Эйлера по части переменных

При изучении течения сплошного тела в переменных Эйлера часто используют тензор бесконечно малых деформаций за время d . В этом случае бесконечно малый вектор перемещения [c.73]

Наряду с переменными Эйлера часто пользуются переменными Лагранжа. В отличие от переменных Эйлера переменные Лагранжа связаны не с определенной точкой пространства, а с определенной частицей вещества. Наблюдение ведется не за точками физического пространства, а за фиксированными частицами среды. Газодинамические и тепловые величины, выраженные как функции лагранже-вых координат, характеризуют изменение плотности, давления, скорости и температуры каждой частицы вещества с течением времени. [c.15]

В других, более сложных случаях (а) — функционал от п функций одной переменной и от их первых производных б) — функционал от одной функции одной переменной и от п последовательных производных этой функции в) — функционал от функций нескольких переменных и от их производных) дифференциальные уравнения, выражающие необходимые условия экстремума функционала, получаются более сложными. Иногда в названии этих уравнений, кроме имени Эйлера, упоминаются имена и других ученых (С. Д. Пуассона, М. В. Остроградского), но часто и в этих, более сложных случаях, упоминают только имя Эйлера. [c.443]

Тогда, учитывая, что (V.8) справедливо для любой части тела, в том числе н для частицы объемом dV, получим уравнение неразрывности в переменных Эйлера [c.139]

Основная часть мемуара О силе колонн посвящена исследованию продольного изгиба стержней переменного сечения, а также стержней постоянного сечения, находящихся под действием собственного веса. По последнему вопросу Эйлер не смог сразу получить удовлетворительного решения и вернул- [c.167]

В первые годы основное содержание курса было посвящено изложению общей теории движения тел переменной массы (уравнение Мещерского, задачи Циолковского, основные теоремы, уравнения типа Эйлера, Лагранжа и Гамильтона, частные задачи) позднее (с 1945/46 учебного года) в курс были включены вариационные задачи динамики точки переменной массы в беге времени значение оптимальных режимов полета все возрастало, и в шестидесятых годах курс получил сильный крен в эту сторону. Некоторое представление о моих взглядах на механику тел переменной массы и значении этого раздела современной механики для авиа- и ракетостроения можно получить из второй части моего курса теоретической механики. [c.215]

Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа = О для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца V i/ -Ь = 0. Было показано 2), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер, т. е. в одну из систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических или сферических координат. Это наводит на мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод конформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы. [c.188]

Часто для индивидуальной производной в переменных Эйлера используются обозначения . В дальнейшем мы при [c.12]

Большая часть сделанных добавлений связана с включением в курс параграфов, содержащих дополнительные сведения о движении твердого тела вокруг неподвижной точки (кинематические и динамические уравнения Эйлера), и главы, где излагаются основы метода обобщенных координат (уравнения Лагранжа) разнообразие требований, предъявляемых к курсу теоретической механики при подготовке специалистов разных профилей, заставляет уделить какое-то место этому материалу и в кратком курсе. Изложение в минимальном объеме элементарной теории гироскопа и таких актуальных в наши дни вопросов, как движение в поле тяготения (эллиптические траектории и космические полеты) и движение тела переменной массы (движение ракеты), в книге сохранено дополнительно написан параграф, посвященный понятию о невесомости. Представление о содержании книги в целом и порядке изложения материала дает оглавление. [c.9]

Погрешность решения для медленных переменных будет порядка 8 на интервале времени порядка е" , что соответствует числу оборотов спутника по орбите порядка 8" (так как Av 8" ). Для построения осреднен-ной системы (6.7.12) нужно осреднять правые части уравнений движения (при фиксированных медленных переменных и V) по движению Эйлера — Пуансо. Эти правые части — периодические функции д, ф, г ) с периодами 2я, а периоды т и т несоизмеримы. В этом случае, как можно показать [71], осреднение по времени эквивалентно независимому осреднению по периоду т и периоду т, то есть [c.227]

Изучая движение сплошных сред в переменных Эйлера, в части [c.30]

Bee соотношения (1.12) содержат высшие приближения в аналогичной форме, поэтому общее решение для случая любого приближения представляется как сумма общего решения (3.3) плюс частное решение неоднородного уравнения. Поскольку каждое предыдущее решение может быть найдено методом разделения переменных, нахождение частного решения уравнения Эйлера с правой частью, к которому приводится задача нахождения последующих приближений, не представляет особого труда и может быть выполнено известными приемами в зависимости от конкретного вида правой части. В случае плоского напряженного состояния из (3.1) и (1.12) следует [c.197]

