Уравнение движения точки в центральном поле

Какие силы называются центральными 2. Когда выполняются и как записываются первые интегралы уравнения движения точки в центральном поле 3. Как формулируется задача двух тел [c.130]

При /1 = /2 будем иметь движение точки в центральном поле. В этом случае уравнения движения интегрируются в эллиптических функциях времени. [c.55]

Подставляя это выражение в формулы (29) и выполняя частное и полное дифференцирование, получаем окончательно уравнения плоского движения материальной точки в центральном поле тяготения [c.135]

Проинтегрировать уравнение движения материальной точки в центральном поле П=—где Л>0. Рассмотреть случай, когда М <,2тА, >0. [c.128]

Перейдем к составлению дифференциального уравнения движения материальной точки в центральном поле. [c.102]

В 4 мы рассматривали канонические уравнения и канонические переменные для простейшей задачи о движении одной материальной точки в центральном поле и под действием возмущающей силы. Здесь мы распространим изложенные ранее результаты на задачу о движении системы материальных точек, предполагая, что все действующие силы, и основные и возмущающие, исключительно силы взаимных притяжений, определяемые законом Ньютона. [c.704]

В главе И подчеркивалось, что сохранение у механической системы той или иной физической величины всегда является следствием ее симметрии, под которой в общем случае принято понимать инвариантность уравнений движения системы относительно некоторой совокупности преобразований координат и времени. Симметрия произвольного центрально-симметрического поля конкретно проявляется в том, что уравнения движения частицы в таком поле инвариантны относительно преобразования сдвига во времени и некоторой совокупности преобразований вращения в обычном трехмерном пространстве. Указанная симметрия поля и (г), приводящая к [c.126]

В принципе эти два дифференциальных уравнения первого порядка относительно неизвестных функций г () и ф( ) и исчерпывают задачу о движении точки в центрально-симметричном поле. Для их решения достаточно подставить известное значение 1 с помощью [c.229]

Применение криволинейных координат общего вида мы рассмотрим в части курса, посвященной аналитической механике в аналитической статике и в главах, содержащих уравнения Лагранжа 2-го рода и уравнения Гамильтона. В этой главе рассмотрим лишь полярные координаты точки на плоскости, координаты весьма удобные для решения многих задач динамики точки, например, задач о движении точки в центральных силовых полях. [c.15]

Во многих задачах механики выражения для обобщенных импульсов легко получить непосредственно из физических соображений. Если, кроме того, гамильтониан будет при этом полной энергией, то можно будет избежать многих формальных процедур, нужных для составления уравнений движения. Рассмотрим простой пример. Пусть требуется составить уравнения движения точки, находящейся в поле центральных сил. Функция Н будет тогда полной энергией [c.246]

Такой случай характерен для классической задачи Кеплера о движении материальной точки в ньютоновском поле центральных сил F = — jlR , где / — постоянная / — расстояние от точки до центра [2]. Уравнение скелетной кривой периодических движений в этой задаче имеет вид [c.149]

Если движение точки переменной массы происходит в центральном поле силы F, т.е. при условии, что г х F = О, н при дополнительном предположении, что u v и = Xv, где Л — некоторое число, то тогда уравнение (2.44) примет вид [c.69]

В достаточно регулярных случаях условия (18.7)—(18.8) смыкаются с известными соотношениями принципа максимума и методов динамического программирования. В самом деле, сравнивая, например, соотношения (13.7) и (18.5), замечаем, что в регулярных случаях роль функции ф может играть потенциал V, фигурирующий в уравнении Беллмана. Однако и в этих случаях функция ф, удовлетворяющая нужным условиям, подчас может быть найдена проще, причем здесь не оговариваются жесткие априорные ограничения класса. С другой стороны, описываемый здесь подход нашел эффективные приложения и в нерегулярных случаях, в частности, при построении оптимальных скользящих режимов. Таким путем для этих случаев были разработаны методы, позволившие разрешать нелинейные вариационные задачи об управлении в ситуациях, характерных для приложений, и, в частности, были опубликованы методы решения таких задач, которые возникают при исследовании проблем оптимального снижения и торможения летательных аппаратов. Заметим, что решение ряда сложных задач (в частности, для нелинейных систем третьего порядка) было найдено описанными методами в замкнутой форме. Так же были исследованы нерегулярные обстоятельства, характерные для задач об управлении движением точки переменной массы в центральном поле, причем были выяснены дискуссионные вопросы, связанные с этой задачей. Далее, была исследована задача о реактивной стабилизации твердого тела с неподвижной точкой при условии минимума расхода топлива, причем снова были обнаружены и изучены экзотические оптимальные движения. [c.219]

