Эйлера бесконечно малая

С другой стороны, если деформация или течение тела задается уравнением вида (1.125), то независимыми переменными являются координаты Xi и время t. Такой способ описания деформации и течения называется эйлеровым. Это описание позволяет проследить обратную картину развития деформации от конечного состояния Xi к начальному xj при U-В методе Эйлера материальная частица для деформированного состояния в момент времени t может быть выбрана также в форме прямоугольного параллелепипеда. Рассматривается бесконечно малое за время [c.31]

За время dt этот прямоугольный параллелепипед также становится косоугольным, но его искажения являются бесконечно малыми, и поэто- Рис. 1.9 му они достаточно просто выражаются через вектор скорости v x,i)=dx/dt. Ясно, что все кинематические соотношения метода Эйлера формально можно получить из соответствующих соотношений метода Лагранжа, если считать интервал времени t—ta бесконечно малым. [c.31]

При изучении течения сплошного тела в переменных Эйлера часто используют тензор бесконечно малых деформаций за время d . В этом случае бесконечно малый вектор перемещения [c.73]

Рассматривая перемещение тела за бесконечно малый промежуток времени и применяя теорему Эйлера — Даламбера, мы снова придем к заключению о существовании мгновенной оси вращения. Применяя далее результаты 61, получим вновь понятие о мгновенной угловой скорости. Однако этот способ следует признать менее общим, чем рассмотренный в предыдущем параграфе, так как он не вскрывает первообразных свойств угловой скорости как антисимметричного тензора второго ранга. [c.115]

При изучении движений сплошной среды в переменных Эйлера используется тензор бесконечно малых деформаций среды за время di, когда вводится вектор относительных перемещений точки и за время At, равный [c.9]

Из того факта, что бесконечно малое ортогональное преобразование можно записать в форме (4.94), вытекает также доказательство теоремы Эйлера, не зависящее от доказательства, изложенного ранее. Действительно, любое конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить с помощью последовательных бесконечно малых перемещений. Но так как бесконечно малое преобразование является вращением, то и конечное преобразование также будет вращением. [c.151]

Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с w, следует рассматривать как совокупность трех последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями (Оф = ф, со0 = 0, = Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать ю суммой трех отдельных векторов угловых скоростей. К сожалению, векторы <0ф, <ое, расположены несимметрично вектор Шф направлен вдоль неподвижной оси 2, вектор (00—вдоль линии узлов, а — вдоль подвижной оси г, связанной с телом. Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В, С, D (см. 4.4). [c.153]

Замечание относительно терминологии. Прилагательное аналитическая в выражении аналитическая механика не имеет ничего общего с философским процессом анализа оно происходит от математического термина анализ и указывает на приложение методов исчисления бесконечно малых к тем или иным проблемам чистой или прикладной математики. Во французской и немецкой литературе термин аналитическая механика относится лишь к абстрактной математической трактовке проблем механики методами Эйлера, Лагранжа п Гамильтона в английской же, и особенно в американской [c.27]

Принцип Гамильтона. В принципе Даламбера оперируют с неинтегрируемыми дифференциалами. Приравнивается нулю некоторая бесконечно малая величина — полная виртуальная работа приложенных и инерционных сил. Две составные части совершаемой работы, связанные с этими двумя категориями сил, резко различаются по своему характеру. Виртуальная работа приложенных сил — моногенный дифференциал, получаемый из силовой функции виртуальную работу сил инерции нельзя получить из какой-либо одной функции — ее приходится выписывать для каждой частицы в отдельности. Это ставит силы инерции в очень невыгодное положение по сравнению с приложенными силами. Большое теоретическое и практическое значение имеет тот факт, что это положение может быть исправлено путем преобразования, которое придает принципу Даламбера моногенный характер. Хотя в неявном виде это использовалось еще Эйлером и Лагранжем, Га- [c.136]

Когда рассматриваемое движение установившееся или когда его можно свести к установившемуся, если отнести движение к подвижной системе координат (такое движение рассмотрено в конце предыдущего параграфа), то предпочитают пользоваться эйлеровыми уравнениями гидродинамики, а не лагранжевыми. Применение уравнений Эйлера удобно также тогда, когда перемещения и скорости бесконечно малы (подобные случаи составляют предмет двух предыдущих лекций). Одним из этих случаев мы будем заниматься здесь, именно случаем бесконечно малых колебаний тяжелой несжимаемой жидкости. [c.293]

