Функция аналитическая поверхностная

В [49] для определения этой нижней границы принималось, что пленка распадается на ручейки, когда сумма кинетической и поверхностной энергии для двух геометрий, показанных на рис. 4.7, становится одинаковой. Это равенство суммарной энергии определяет значение при котором пленка еще сохраняет сплошность, при Г < энергетически выгодным становится течение в виде ручейков. К сожалению, аналитическое выражение [49] для — это функция краевого угла смачивания 9д, что делает сомнительной возможность его практического использования, несмотря на привлекательность лежащей в его основе физической модели. [c.173]

Взаимодействие твердых тел при контактировании в значительной степени зависит от распределения материала по высоте, отсчитываемой от плоскости (в случае контактирования твердых тел, имеющих плоские поверхности), параллельной плоскости касания. Распределение материала в поверхностном шероховатом слое аналитически описывается [20] или нормальным законом со смещенным центром распределения для поверхностей, у которых на образование микрогеометрии поверхности оказывают влияние периодические факторы, или нормальным законом для поверхностей, имеющих нерегулярную шероховатость. Во многих расчетах взаимодействия контактирующих тел [20, 52, 83] начальную часть опорной кривой аппроксимируют степенной функцией (П.8). Уравнение (II.8) можно использовать [69] для вычисления фактической площади касания в зависимости от сближения между поверхностями. В этом случае уравнение напишем в следующем виде [c.44]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

У полукруглых поверхностных трещин (рис. 5) функцию / в уравнении (19) нельзя вычислить аналитическим путем, а можно [c.229]

Описанный выше подход не применялся для решения инженерных задач, связанных с разрушением конструктивных элементов с поверхностными дефектами. Заметим, что если принять аналитическое решение в виде (3.1), в котором Л ь Kw и Л щ являются произвольными функциями координаты фронта трещины, то в- результате получается достаточно сложная система невязок объемных сил /, поверхностных усилий на и перемещений ы на Sa, причем конечно-элементное решение, связанное с этими невязками, т. е, решение (2), будет включать в себя сложные объемные интегралы. В единственной решенной задаче [75], а именно задаче, связанной с деформацией компактного образца, нагруженного по типу I, и учитывающей изменение коэффициента К. по фронту трещины, конечно-элементные решения потребовалось выполнять 2т- - раз, где т — число конечно-элементных слоев, расположенных по толщине образца. Более того, каждое конечно-элементное решение определялось 2106 степенями свободы,- причем системы уравнений могли отличаться от слоя к слою. [c.210]

Теперь приведем некоторые соображения, касающиеся решения описанным методом задач о поверхностных дефектах в телах конечных размеров. Поскольку в решение (1) включено аналитическое решение, описывающее эллиптическую трещину, находящуюся в неограниченном пространстве, возникает необходимость определить напряжения невязки по всей плоскости трещины, включая фиктивную часть, лежащую за пределами конечного тела. Кроме того, хорошо известно, что точность интерполяции функций методом наименьших квадратов может быть увеличена внутри области интерполирования за счет увеличения числа членов полинома, однако интерполяционная кривая может резко изменить свой характер за пределами области интерполирования. [c.224]

Л ) = 3/<Ге N) rxi N), N S силами [181. В однородном теле с постоянными и теплофизическими и механическими характеристиками материала при отсутствии объемных источников тепла, объемных и поверхностных распределенных и сосредоточенных нагрузок, а также связей, ограничивающих перемещения поверхностных точек тела, напряжения не возникают, если процесс теплопроводности установившийся, т. е. Т,ц М) =0, и распределение температуры линейно зависит от прямоугольных декартовых координат [5]. Аналитическое решение пространственной задачи термоупругости затруднительно для тел сложной формы при произвольных граничных условиях и функциях (М) и (М). Среди численных методов решения рассмотрим МКЭ и МГЭ. [c.248]