Известно, что система (7.1) может быть проинтегрирована только в некоторых простейших частных случаях. Таков, например, случай центрального гравитационного поля, когда функция сил и зависит только от расстояния г точки Р до начала координат (центр силового поля) и когда уравнения движения интегрируются в квадратурах. [c.305]

Этот процесс лучше всего рассматривать в прямоугольной системе координат у, 2, которая движется вместе со спутником (рис. 24.24). После действия второго импульса снаряд оказывается смещенным относительно точки встречи в движущейся координатной системе хуг, т. е. он движется относительно точки встречи с некоторой остаточной скоростью Жо, г/о, 2о- Последующее движение снаряда в гравитационном поле планеты определяется линеаризованными уравнениями движения снаряда под действием центральной силы притяжения в системе координат, движущейся вместе со спутником. Если спутник движется с постоянной угловой скоростью О) по орбите радиуса Го, то ошибки начального положения и скорости изменяются во времени согласно следующим соотношениям ) [c.718]

Мы получили дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле центральной силы в полярных координатах. В отличие от исходной системы уравнений (32) это уравнение (37) является уравнением первого порядка. Более того, оно легко сводится к простой квадратуре, так как переменные в нем разделяются [c.85]

Уравнение движения материальной точки в поле центральных сил допускает интеграл площадей относительно центра О поля (см. теорему 3.7.3) [c.254]

Докажем теперь теорему о вириале для сил, действующих по закону обратных квадратов. Сначала рассмотрим движение одной материальной точки в поле центральных сил, описываемых следующим уравнением для потенциальной энергии [c.299]

Все то, что говорилось до сих пор, имеет совершенно общий характер и справедливо также и для сил, не являющихся консервативными. Но если силовое поле консервативно (а впредь мы будем это всегда предполагать), то одна из трех последних констант движения —это полная энергия, а две остальные возникают в результате интегрирования уравнений движения эта операция всегда осуществима в случае центрального консервативного поля. [c.17]

Пренебрежение нелинейностью температурного поля по толщине пластины существенно искажает результаты решения уравнений движения. На рис. 3.13 изображены графики движения центральной точки пластины (случай цилиндрического изгиба, Л = 0,008 м), полученные решением задачи динамической термоупругости при различных N. На рис. 3.14 представлены аналогичные результаты для прямоугольной пластины толщиной Л = 0,01 м. Предположение о линейном распределении температуры по толщине (jV=1) существенно изменяет величину прогиба и амплитуду колебаний. Расхождение результатов заметно проявляется в течение переходного периода. Учет первого нелинейного члена N — 3) приводит к практически точным результатам. [c.127]

Несмотря на то, что при сделанных предположениях относительно характера функции / (г) интегрирование дифференциального уравнения движения материальной точки в поле центральной силы приводит к простым квадратурам, выразить полярные координаты точки в известных функциях от времени удается только в весьма ограниченном числе случаев. Поэтому подробное изучение возможных форм траекторий движущейся точки может быть выполнено только на основании качественного исследования уравнений движения. [c.107]

Белецкий В. В., Об интегрируемости уравнений движения твердого тела около закрепленной точки под действием центрального ньютоновского поля сил. Доклады Академии наук СССР, 1957, т. ИЗ, вып. 2, 287—290. [c.412]

Уравнения (4), (6), (7) представляют полную систему интегралов исходной системы дифференциальных уравнений движения, содержащую 2п произвольных постоянных. Наличие п — пг циклических координат позволило понизить порядок интегрируемой системы до 2т и свести задачу к интегрированию этой системы (5) и к выполнению п — т квадратур (7). Надо к этому добавить, что от выбора обобщенных координат зависит и число циклических координат например, при задании положения материальной точки в поле центральной силы декартовыми координатами л , у, г циклические координаты отсутствуют, тогда как при применении сферических координат одна из них (долгота) будет циклической (пример 1° п. 7.18). [c.349]

Если принять 7 О, /i = О, то система уравнений (7,9) будет описывать эволюцию движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил [1,2. [c.389]

Каждая из этих функций 5 (д ) удовлетворяет тогда в этих переменных дифференциальному уравнению второго порядка. Наряду с постоянной энергией в решение входят в качестве параметров ещё 1—1 новых постоянных а ,, а . Всё, что в дальнейшем говорится о системе с одной степенью свободы, справедливо без каких-либо изменений также и для движения каждой отделённой координаты и для соответствующей собственной функции Пу, (д ) системы с разделяющимися переменными. В частности, это верно для радиального движения материальной точки под влиянием центрального поля сил. [c.154]