Переменные Эйлера. С другой точки зрения, развитой Эйлером, объектом изучения является, строго говоря, не сама жидкость, а неподвижное пространство (или его фиксированная часть), заполненное движущейся жидкостью, и изучается 1) изменение различных элементов движения в фиксированной точке пространства с течением времени и 2) изменение этих элементов при переходе к другим точкам пространства иначе говоря, различные векторные и скалярные элементы движения рассматриваются как функции точки и времени, т. е. как функции четырех аргументов х, у, г, /, называемых переменными Эйлера, например [c.18]

Уравнение импульса показывает тогда, что переменная часть давления Ар О ). При этом граница О В области О в первом приближении должна оставаться прямой. Теория малых возмуш ений, применяемая к сверхзвуковому потоку 1, показывает, что отклонение наклона О В от прямой О (е ). Для получения стационарного решения температура газа То в области О в первом приближении равна температуре стенки Т . Плотность ро тогда в первом приближении постоянна и соответствует значениям р = Ро, Т = То. Подстановка приведенных оценок в уравнения Навье-Стокса и совершение предельного перехода е О показывает, что течение в области О описывается полными уравнениями Эйлера для невязкой несжимаемой жидкости. Движение остается безвихревым, так как все струйки тока начинаются при хд +оо из состояния покоя (втекая затем в зону смешения). Для функции тока можно написать уравнение Лапласа [c.39]

Для построения течения в этой области можно опять использовать переменные и асимптотические разложения (8.4), в которых индекс 3 следует поменять на индекс 2 . Подстановка таких разложений в уравнения Навье-Стокса приведет, очевидно, в первом приближении при е О к системе уравнений Эйлера (8.12), решению для возмущения энтальпии (8.13) и к краевой задаче (8.14) для функции тока (всюду с индексами 2 вместо индексов 3 ), решение которой можно представить в виде малых возмущений относительно сдвигового потока — пристеночной части невозмущенного пограничного слоя на пластине [c.384]

Уравнение (1.66) обычно называют уравнением Эйлера — Лагранжа, соответствующим функционалу Р. Интегрируя по частям, понижаем порядок дифференцирования, так что Р содержит производные более низкого порядка, чем уравнение (1.66). Отметим, что используемый знак вариации позволяет работать с б5, как с дифференциалами. При этом величина и аналогична независимой переменной, а Р аналогична функции. [c.43]

Уравнения движения (1.39), записанные в эйлеровых координатах X, t, называются уравнениями Эйлера. Обращая внимание на физический смысл отдельных членов в (1.39), отметим, что правая его часть дает выражение для полного ускорения в виде двух составных частей ускорения, которое вызывает массовые силы, и добавочного ускорения, учитывающего действие сил гидродинамического давления. Уравнение (1.39) можно записать в лагранжевых переменных [c.30]

Первый член справа — так называемое локальное ускорение — производная скорости по времени, явно входящему эта часть ускорения характеризует изменение скорости в данном месте пространства. При установившемся течении среды (например, при равномерном протекании жидкости по трубе переменного сечения) эта производная равна нулю. Остальные члены образуют так называемое конвективное ускорение, обусловленное переходом частицы из места с одной скоростью в место с другой скоростью. Например, при равномерном течении жидкости в трубе переменного сечения эта часть характеризует увеличение скорости частиц при переходе из широкой части трубы в узкую и уменьшение — при переходе из узкой части в широкую. Пользуясь (11.3), можно записать уравнение Эйлера в виде [c.33]

В отличие от переменных Эйлера, переменные Лагранжа а, Ь, с связаны с определенными частицами среды. Трехмерные уравнения движения в переменных Лагранжа слишком громоздки и поэтому используются редко. Однако одномерные задачи часто целесообразнее решать в переменных Лагранжа. Дело в том, что в переменных Лагранжа в одномерном случае задача легко сводится к решению только одного уравнения. Оно не содержит характерный для переменных Эйлера нелинейный член (уУ)у. Кроме того, в переменных Лагранжа просто записывается граничное условие для смещения излучающей поверхности. В окончательных же формулах сравнительно легко перейти от переменных Лагранжа к переменным Эйлера. Здесь мы вначале приведем формулы перехода от одних переменных к другим, а затем и основное уравнение для одномерного плоского движения. [c.55]