Первое слагаемое правой части, под которым подразумевается аналитическая часть функции г(5 (S), будет в малой окрестности точки S = So давать напряженное состояние, отвечающее случаю, когда область G свободна от внешних поверхностных сил. Три последних слагаемых соответствуют загру-жению оболочки в точке S = So сосредоточенной силой и моментом. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся интегральными уравнениями равновесия (16.26.8) и подсчитаем с их помощью R , Ry, R , Q , Q , Q , положив [c.236]

Случай поверхностной нагрузки аналитического типа. Предположим, что поверхностные нагрузки р х) и q x) являются аналитическими функциями по всей длине стержня (см. рис. 4.1). Для связи напряжений и деформаций в слоях используем соотношения закона Гука (1.17) в девиаторно-шаровой форме [c.141]

На стержень действует локальная динамическая поверхностная нагрузка, равномерно распределенная до сечения ж = 6 1. Ее можно представить в аналитическом виде с помощью функции Хевисайда 7/о(ж), которая равна единице при положительном аргументе и обращается в нуль на остальной числовой оси [c.269]

Мы видели, что путем аналитического продолжения можно рассматривать наряду с состояниями, лежащими вблизи края зоны, и состояния, лежащие глубоко в запрещенной зоне. Функции поверхностных состояний, лежащих вблизи края разрешенной зоны, спадают по мере удаления от поверхности очень медленно. При углублении в запрещенную зону скорость спадания становится все больше и больше, а состояние соответственно все более и более локализованным. По мере дальнейшего понижения энергии при приближении к краю валентной зоны это спадание опять становится более плавным и в большей мере соответствует состояниям валентной зоны. При заданной форме энергетических зон мы можем покрыть всю область энергий запрещенной зоны. Для простейшего случая, когда = К А + ак, это показано в задаче 22 гл. П. [c.196]

В обшем виде выражение (10) не разрешимо аналитическими методами. Однако применительно к процессу плавки металлов в ИПХТ-М подынтегральное выражение может быть упрощено за счет применения асимптотических разложений функций Бесселя. Плавка в ИПХТ-М осуществляется, как правило, при выраженном поверхностном эффекте ( р/( 2Дэ) > 10), что позволяет представить векторный потенциал в расплаве следующим образом [c.80]

Единственным путем произвольного, принудительного введения тепла через поверхность твердого тела является бомбардировка его электронами (электронный нагрев), при которой могут быть обеспечены граничные условия второго рода, заданные любой функцией времени. Если к этому добавить широкие пределы возможного увеличения интенсивности тепловых потоков (недоступные при других способах нагрева твердого тела при поверхностном подведении тепла), то становится очевидной необходимость точного количественного изучения метода электронного нагрева с целью превра[цения его в метод эталонирования теплового потока. Это позволило бы по-новому подойти к решению ряда старых задач и поставить много других. Например, в теплотехнических экспериментах обеспечивается исследование моделей произвольной формы при любых тепловых потоках, вводимых через поверхность в метрологии могут быть исследованы тепловые характеристики различных материалов в предельно возможном диапазоне температур и тепловых потоков в теории нестационарного теплообмена могут быть опробованы любые аналитические методы расчета температурных полей по заданным условиям на границе и, что еще важнее, могут быть развиты методы отыскания краевых функций по известному пространственно-временному температурному полю. Особенно трудной последняя задача становится в условиях фазовых превращений и при наличии химических источников тепла, участвующих в процессе теплообмена. В этом случае, помимо перемещения границ, становятся существенно непостоянными физические параметры тела и возникает необходимость отделить тепловые потоки, поступающие в тело со стороны среды, от независимых источников тепла (скрытой теплоты, теплоты химических реакций и т. д.). [c.140]