В ходе решения, приведшего к выводу, что искомая кривая есть циклоида, Я. Бернулли высказал принцип, который хотя и не обладает полной общностью, но сыграл значительную роль как на первой стадии развития вариационного исчисления, так и в формулировке Эйлером принципа наименьшего действия. Принцип Я. Бернулли гласит, что если какая-либо кривая обладает свойством максимума или минимума, то каждая ее бесконечно малая часть обладает тем же свойством. Именно это позволило Эйлеру написать вместо конечного пути s, входящего в формулу, данную Мопертюи, элемент пути ds и тем самым сделать огромный шаг вперед. Надо отметить, что, рассматривая задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде, Эйлер показал, что длина и форма предшествовавшего пути влияют на [c.787]

Так как Vo отделено от в уравнении (19.2), то можно рассматривать угловую скорость тела S так, как если бы точка Ро была неподвижной. Для того чтобы выразить о) через углы Эйлера ( И), возьмем в качестве Т три вектора (i, j, к) (рис. 5) неподвижными относительна S. Перемещение за время dt может быть произведено бесконечно малыми вращениями d , d(p, йа з соответственно вокруг Ji, К, к, так что будет иметь место уравнение [c.63]

Модифицированный тензор напряжений Кирхгофа определяется следующим образом. Бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, ограниченный шестью поверхностями, задаваемыми уравнениями (16.21), зафиксирован в состоянии тела, и в том же состоянии тензор напряжений Эйлера, действующий на этот прямоугольный параллелепипед, обозначен через off, как показано на рис. 16.4. В состоянии этот прямоуголь- [c.384]

Сейчас следует особо подчеркнуть, что поскольку в эйлеров-ском подходе речь шла о единственности решения для параметров внутреннего состояния, то это само собой подразумевало, что в реально проявляющемся эффекте выпучивания значение внешних действующих сил оставалось неизменным. Поэтому и в данном случае такой подход требует постоянства силы Р и, следовательно, о. Далее, приращения Да мы должны рассматривать как результат перехода из исходного в побочное состояние а , и, следовательно, можно отождествить Аоа с бесконечно малым приращением doa, фигурирующим в определяющем уравнении. [c.13]

В целях пояснения применения этих двух методов Эйлер останавливается на задаче о цепной линии. Для цепи, подвешенной в двух точках А я В (рис. 21), можно получить кривую ее равновесия, воспользовавшись прямым методом . При этом мы рассматриваем силы, действующие па бесконечно малый ее элемент тп, и составляем уравнения равновесия этих сил. Из этих уравнений выводится требуемое дифференциальное уравнение цепной линии. Но той же цели мы можем достигнуть и методом конечных причин , подходя к задаче из соображений о потенциальной энергии сил тяжести. Из всех геометрически возможных кривых провеса искомая должна быть такой, для которой эта потенциальная энер- [c.44]

Эйлер исследовал точное дифференциальное уравнение изогнутой оси упругого стержня и классифицировал упругие кривые на девять видов. Некоторые из них представлены на рис. 14. К первому виду относится прямая линия, а также кривая линия, бесконечно мало от нее отличающаяся. В этом случае дифференциальное уравнение упрощается и легко интегрируется. Оказывается, что для того чтобы сообщить стержню бесконечно малый изгиб, к концам его нужно приложить силы [c.166]

Систематическое применение методов анализа бесконечно малых к изложению курса механики было проведено впервые со всей последовательностью великим математиком и механиком Леонардом Эйлером (1707—1783), который большую часть своей [c.63]

Вообразим бесконечно малый элемент струйки аЬ (рис. 1) длиной ds в установившемся движении жидкости, параллельном плоскости чертежа. По теореме Эйлера гидродинамические давления на поверхности струйки уравновешиваются силами секундных количеств движения, причем количество движения выходяш ей жидкости надо брать в противоположном направлении. Па рис. 1 указаны силы, действуюш ие на элемент струйки аЬ. Полагаем, что размер ее равен единице, а dn расстояние между линиями токов, отсчитываемое в направлении от центра кривизны струйки. Спроектируем все силы на касательную и нормаль, считая, что os 0 = 1 и sin 0 = 0, где в — бесконечно малый угол смежности. [c.322]

