Эйлера в малом

Применяя статический метод Эйлера, мы рассматриваем лишь совокупность форм равновесия в малой окрестности точки бифуркации. Этим полностью исключаются из анализа устойчивости возможные формы движения. [c.318]

Естественным обобщением понятия устойчивости Эйлера на упругопластические системы в свете второй элементарной концепции устойчивости является следующее состояние равновесия упругопластической системы является устойчивым, если система после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы стремится вернуться в свое исходное состояние, пребывая в малой окрестности невозмущенного состояния [5]. [c.319]

Обозначив Oj. просто как v и опуская малые члены, мы можем написать х-компоненту уравнения Эйлера в виде [c.58]

Примем за основные оси Ох и Oz (рис. 184). Угол между ними по общему правилу обозначим через л/2 + 0. Основными плоскостями будут плоскости х Оу и уОг следовательно, линия узлов ON будет лежать в плоскости yOz, т. е. в плоскости рисунка. Линию узлов ON направим в ту сторону,, чтобы вращение оси Ох к оси Ог на наименьший угол происходило в положительном направлении вокруг ON. Углы гр и ф выберем, положив yON = if, y ON ф. Когда угол 6 будет стремиться к нулю, так что угол хОг будет стремиться к я/2, то линия узлов ON окажется мало отклоненной от оси Оу и углы if и ф будут также малы. Таким образом, условие одновременной малости всех углов Эйлера при малом отклонении системы Ox y z от системы Охуг будет выполнено. [c.268]

На первый взгляд кажется, что можно неограниченно уточнять расчет, выбирая достаточно малый шаг h. И это было бы справедливо, если бы расчеты велись абсолютно точно. На самом же деле, чем меньше шаг, тем меньшие добавка Ау = /if (у, t) на каждом шаге и тем больше относительная ошибка округления, неизбежная в связи с ограниченностью разрядной сетки машины. Поэтому на практике методом Эйлера в чистом виде не пользуются, предпочитая более сложные методы, позволяющие, однако, вести интегрирование с большим шагом. [c.456]

Обращаясь к изложению кратких сведений о развитии учения о трении, износе и смазке машин, прежде всего следует отметить, что проблемы трения в механизмах и машинах уже давно привлекали к себе внимание ученых-исследователей. Так, еще в 1750 г. акад. Леонард Эйлер в работе Трение твердых тел выдвинул гипотезу, объясняющую трение зацеплением неровностей соприкасающихся поверхностей. В мемуарах Об уменьшении сопротивления трения , опубликованных в том же году, Эйлер привел соображения о целесообразности применения осей малого диаметра для уменьшения потерь на трение в механизмах. [c.10]

Когда от изгиба сосредоточенными силами переходим к случаю действия распределенных нагрузок, задача становится более сложной. Точное решение, полученное для изгиба равномерно распределенной нагрузкой показывает, что в этом случае выражение для кривизны составляется из двух членов пропорционального изгибающему моменту и постоянного члена, обусловленного отчасти влиянием касательных напряжений, отчасти нормальными напряжениями, действующими по площадкам, параллельным оси балки. Этот постоянный член, представляющий поправку к гипотезе Бернулли — Эйлера, является малой величиной такого порядка, как квадрат отношения высоты балки к ее длине. В случае тонких призматических стержней этой поправкой будем пренебрегать и при определении прогибов под действием сил, лежащих в одной из главных плоскостей стержня, будем исходить из уравнения [c.189]

При определении скорости частицы среды в каждой точке пространства, с точки зрения Эйлера (в переменных Эйлера), следует иметь в виду, что имеет смысл рассматривать только очень малые (в пределе бесконечно малые) смещения Аг(г, t) частиц среды из данного положения. В методе Лагранжа смещения частиц среды (г — го) из данного положения рассматриваются как конечные. Поэтому в переменных Эйлера вектор скорости определяется следующим соотношением [c.17]

Для широкого класса задач механики сплошной среды — задач механики деформируемого твердого тела — характерна малость не только градиентов перемеш,ения, но и модуля и (или U ) по сравнению с характерным размером тела h, т.е. и //г <С 1 (или U /h <С 1). В этом случае различие между пространственными и материальными координатами мало, а лагранжев и эйлеров тензоры малой деформации можно полагать равными, т. е. [c.45]