Пусть срединная поверхность оболочки представляет собой полную (замкнутую) сферу и поверхностная нагрузка отсутствует (Xj = Xj = Z = = 0). Из теоремы единственности ( 5.32) вытекает, что для такой оболочки моментные уравнения будут иметь лишь тривиальные (нулевые) решения. Это утверждение остается верным (хотя и не таким очевидным) и для безмо-ментных статических уравнений. Действительно, решение последних в рассматриваемом случае определяется комплексной функцией напряжения г (Z), которая ( 13.4) должна быть аналитической во всей плоскости и иметь нули в точках t = О, = оо. По теореме Лиувилля она тождественно равняется нулю, что согласно формулам (13.4.2) и означает обращение в нуль напряженного состояния оболочки. [c.230]

Матричный метод и метод рекуррентных соотношений относятся, строго говоря, лишь к структурам с кусочно-постоянной зависимостью е (г), в то время как метод медленных амплитуд справедлив для любой периодической (слабомодулированной) функции 8 (г) и в этом смысле является более общим. Кроме того, метод медленных амплитуд может непосредственно применяться для описания более сложных оптических эффектов в МИС, а также для исследования квантовомеханических явлений в периодических потенциалах. Так, в работах [11, 19] с его помощью рассмотрены поверхностные электромагнитные волны нового типа (в том числе и рентгеновские) в многослойных структурах-, а в работе [9] — поверхностные (таммовские) состояния электронов в сверхрешетках. Сравним, наконец, результаты, полученные с помощью аналитических формул (3.28) и точного численного расчета по методу рекуррентных соотношений. На рис. 3.5 приведены кривые отражения (ф), полученные этими методами для МИС, состоящей из слоев ванадия и углерода, при почти нормальном падении МР-излучения с длиной волны к = 6,02 нм. Из рисунка видно, что аналитический расчет дает те же результаты, что и численный. Как показано в работе [8], согласие несколько ухудшается при приближении к области полного внешнего отражения (ф л п/2 — — 9(,), а также в длинноволновой части МР-диапазона (Я 30 нм). Тем не менее, даже и в этих случаях аналитический подход может применяться, по крайней мере для предварительного рассмотрения. [c.89]

Будем предполагать, что поверхностная сила Я является аналитической функцией места (точки) и что жидкости в общем случае представляют с1)6ой изотропные тела, в которых все направления равноправны и, следо-KjTe.TbHO, коэфициент внутреннего трения не зависит от направления. [c.65]

Леви-Чивита (Ьеи1 СгиНа) Туллио (1873-1941) — известный итальянский математик и механик. Окончил Падуанский университет, профессор рациональной механики этого университета 1898-1938 гг.). Основные направления исследований теория чисел, тензорный анализ, риманова геометрия, аналитическая и небесная механика, гидромеханика, теория упругости. Основополагающие работы в области абсолютного дифференциального исчисления. Совместная с Г. Риччи-Курбастро монография Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения сделала, по словам А. Эйнштейна, возможной математическую формализацию общей теории относительности. Ему принадлежит идея параллельного переноса векторов, идея искривленного пространства, теорема об аналитических функциях комплексного переменного, фундаментальные работы по теории потенциала, по теории поверхностных волн от движения твердого тела, по теории трехмерного пограничного слоя. [c.56]