Между тем, уже Эйлер обратил внимание на то, что существуют и такие случаи движения жидкости, при которых не имеет места потенциал скоростей, например вращение жидкости около оси при одинаковой угловой скорости всех частиц. К силам, способным вызвать такого рода движение, принадлежат силы магнитные, действующие на жидкость, по которой пробегает электрический ток, и в особенности трение частиц жидкости между собой и о твердые тела. Влияние трения в жидкостях до сих пор еще не поддавалось математическому определению, а между тем во всех случаях, где дело идет не о бесконечно малых колебаниях, оно очень велико и порождает весьма значительные отклонения от теории. Трудность определения этого влияния [c.7]

Чтобы найти сумму главных кривизн, заметим, что на основании теорем Эйлера и Менье о кривизне поверхности кривизна произвольного сечения, наклоненного под бесконечно малым углом к нормальному главному сечению, будет равна с точностью до бесконечно малых первого порядка кривизне самого главного нормального сечения. Достаточно поэтому в рассматриваемой задаче вычислить кривизны поперечного и осевого сечения цилиндра. Эти сечения представляют собой главные сечения в невозмущенном состоянии, главные же сечения деформированной поверхности образуют с ними бес о-нечно малые углы. Для поперечного сечения будет справедлива формула (6), тогда как для осевого сечения кривизна будет [c.589]

Мгновенное движение твердого тела определяется бесконечно малыми изменениями углов Эйлера. Пусть ф, г] , й — скорости изменения углов ф, г1), ё [c.113]

При определении скорости частицы среды в каждой точке пространства, с точки зрения Эйлера (в переменных Эйлера), следует иметь в виду, что имеет смысл рассматривать только очень малые (в пределе бесконечно малые) смещения Аг(г, t) частиц среды из данного положения. В методе Лагранжа смещения частиц среды (г — го) из данного положения рассматриваются как конечные. Поэтому в переменных Эйлера вектор скорости определяется следующим соотношением [c.17]

Напишем формулы Эйлера, выражающие Вл , 82 через бесконечно малые угловые перемещения 5<р, 8 и 86 около осей [c.507]

Вычисление смещений As точек среды снова возвращает нас к переменным Лагранжа, где начальное положение точек определяется для даиного момента пространством переменных Эйлера. Однако смещения As в переменных Эйлера будут бесконечно малыми в отличие от вектора смещения s в переменных Лагранжа, который может быть конечной величиной. [c.221]

Систематическое и последовательное применение методов анализа бесконечно малых к задачам механики было осуществлено впервые великим математиком и механиком Леонардом Эйлером (1707—1783), который большую часть своей творческой жизни провел в России, будучи членом открытой по указу Петра I в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. В России механика начала развиваться со времен Эйлера. Творческая сила Эйлера и разносторонность его научной деятельности были поразительны. В работе Теория двилщния твердых тел Эйлер вывел в общем виде дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. В гидродинамике ему принадлежит вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости. Применяя метод анализа бесконечно малых, Эйлер развивает полную теорию свободного и несвободного движения точки и впервые дает дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме. Им дана формулировка теоремы об изменении кинетической энергии, близкая к современной. Эйлером было положено начало понятию потенциальной энергии. Ему принадлелщт первые работы по основам теории корабля, по исследованию реактивного действия струи жидкости, что послужило основанием для развития теории турбин. [c.15]

Формулы, дающие движение натянутой струны, нагруженной неопределенным числом равных тел, не вызывают никаких затруднений, поскольку движение каждого тела определяется частным уравнением ясно, что если эти же формулы можно применить к движению струны постоянной плотности, допуская, что число тел берконечно велико, а их взаимные расстояния бесконечно малы, то закон, который отсюда получится для колебаний струны, будет совершенно независим от ее первоначального состояния и если этот закон окажется тем же, какой получается из рассмотрения произвольных функций, то тем самым будет доказано, что эти функции могут быть любого вида, непрерывного или прерывного, лишь бы только они представляли начальное состояние струны. Этим именно путем я в первом томе Memoires de Turin доказал правильность построения Эйлера, которое до тех пор еще не было достаточно обосновано. Примененный мною там анализ, за исключением некоторых упрощений, которые я ввел с тех пор, совершенно подобен тому, какой я дал сейчас я полагал, что его следует [c.517]