Уравнения движения точки в центрально-симметричном поле. Одномерный эффективный потенциал поля. В истории физики кеплеровой называется задача определения траектории небесного тела, движущегося в поле тяготения Солнца. Аналогичная задача возникает при классическом подходе к проблеме движения электрона в поле ядра. [c.228]

Проинтегрировать уравнения движения материальной точки в центральном поле П = —Лг в следующих случаях а) М2>2тА б) <0, М <с2тА. [c.130]

Цолуч,елное уравнение,является дифференциальным уравнением траектории точки при ее движении в центральном поле. Общее решение этого уравнения зависит от постоянной h и постоянных интегрирования l и С2. т. е. [c.108]

Уравнения (1.249) и (1.250) показынают, что движение двух частиц может быть описано как суперпозиция движения центра инерции, которое в нашем случае представляет собой просто свободное движение точки (1.249), и относительного движения (1.250), которое представляет собой движение частицы с приведенной массой, движущейся в центральном поле, определяемом заданной потенциальной энергией. Если масса одной из частиц суще-сгвенно превосходит массу другой частицы, то приведенная масса приблизительно равна массе легкой частицы. Этим и объясняется тот факт, что третий закон Кеплера справедлив с большой степенью точности. Более точно его следовало бы записать так [c.29]

В предыдущей главе была поставлена и решена общая задача по выводу уравнений движения точки, претерпевающей изменение массы как функции самой массы, скорости и ускорения ее изменения в зависимости от времени. Несмотря на всю очевидную важность такого динамического исследования, вне рамок анализа остались вопросы энергетического обеспечения гинерреактивного движения и его фундаментальной связи с вариационными принципами механики. Решению этих задач посвящена первая часть главы. Другая часть содержит результаты исследования гинерреактивного движения в центральном поле тяготения в различных вариантах. [c.174]

Рассмотрим гиперреактивное движение точки массой М 1), где 1 е [1о, 1], с помош ью уравнения движения (5.9) в центральном поле ньютонова притяжения со стороны тела массой М (М( ) <С М ) в прямоугольной инерциальной системе координат г х,у,г) с началом в гравитационном центре. После несложных преобразований можем [c.186]

Если D — el е = onst), то уравнения (9) аналогичны уравнениям движения твердого тела с неподвижной точкой в центральном ньютоновском поле сил с неподвижной точкой в центре масс [11] [c.91]

Определение. Если координата не входит в функцию Гамильтона Н р , р ,. . ., д ,. . ., q , t), так что dH/dgi = О, то такая координата называется циклической (термин происходит от частного случая — угловая координата ф в центральном поле). Очевидно, координата д циклическая тогда и только тогда, когда она не входит в функцию Лагранжа (дЫдд = 0). Из гамильтонова вида уравнений движения вытекает [c.64]

Что касается нахождения самого полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, то в ряде случаев он может быть получен методом разделения переменных. Большую роль в методе разделения переменных играет выбор обобщенных координат. Например, в задаче о движении частицы в центрально-симметрическом поле возможно разделение переменных в полярных координатах, но невозможно в декартовых координатах. Случается, что для одной и той же задачи разделение переменных в уравнении (37.1) допускается несколькими системалт обобщенных координат. Однако для многих практически важных задач (например, задачи трех тел) такое [c.208]

Пример 13. Движение материальной точки единичной массы в центральном поле может быть описано гамильтоновой системой в R =R x xR y со стандартной симплектической структурой и функцией Гамильтона Н(у, x) = y l2+U( x ). Зафиксируем постоянный вектор кинетического момента xXy—Vi (ц О). Можио считать, что ц=свз, где вз=(0, О, 1), ОО. Множество уровня Мс задается уравнениями дсз=1/з=0, Х У2 — Х2Ух=с. Ясно, что вектор fl инвариантен относительно группы поворотов 50(2) вокруг оси с единичным вектором >з. Для того, чтобы провести факторизацию по этой группе, введем в плоскости / = дгь J 2 полярные координаты г, <р и со- [c.107]