Важный класс определенной выше системы соответствует установившимся течениям газа. В нем определены понятия до- и сверхзвуковых течений, выражающие эллиптический или гиперболический тип квазилинейных уравнений Эйлера в соответствующих подобластях, отделенных друг от друга поверхностями перехода — звуковыми поверхностями. (На них скорость потока равна по модулю местной скорости звука — скорости распространения бесконечно малых возмущений при соответствующих значениях термодинамических величин.) Для нестационарных течений идеального газа понятие и предмет трансзвуковой газодинамики четко не определены. [c.10]

Будем по-прежнему исходить из системы уравнений Эйлера (В. 1.1) — (В. 1.3). Как и во введении, предположим, что возмущения р, р основного состояния малы и скорость V много меньше скорости звука. Однако нелинейными членами теперь пренебрегать не будем. Исключая из трех уравнений переменные р, р, можно получить [c.19]

При больших числах Рейнольдса R велики также и числа Рейнольдса Rx крупномасштабных движений. Но большие числа Рейнольдса эквивалентны малым вязкостям. Мы приходим, следовательно, к результату, что для крупномасштабного движения, являющегося как раз основным во всяком турбулентном потоке, вязкость жидкости не играет роли и может быть положена равной нулю, так что это движение описывается уравнением Эйлера. В частности, отсюда следует, что в крупномасштабном движении не происходит заметной диссипации энергии. [c.148]

С другой стороны, если деформация или течение тела задается уравнением вида (1.125), то независимыми переменными являются координаты Xi и время t. Такой способ описания деформации и течения называется эйлеровым. Это описание позволяет проследить обратную картину развития деформации от конечного состояния Xi к начальному xj при U-В методе Эйлера материальная частица для деформированного состояния в момент времени t может быть выбрана также в форме прямоугольного параллелепипеда. Рассматривается бесконечно малое за время [c.31]

При изучении течения сплошного тела в переменных Эйлера часто используют тензор бесконечно малых деформаций за время d . В этом случае бесконечно малый вектор перемещения [c.73]

История науки знает различные определения понятия устойчивости. Одним из первых определений в духе первой элементарной концепции было определение, данное Л. Эйлером [5] в 1749 г. в связи с практически важным вопросом того времени — вопросом об устойчивости кораблей ...тела равновесное положение будет устойчиво, ежели оное тело будучи несколько наклонено, опять справится . В дальнейшем это понятие устойчивости для твердых тел было распространено на упругие тела равновесие упругой системы считается устойчивым в смысле Эйлера при заданных внешних силах, если после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы система возвращается к своему исходному состоянию. В противном случае система считается неустойчивой. [c.318]

Для создания предпосылок последующих допущений приближенной теории гироскопа выпо чним приближенное интегрирование полученных уравнений для углов Эйлера в случае быстровращаю-щ е г о G я гироскопа, для которого собственный кинетический момент J oin — величина достаточно большая по сравненпю с наибольшей величиной знаменателя 2PU в (47). Этот случай представляет наибольший практический интерес. Для таких гироскопов разность os 00 — os 0, как это следует из (47), будет величиной малой. При этом будет малой н разность углов 0 —Оо = и, где и — изменение угла нутации гироскопа. В этом случае приближенно можно принять, отбрасывая малые второго и более высоких порядков. [c.490]

Пренебрегая в третьем уравнении Эйлера произведением малых величин получим Шг = Ыо = Onst, Т. 6. В ЭТОМ ИриблИЖеНИИ Шг сохранит свое значение. Первое и второе уравнения дают [c.598]

Мне кажется, что предыдущие замечания могут заставить признать, что между принципом наименьшего действия и законом равновесия нет никакого параллелизма и никакой гармонии, как это думал Эйлер и даже Лагранж. Эйлер в Берлинских мемуарах ) высказал даже мнение, что, рассматривая бесконечно малое движение, возможно вывести закон равновесия из принципа наименьшего действия и что единственное затруднение, которое здесь имеет место, состоит в том, чтобы разобраться во всех бесконечно малых, которые фигурируют в этой задаче. Видимость подобной гармонии исчезает в большой своей части, если привести интеграл к его правильному виду [c.291]

Исследования динамики машин начались еще в XVIII веке. Наблюдения над работой энергетических машин — водяных колес и ветряных мельниц — показали, что исследовать их надо не в состоянии покоя, а в состоянии движения. К такому именно выводу пришел Эйлер в своих мемуарах О машинах вообще и Принципы теории машин , однако, набрасывая здесь основания новой науки о машинах, он скорее дает прогноз науки, чем ее систему еще очень мало фактов имеется в распоряжении механиков, чтобы можно было создавать науку. [c.29]