Уравнения Эйлера. Многие исследования о вращении твердого тела около неподвижной точки под действием внешних сил или при их отсутствии основываются на замечательной системе уравнений, установленных Эйлером (1758) и известных под его именем. Было уже замечено ( 38), что употребление неподвижной системы координат неудобно для уравнений движения, так как коэфициенты инерции непрерывно изменяются. Поэтому Эйлер наметил план введения осей координат, неизменно связанных с телом и движущихся вместе с ним. Для большего упрощения в качестве таких осей принимают главные оси инерции ОА, ОВ, ОС, относящиеся к неподвижной точке О. Пусть Ох, Оу, Oz — система осей, неподвлжных в пространстве, но ориентированных так, что они в данный момент t времени совпадают соответственно с осями ОА, ОВ и ОС. Через промежуток времени Ы положение главных осей инерции определится, как результат трех поворотов рЫ, qbt, rbt, соответственно, вокруг осей ОХ, 0Y, 02. Если мы пренебрежем квадратами и произведениями малых количеств, то для нас будет несущественно, в каком порядке происходят эти повороты. Поворот вокруг Оу не изменит положения ОВ, но поворот вокруг Ог повернет ОБ в сторону от оси Ох на угол гЫ. Поворот же вокруг Ох не изменит угла между ОВ и Ох. Таким образом косинус угла между ОВ и Ох станет равен теперь — rZt. Далее поворот около Oz не изменит положения ОС, а поворот вокруг Оу приблизит ОС к Ох на угол дЫ. Косинус угла между ОС и Ох станет теперь равен -[-Наконец, угол между О Л и Ох бесконечно мал. Таким образом косинусы углов, образованных осями ОА, ОВ и ОС с осью Ох, будут соответственно равны [c.118]

Мне кажется, что предыдущие замечания могут заставить признать, что между принципом наименьшего действия и законом равновесия нет никакого параллелизма и никакой гармонии, как это думал Эйлер и даже Лагранж. Эйлер в Берлинских мемуарах ) высказал даже мнение, что, рассматривая бесконечно малое движение, возможно вывести закон равновесия из принципа наименьшего действия и что единственное затруднение, которое здесь имеет место, состоит в том, чтобы разобраться во всех бесконечно малых, которые фигурируют в этой задаче. Видимость подобной гармонии исчезает в большой своей части, если привести интеграл к его правильному виду [c.291]

Но одно обстоятельство, кажется, а priori доказывает, что параллелизм, на котором настаивает Эйлер, невозможен. Именно, на основании замечаний, сделанных выше, интеграл при бесконечно малых движениях всегда имеет настоящий минимум, тогда как в так называемом законе покоя может получиться максимум, минимум или ни тот, ни другой. [c.291]

Изданием в 1736 г. Механики Лагранж заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики, хотя и решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г.— это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил лмехаиику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствуюш их математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, эксиериментальных положений. Каковы эти положения И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики [c.202]

Распределение скоростей и ускорений в твердом теле. В отличие от конечных вращений бесконечно малые вращения и, следовательно, угловыг скорости абсолютно твердого тела обладают векторными свойствами. По формуле Эйлера скоросгь любой точки тела [c.49]

Коши при бесконечно малой деформации, 49 Коши с исключенным поворотом, 46 Лагранжа, 45 Нолла, 46 Эйлера, 45 [c.260]

Живя в Берлине, Эйлер написал свое Введение в исчисление бесконечно малых (1748), Дифференциальное исчисление 2 тома, 1755) и Интегральное исчисление (3 тома), причем последнее сочинение было издано в Петербурге (1768—1770). Все эти книги послужили на многие годы руководствами для математиков, и можно утверждать, что все знаменитые математики, жившие в конце XVIII и начале XIX века, были учениками Эйлера ). [c.42]

В течение XVIII в. произошло и полное изменение математического языка механики. Геометрический вариант исчисления бесконечно малых, предложенный Ньютоном в Началах , пожалуй, только у него и у первоклассных ученых мог быть методом — для менее сильных математиков даже разбор готовых решений в Началах был нелегким делом. Последователей Ньютон нашел только в Англии, и получить, следуя Ньютону, новые значительные результаты оказалось по силам лишь Маклорену.. Надо думать, что по этой причине в течение почти столетия английские ученые практически не участвовали в развитии механики. Напротив, континуальная школа располагала средствами анализа бесконечно малых в том виде, какой ему придал Лейбниц, и эта форма математического языка была использована в механике с большим успехом. Благодаря тому алгоритму математического анализа, который культивировала школа Лейбница, механика получила возможность стать аналитической и действительно стала ею. Больше всего заслуг в этом деле у Эйлера и Лагранжа. Лагранж и здесь подвел итоги и ввел в обиход самый термин аналитическая механика . [c.123]