В механике космического полета задачей двух тел называют определение параметров движения материальной точки в гравитационном поле центрального тела. Для описания этого движения в абсолютной системе координат достаточно знать шесть параметров координаты и состав.чяющие скорости по осям системы координат. Их можно получить с помощью интегрирования дифференциальных уравнений. Однако невозмущенное кеплеровское движение более просто описывается уравнениями с помощью специально выбранных величин, Называемых элементами орбиты. При этом выражения, описывающие движение, приобретают вид конечных формул, а сами элементы остаются посгояннымн. Для замкнутых орбит ИСЗ эти элементы называют также эллиптическими элементами, К числу их относят следующие три элемента ориентации орбиты (рис. 2.11) [c.65]

Очевидно, что система диффере1щиальных уравнений (1.50)замкнута. Это означает, что движение центра масс летательного аппарата не зависит от его вращательного движения, а сам ЛА может рассматриваться в качестве материальной точки единичной массы. Замечательная особенность уравнений движения в центральном поле состоит в то.м, что они поддаются интегрированию в общем аналитическом внде. Полная [c.84]

При этом предполагается, что Земля имеет форму шара, ее поле тяготения центрально, а объект перемещается по поверхности. Такой подход в этой и некоторых дальнейших работах позволил автору получить строгие и вместе с тем сравнительно простые дифференциальные уравнения движения системы и выявить некоторые обпще закономерности в механике гировертикалей и гирокомпасов. Малые колебания таких систем исследовал В. Д. Андреев (1957). При исследовании таким методом двухроторного гирокомпаса Ишлин-ский получил основное условие его невозмущаемости, после выполнения которого ось центр тяжести—центр подвеса гиросферы остается направленной по геоцентрической вертикали при произвольном движении точки подвеса по поверхности Земли, а суммарный вектор собственных кинетических моментов гироскопов расположен горизонтально и направлен перпендикулярно к вектору абсолютной скорости точки подвеса. Это условие имеет вид [c.165]

В ряде случаев имеет смысл упростить полные уравнения движения тела, для этого введём некоторые несущественные, с точки зрения анализа вращательного движения, допущения. В задачах о спуске в атмосферу Земли неуправляемых летательных аппаратов баллистического или полубаллистического типа можно полагать, что дальность и продолжительность атмосферного участка невелики по сравнению с орбитальным участком, в связи с чем Землю можно рассматривать как невращающийся шар с центральным полем притяжения. Если не ставится специальной задачи, то, как правило, ветровые возмущения также не учитываются. При указанных допущениях для описания поступательного движения тела целесообразно воспользоваться траекторной OXkYkZk и нормальной OXgYgZg системами координат (рис. 1.5), связь между которыми осуществляется с помощью двух углов угла наклона траектории -д и угла курса фа- Уравнения движения центра масс тела можно представить в виде [1 [c.26]

Движение материальной точки в поле центральной силы (кеплерово движение). Уравнение движения в векторной записи имеет вид [c.355]

В данной работе рассматривается задача стабилизации положения равновесия орбитальной тросовой системы (ОТС) при помощи одностепенных гироскопических стабилизаторов — статически и динамически уравновешенных симметричных маховиков. ОТС состоит из тела-носителя с маховиками и присоединенного к нему на длинном весомом тросе зонда-спутника. Зонд-спутник считается материальной точкой, трос — гибкой нитью, не испытывающей сопротивления на изгиб и кручение. Предполагается, что центр масс тела-носителя с маховиками (первый случай) и орбитальной тросовой системы (второй случай) совершает движение по известной кеплеровской круговой орбите в ньютоновском центральном поле сил. Найдены частные решения нелинейных дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными, соответствующие положениям равновесия ОТС в орбитальной системе координат. Главные центральные оси ОТС коллинеарны осям орбитальной системы координат. Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону притягивающего центра (первый и второй случаи). Трос с зондом расположен вдоль радиуса орбиты и направлен в сторону противоположную от притягивающего центра (первый и второй случаи). [c.403]

Отметим, что задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимметричном силовом поле с потенциалом (30) тоже интегрируема. Кроме трех классических интегралов F, Fi, Рз она обладает интегралом F , в котором надо положить а = 0. Интеграл Л найден впервые Тиссераном (F. Tisserand) в 1872 году в связи с исследованием вращения небесных тел. Дело в том, что потенциал твердого тела в центральном ньютоновском силовом поле совпадает с потенциалом (30) с точностью до 0 p /R ), где р — характерный размер твердого тела, а R — расстояние от тела до притягивающего центра. Как заметил впервые В. А, Стеклов (1902 г.), уравнения Эйлера—Пуассона с потенциалом (30) совпадают по виду с уравнениями Кирхгофа задачи о движении твердого тела в идеальной жидкости в случае Клебша (1871 г.). При этом интеграл F в точности соответствует интегралу, найденному Клебшем. [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...