ответственны, например, за тепловое расширение кристаллов. [c.149]

Фотоны и фоноиы фононный гамильтониан. Выше мы рассматривали гамильтониан Н. , (см. (10.3.14)) и оператор фотон-электрон-ного взаимодействия (см. (10.3.5), где этот оператор обозначался как Н ) теперь рассмотрим фононный гамильтониан Н . При этом воспользуемся отмечавшейся в 6.1 аналогией между фононами и фотонами, которая позволяет прг1меиить к фононам аппарат вторичного квантования, использовавшийся для фотонов. Вместо осцилляторов поля излучения теперь следует использовать нормальные осцилляторы, отвечающие нормальным колебаниям кристаллической решетки. [c.284]

Рассеяние фононов электронами [1]. Взаимодействие между электронами и фононами, рассмотренное в п. 14, изменяет не только функцию распределения электронов /, но п функцию распределения фонопов /V. Изменение / может быть записано [см. (14.3)] как сумма изменений, вызванных процессами, в которых фонон и электрон взаимодействуют с образованием нового электрона, или обратными процессами. Подобное же выражение существует для скорости изменения Л, но если в первом случае постоянным является к, а суммирование происходит по всем q, то в последнем случае, наоборот, q фиксировано, а суммирование происходит по всем к. Таким образом, скорость изменения /V вследствие взаимодействия фононов с электронами дается формулой [c.280]

Равновесие между электронами п фоиопами. Характер изменения функций распределения электронов и фоноиов, обусловленного взаимодействием между ними, описывается выражениями (14.3) и (19.1) соответственно для электронов и фонопов. Оба выражения состоят из суммы членов, соответствующих процессам, в которых электрон к и фонон q [c.283]

Эти результаты Пайерлс использовал при исследовании электропроводности при низких температурах. Электрическое поле стремится увеличить J с постоянной скоростью, и поскольку электрон-фононные взаимодействия сохраняют J, равновесие может быть достигнуто только за счет взаимодействия фононов между собой, при котором не сохраняется q, т. е. за счет того же взаимодействия, которое обусловливает тепловое сопротивление (п. 7). Таким образом, в стационарном состоянии Ь /= О, а " gp (время релаксации электронов, обусловленное взаимодействием с фононами), согласно (21.4), возрастает, превышая значение, вычисленное по теории Блоха. Если ад — проводимость, рассчитанная по теории Блоха в предположенип = 0, то, согласно (21.4), а равно [c.285]

Адекватная математическая теория сверхпроводимости, основанная на электронно-фононном взаимодействии, еще не дана, поэтому основное внимание мы уделим формулировке задачи. Как Фрелих, так и автор исходили из теории Блоха, которая предполагает, что каждый электрон движется независимо в периодическом потенциальном ноле. Колебательные координаты и взаимодействие между электронами и колебаниями были введены точно так же, как это сделано в теории проводимости. Сила взаимодействия была оценена эмпирически по сопротивлению при высоких температурах. Существует два возражения против такой формулировки, заключающиеся в том, что кулоновское взаимодействие следовало бы ввести с самого начала и что смещения электронов, вызванные электронно-фононными взаимодействиями, оказывают сильное влияние на колебательные частоты, а также на эффективный матричный элемент взаимодействия. Существенная часть задачи состоит в том, что необходимо показать, как все это можпО было бы определить, исходя из основных принципов. Отправляясь от формулировки, включающей кулоновское взаимодействие между электронами, мы покажем, что обычная теория Блоха могла бы быть достаточно хорошей отправной точкой для развития теории сверхпроводггмости. Мы покажем также, почему электронио-фононное взаимодействие имеет большее влияние на волновые функции, чем кулоновское взаимодействие, хотя энергия первого и много меньше энергии второго. В п. 37—41 мы будем следовать изложению Пайнса п автора [19], [c.755]

Значение экранировки в металлах. Существенный факт, о котором необходимо помнить, заключается в том, что кулоновские взаимодействия в металле являются экранированными взаимодействиями. Этот вывод относится как к взаимодействию между электронами и ионами, так и к взаимодействию между электронами. Он был получен в первых расчетах электрон-но-фононного взаимодействия, произведенных Хаустоном [121] и Норд-геймом [122]. Потенциальная энергия электрона на расстоянии г от иона была принята равной [c.755]

Еще до работы Накаджимы Фрелих [126], а также Китано и Накано [127] независимо испо.чьзовали сходные методы теории поля для определения влияния движения электронов на колебательные частоты, исходя из гамильтониана Блоха, в который не было явно включено кулоновское взаимодействие между электронами, С точки зрения теории поля между электронами существует взаимодействие, вызванное виртуальным рождением и поглощением фононов предполагается, что именно это взаимодействие обусловливает сверхпроводимость [15]. Существует такн е собственная энергия фононов, которая может быть весьма велика, если только взаимодействие достаточно сильно для того, чтобы вызвать сверхпроводимость. Физически это означает, что при выводе фононных частот необходимо принять во внимание движение электронов ([16], стр. 264). [c.756]

Как показал Фрелих, для исключения электронно-фононного взаимодействия из гамильтониана можно применять каноническое преобразование, при этом остается лишь взаимодействие между электронами, которое соответствует тому, которое было выведено методами теории возмущений. Если электронно-фононпое взаимодействие велико, то указанная операция не применима лишь для небольшого числа членов с малыми энергетическими знаменателями. При вычислении матричного элемента взаимодействия и колебательных частот эти члены не существенны, но в случае сверхпроводимости они важны. Так как эти члены нельзя рассмотреть методами теории возмущений, они оказывают сильное влияние на волновые функции. [c.756]

Вывод гамильтониана. Чтобы сформулировать задачу расчета взаимодействия между электронами и фононами в металле, мы выведем здесь выражение для гамильтониана в форме, где с самого начала включено куло-новское взаимодействие между электронами и движениями ионов, но в то же время сделаны некоторые приближения для упрощения уравнений. Например, можно пренебречь анизотропией, которая, по-видимому, не очень существенна для проблемы сверхпроводимости. Предполагается, что колебания решетки можно разделить на продольные и поперечные и что электроны взаимодействуют только с продольными компонентами. Это приближение справедливо для волн с большой длиной волны, но неправильно для коротких волн (исключая некоторые напрапления распространения). Предположим также, как это часто делается в теории Блоха, что матричные элементы для электронно-фононного и кулоновского взаимодействий зависят лишь от разности волновых векторов в начальном и конечном состояниях. При вычислении кулоновских взаимодействий сделаны предположения, которые равнозначны рассмотрению валентных электронов как газа свободных электронов. [c.757]

В п. 36 отмечалось, что некоторые авторы учитывали влияние движения электронов на колебательные частоты путем канонического преобразования, которое исключает из гамильтониана члены, линейные относительно координат фононов. Здесь мы будем следовать с некоторыми изменениями (см. [19]) исследованию Накаджимы, в котором с самого начала включено кулоновское взаимодействие между электронами. Хотя этот метод и аналогичен методу самосогласованного поля, он позволяет обойтись без слишком грубого адиабатического приближения при изучении движения ионов. Накаджима записывает гамильтониан в форме, эквивалентной следующей [c.761]

Б (40.8) входит также слабое взаимодействие между электронами и плазмой, которое может быть исключено способом, подобным тому, который использовался для электронио-фононного взаимодействия. Это приводит к взаимодействию между электронами, значительно большему по величине, чем что это взаимодействие не может быть рассмо- [c.768]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...