В течение XVII в,, в эпоху формирования классической механики, статические задачи, побуждавшие в той или иной мере заниматься проблемой устойчивости, были оттеснены на задний план задачами динамики. В новых задачах динамики вопрос об устойчивости, принципиально более сложный и гораздо менее наглядный, чем в задачах статики, поначалу вовсе не ставился. В результате в течение примерно столетия в проблему устойчивости не было внесено ничего существенно нового. Обновление приходит вместе с развитием в XVIII в. аналитических методов механики. Новыми существенными успехами учение об устойчивости обязано Л. Эйлеру Стимулом было, как и прежде, исследование проблемы плавания. В 1749 г. в Петербурге была издана двухтомная Корабельная наука (на латинском языке) Леонарда Эй- лера Этот труд был закончен в основном еще в 1740 г. Его третья глава — Об устойчивости, с которой тела, погруженные в воду, упорствуют в положении равновесия ,— начинается с утверждения, что устойчивость, с которой погруженное в воду тело упорствует в положении равновесия, должна определяться величиной момента восстанавливающей силы, когда тело будет наклонено из положения равновесия на данный бесконечно малый угол. Здесь дается обоснованная предыдупщм изложением мера устойчивости, четко введена устойчивость равновесия по отношению к бесконечно малым возмущениям, а в дальнейшем изложении устойчивость равновесия исследуется с помощью анализа малых колебаний плавающего тела около положения равновесия. Дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее эти колебания, составляется в соответствии с введенной мерой устойчивости, путем отбрасывания малых величин порядка выше первого и поэтому оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами (без слагаемого с первой производной, так как трение не учитывается, и без правой части). Это позволяет сопоставить его с хорошо изученным к тому времени уравнением малых колебаний математического маятника при отсутствии сопротивления среды. Качественная сторона дела тоже учитывается введенной Эйлером мерой момент восстанавливающей силы зависит от оси, относительно которой он берется, и для одних осей он может быть положителен (устойчивость равновесия), для других отрицателен (неустойчивость), для [c.118]

XVIII век характеризуется разработкой общих принципов механики и важнейшими исследованиями по механике твердого тела, гидродинамике и небесной механике. При этом развитие механики идет по пути создания и разработки аналитических методов, чему способствовало развитие новых мощных методов анализа бесконечно малых, основы которого были заложены Ньютоном и Лейбницем. Наиболее крунпыми учеными-механи-ками XVIII в. являются Иван Бернулли, Эйлер, Даниил Бернулли, Даламбер и Лагранж. [c.20]

Анализ бесконечно малых величин в приложении к задачам механики впервые применил знаменитый математик и механик XVIII в., член Россййской Академии наук Леонард Эйлер (1707—1783). Он написал 43 тома сочинений н более 780 статей. Большое число его выдающихся трудов относится к задачам механики. Эйлером был создан фундаментальный труд по аналитической динамике точки и твердого тела. С большой ясностью и полнотой Эйлер разработал задачи о движении твердого тела около неподвижной точки. Полученные Эйлером в этих задачах формулы, известные под названием эйлеровых, вошли во все современные курсы теоретической механики. Эйлера следует считать и основателем гидродинамики, так как он впервые вывел основные уравнения движения идеальной жидкости. [c.7]

Для формирования понятий скорости и ускорения был необходим метод исчисления бесконечно малых, связанный с именами Ньютона и Лейбница. Ньютон применяет его в важнейшем из своих произведений — Prin ipia — только в неявной форме, и лишь спустя полвека анализ позволил Л. Эйлеру систематически изложить механику в работе Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом , Петербург, 1736 г. (см. [132]). Современные представления требуют для этих понятий ещё более сложного математического описания. [c.21]

Вычисленные смещения Д8 точек среды фактически снова возвращают нас к переменным Лагранжа, где начальное положение точек определяется неподвижным пространством переменных Эйлера. Однако смещения Дз в переменных Эйлера будут бесконечно малыми в отличие от вектора смещения 8 в переменных Лагранжа, который может быть конечной величиной. Следовательно, изучение смещений отдельных точек среды можно вести только в переменных Лагранжа. Переменные Эйлера в этом случае фактически неприме- [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...