Матрично-разностные операторы дискретизация уравнений Эйлера. Принципы построения компактных аппроксимаций щтя систем уравнений с несколькими пространственными переменными, изложенные в гп. 1, могут быть непосредственно использованы при конструировании алгоритмов численного решения уравнений динамики невязкого и вязкого газов. При зтом информация о специфике этих уравнений содержится в характеристических матрицах, входящих в операторы компактного дифференцирования. Характеристические матрицы, в свою очередь, зависят от формы записи исходных уравнений (точнее, их гиперболической части), от выбранной системы координат, а также от того, что считается искомым вектором. [c.146]

Формулу (1.40), выражаюш,ую разность скоростей точек О и Р в один и тот же момент времени, удобно записать в переменных Эйлера, рассматривая разложение бо по степеням бху при 6 = 0 и удерживая только линейную часть [c.29]

Дополнительно в курс включено изложение основ механики сплошной среды, чтобы подготовить условия для последующего внесения части из основ в курс теоретической механики (особенно определения поля ускорений в переменных Эйлера но известному полю скорсютей в Кинематике и теории напряжений в Динамике ), Основы кинематики сплошной среды даны в разделе ((Кинематика (гл. 7). Введение в динамику сплошной среды приведено в разделе Динамика (гл. 13). [c.3]

Отметим, что метод конечных элементов полностью ориентирован на применение ЭВМ, хорошо приспособлен для решения краевых задач в областях сложной формы, мало чузствителен к переменности коэффициентов дифференциальных операторов и виду правых частей. Наиболее бурное развитие этого метода относится к последним двум десятилетиям, но основы метода были заложены еще в работе Р. Куранта [17], где указано, что идея соответствующего алгоритма была навеяна работой Л. Эйлера примерно двухсотлетней давности, в которой исследуются условия минимума интеграла. [c.130]

В главе шестой излагаются переменные режимы для ступеней давления, проточная часть которых выполнена по Эйлеру и по закону гСц= onst и приводятся примерные расчеты ступеней на переменный режим с незакрученными и с закрученными лопатками по закону ТСи. = onst. [c.4]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Обозначим матрицу размером 2 х 3 в правой части равенства (3.3) через R. Заметим, что дЖо/дрх = dS o/dipi = 0. Это вытекает из невырожденности задачи Эйлера-Пуансо и леммы Пуанкаре (см. 1 гл. 1). Пусть (Д, /г) 6 П Д°. Тогда ранг матрицы R равен 1. Значит, при фиксированном значении переменной I2, па инвариантных кривых отображения S кольца К на себя ( 1 настоящей главы), составляющих множество SSflD, матрица R тоже имеет ранг 1. Согласно лемме 1 множество 5S П D является ключевым для класса A D). Так как все миноры второго порядка матрицы Якоби R при любом фиксированном значении I2 являются аналитическими функциями в области D, то в области D х (ai, аг) ранг R равен 1, то есть функции Ж и зависимы. [c.65]

Другой метод вывода уравнения неразрывности. Предыдущий вывод уравнения неразрывности в переменных Эйлера представляет в сущности перефразировку вывода в переменных Лагранжа, так как мы рассматривали изменеиия плотности и объема в некоторой части жидкости, состоящей из одних и тех же частиц, следуя за ней при ее движении. Можно получить уравнение неразрывности в переменных Эйлера и другим методом, оставаясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора рг сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность 5 произвольной формы. Этот поток, на основании теоремы Гаусса, может быть представлен объемным интегралом [c.25]

Неограниченная задача трех тел. А.М. Ляпунов [30] вывел уравнения движения неограниченной задачи трех тел, используя в качестве части независимых переменных квазискорости Если ввести подвижную систему координат с началом в точке Pq принять за ось абсцисс — направление, идущее от точки Pq к точке Pi, за ось ординат, ось Р т] — направление, перпендикулярное Pq/i в плоскости треугольника Р0Р1Р2, а ось Pq дополняет систему до правой, то uJi,uJ2 0J суть проекции мгновенной угловой скорости UJ триэдра на оси Pq/i, Ро 7, РоС соответственно. Эти величины связаны с углами Эйлера — долготой I7, наклонностью I и углом собственного вращения Ф известными кинематическими соотношениями [c.142]