Аналитическое решение уравнения (7.35) затруднено из-за сложного характера распределения функции (т, р, /), которая зависит от геометрии индукционной системы, частоты тока, электрофизических свойств материала загрузки. Поэтому задача оптимального управления для линейного цилиндра конечной длины решалась также численным методом с помощью цифровой модели. Если рассматривать нагрев цилиндра конечной длины в однородном магнитном поле, то зависит только от параметра т = = л/2 2/й, где б — глубина проникновения тока, т. е. от выраженности поверхностного эффекта. Проведенные расчеты показали, что на предельную достижимую точность нагрева (гр = Этах— 0ш1п) слабо влияет длина зоны равномерного распределения источников теплоты в средней части цилиндра. А это означает, что для цилиндров с длиной, превышающей диаметр, величина г 5 не зависит от длины цилиндра. Таким образом удается построить зависимость г от параметра в широком диапазоне изменения критерия В (рис. 7.6). Изменение мощности нагрева (Ро) оказывает слабое воздействие на г)з, особенно при небольшом уровне тепловых потерь (В1). При небольших резко снижается достижимая равномерность нагрева. Это объясняется тем, что распределение внутренних источников теплоты по длине становится почти равномерным и дополнительные тепловые потери с торцов заготовки не удается скомпенсировать за счет краевого эффекта цилиндра. Детальный анализ показал, что на величину яр характер распределения источников теплоты по радиусу оказывает пренебрежимо малое влияние по сравнению с распределением источников по длине. Поэтому графики рис. 7.6 могут быть перестроены относительно параметров ,1 (см. главу 5) или Кр [107], характеризующих неравномерность распределения источников теплоты по длине заготовки и однозначно связанных с параметрами т<г, при нагреве цилиндра в однородном поле. Значения коэффициентов, характеризующих такое распределение источников теплоты, которое обеспечивает высокое [c.246]

Наконец, четвертый, самый корректный подход — это попытка строгого решения задачи о возбуждении кристаллического полупространства системы металлических электродов. Здесь следует отметить два приема — использование функций Грина [67, 155, 156] и построение точного решения электрической задачи с дальнейшим использованием для решения введенного Ипгебригтсеном [157] понятия поверхностного импеданса [158, 159]. В обоих случаях довольно длительная и слол<ная процедура решения приводит к интегральному или инте родифферен-циальному уравнению, решение которого в общем случае возможно только численными методами. Для ряда частных случаев, например для узких (по сравнению с длиной волны) электродов, решение может быть получено в аналитической форме. [c.177]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Постановка задачи. С аналитической точки зрения основная задача теории упругости состоит в решении уравнения равновесия изотропного тела заданной формы й при заданных смещениях или напряжениях на гра[-ницё. Случай, когда на тело действуют массовые силы, приводится при помощи полученного в 130 частного интеграла к случаю тела, деформированного только поверхностными силами на граничной поверхности. Отсюда наша задача заключается в определении таких функций и, V, т, которые внутри заданной границы непрерывны вместе с их производными и удовлетворяют диференциальным уравнениям в частных производных [c.240]

Пусть теперь о < i b. В этом случае fip = a/so) <0, так как знак функции изменился при р = ря< (n/so. Уравнение (4.28) определяет теперь физически допустимое решение, убывающее при X -I- оо. Это решение описывает так называемую квазиобъем-ную поверхностную волну, впервые численно рассчитанную Фар-неллом (см. [75]), а затем изученную аналитически [126, 127]. Наибольшей амплитудой в нем является амплитуда U,, а и и г и i sin г]) и малы. Величина смещений очень медленно убывает при удалении в глубь кристалла. [c.134]

Ход дисперсионных зависимостей в области распространения существенно зависит "от типа волновода. Для волноводов с гладкими идеально проводящими стенками качественный характер зависимости /г(со) в области распространения показан сплошной линией на рис. 1.3, б. При этом дисперсионная кривая всегда лежит ниже прямой Ке/г = со/с. В волноводах с импедансными стенками (например, в гребенчатых волноводах, см. гл. 4) возможен иной тип дисперсионной характеристики (пунктирная кривая на рис. 1.3, б). В точке пересечения этой кривой прямой 1 е/г = со/с происходит преобразование объемной волны в поверхностную. В точке со = соотс поверхностная волна терпит отсечку при этом функция /г(со) имеет полюс. Это связано с тем, что для гребенчатого волновода функция А (Л, (о) при заданных параметрах гребенки не является аналитической (см. гл. 4). Это существенно отличает данную систему от,. например, слоистой диэлектрической среды, рассмотренной в [12]. Заметим, что для волн, показанных на рис. I, 3, б, характерна так называемая нормальная дисперсия, т. е. выполняется условие [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...