Надо отметить, что в 1956—1961 гг. академиком Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками был предложен еще один метод решения задач на экстремум в замкнутой области, называемый принципом максимума . Этот метод — очень общий, так как он позволяет решать и ряд особых задач (в которых функционалы линейны относительно управления), важных для теории автоматического управления и в то же время с трудом поддающихся решению классическими методами. Для таких задач принцип максимума особенно удобен. В то же время именно вследствие своей общности этот метод слишком громоздок для решения наиболее часто встречающихся задач линейного характера. Для решения же линейных задач с ограничениями наиболее удобно пользоваться модификацией классических вариационных методов, использующих обобщенную теорему Эйлера и преобразование переменных, предложенное Н. Гернет. В настоящее время этот прием широко используется Ю. Н. Петровым в его многочисленных работах по оптимальным методам автоматического управления электроприводом. [c.245]

Не следует делать поспешного вывода о том, что свет всегда распространяется по наикратчалшему расстоянию. Часто путь луча оказывается не минимальным, а максимальным. Принцип Ферма просто указывает на наличие экстремума. В случае однородной среды ([х = onst) из уравнения (3.1) вытекает дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа, описывающее прямолинейное распространение света. В случае же неоднородной среды (например, атмосферы, плотность которой и, следовательно, показатель преломления переменны) путь, удовлетворяющий уравнению (3.1), будет криволинейным. [c.58]

Наша конечная цель — определить поле деформации и поле тензоров напряжений Коши, возникаюш,ие в теле, которое подвергается действию заданной системы приложенных сил. Для решения этой задачи не удаётся эффективно воспользоваться уравнениями равновесия в деформированной конфигурации, поскольку они записаны в переменных Эйлера х = ф (х), которые сами относятся к числу неизвестных. Чтобы избежать трудностей такого рода, перейдём в уравнениях равновесия к переменным Лагранжа х, соотнесённым с отсчётной конфигурацией, которая считается заданной раз и навсегда. Точнее, преобразуем левые части div" 7 и TV, а также правые части f и уравнений равновесия для в величины того же типа, определённые на Q. [c.105]

В середине восемнадцатого века Эйлер ввел описание, кото- рое в гидродинамике почему-то называется лагранжевым . Это-частный случай отсчетного описания, при котором в качестве метки данного тела-точки X используются декартовы коорди-. наты положения X этого тела-точки в момент t = 0. Издавна. было ясно, что такой выбор меток произволен, и авторы рабог-по основаниям гидродинамики часто отмечали, что существен-.j ные результаты должны быть и действительно являются незави- симыми от выбора начального момента времени, а некоторые замечали, что в качестве меток можно бы с тем же успехом -взять параметры любой тройной системы поверхностей, движу- щихся вместе с нашей субстанцией. Отсчетное описание, при ко- тором в качестве независимых переменных берутся X и охва- тывает все эти возможности, [c.88]

Второе выражение в правой части преобразуется в третье с помощью интегрирования по частям по ру, через д Г ) обозначен элемент объема с1Г, не содержащий йр). Утверждение 2 можно доказать, вводя переменную д вместо р. Утверждение 1 следуе из (1), если заметить, что обычно импульсы входят лишь в член К. соответствующи11 кинетической энергии в гамильтониане, и что К является однородной квадратичной функцией импульсов. Следовательно, согласно теореме Эйлера, имеем / [c.131]

Если применить к лоной la xn (3.10) формулу (.Я.7), rpa iy жо получится уравнение движения в форме Эйлера. Иснользованпе описанной выше замены переменных позволяет следующим образом преобразовать левую часть (3.10) [c.34]

Часто приходится иметь дело с задачами, где рассматриваются газы различных сортов, отличающиеся друг от друга физическими свойствами, такими, как уравнения состояния, коэффициенты теплопроводности и т. д. Подобные задачи, если они допускают одномерную интерпретацию, удобно также решать в массовых переменных. В этом случае границы областей, занятых различными газами, находятся при фиксированых значениях массовой переменной. При использовании подхода Эйлера эти границы движутся в пространстве, п за ними необходимо специально следить. [c.41]

Отметим, что дисперсионное соотношение можно получить с помощью принципа гармонического баланса, т. е. подставив Ф = асо8 0 в уравнение (5.8.1) и приравняв коэффициенты при OS0 в обеих частях. В силу равенств со=—0, и k = % уравнение Эйлера—Лагранжа, соответствующее переменной 0, запишется в виде [c.236]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...