Особое значение имели работы Д. Бернулли и Эйлера о малых колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах. Бернулли и Эйлеру прпнадленшт также решение нескольких трудных задач о малых колебаниях воздуха в трубах, которыми занимался позже также Лагранж. Труды Бернулли принесли ему очень широкую известность. Он был избран членом академии наук в Петербурге, Париже, Берлине, Лондоне. Паригк-ская академия наук 10 раз присуждала ему премии, назначавшиеся за лучшие работы по вопросам механики, математики и физики. [c.193]

Угловые перемещения твердого тела. При больших углах поворотов угловые перемещения тела задаются изменениями углов Эйлера. При малых углах поворотов возможно введение вектора угла поворота а, поскольку при этом матрицу Л с гочностью До величин второго порядка малости можно представить в виде [c.30]

Движение твердого тела характеризуется шестью обобщенными координатами х,-, определяющими положение центра масс и углы Эйлера. В общем случае эти переменные и их производные связаны в уравнениях движения нелинейными соотношениями, обуслокленными описанными выше типами нелинейности (см. табл. 6.5.1). Предполагая не. шнейные члены малыми, можно представить уравнения движения в ква-зинормальной форме (27 ] [c.371]

Рис. И Принятый критерий требует разложения полной деформации на две составляющие, соответствующие основному и дополнительному процессам. На первом этапе система деформирована, но сохраняет свою симметрию. На втором этапе симметрия возмущена. В зависимости от величины деформации на втором этапе различают устойчивости в малом и в большом . Вообще система, устойчивая в малом , может быть неустойчивой в большом . Так, например, если стержень Эйлера прижимается к жесткой стене с малым давлением q, то для любой силы Р он устойчив в малом , так как q его выравнивает (рис. 11). Однако для достаточно большого q большой прогиб приводит к сламыванию стержня, и поэтому он неустойчив в большом . Для конечных начальных деформаций устойчивость в большом до сих пор не решена. Во многих случаях, если закритическое поведение не является главной целью анализа, достаточно рассматривать устойчивость в малом . Этой устойчивостью и ограничим наши рассуждения.

После Эйлера в течение XVIII в. теория устойчивости развивается в русле динамики в двух направлениях. Одним из них является изучение малых коле- 119 баний механической системы около положения равновесия. Этим вопросом занимались А. Клеро, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж. В Аналитической механике Лагранжа (1788) теория малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы изложена в ее классической форме. Ответ на вопрос, устойчиво ли для данной системы положение равновесия, около которого она начинает колебаться, дает исследование корней алгебраического уравнения, определяющего частоты колебаний, соответствующих отдельным степеням свободы. (При этом, как известно, Лагранж высказал ошибочное утверждение, что при наличии кратных корней уравнения частот должны появляться вековые члены и устойчивости не будет.) [c.119]

Для достаточно малых углов наклона приведенные формулы вполне хорошо согласуются с экспериментом ([10], стр. 346, 350) и, очевидно, дают положительное сверхзвуковое волновое лобовое сопротивление . Любопытно, что они согласуются с очень старой квазиэмпирической формулой Эйлера, в которую входит универсальный постоянный множитель, определяемый, по предположению, экспериментально ). [c.35]

Анализ бесконечно малых величин в приложении к задачам механики впервые применил знаменитый математик и механик XVIII в., член Россййской Академии наук Леонард Эйлер (1707—1783). Он написал 43 тома сочинений н более 780 статей. Большое число его выдающихся трудов относится к задачам механики. Эйлером был создан фундаментальный труд по аналитической динамике точки и твердого тела. С большой ясностью и полнотой Эйлер разработал задачи о движении твердого тела около неподвижной точки. Полученные Эйлером в этих задачах формулы, известные под названием эйлеровых, вошли во все современные курсы теоретической механики. Эйлера следует считать и основателем гидродинамики, так как он впервые вывел основные уравнения движения идеальной жидкости. [c.7]

Вычисленные смещения Д8 точек среды фактически снова возвращают нас к переменным Лагранжа, где начальное положение точек определяется неподвижным пространством переменных Эйлера. Однако смещения Дз в переменных Эйлера будут бесконечно малыми в отличие от вектора смещения 8 в переменных Лагранжа, который может быть конечной величиной. Следовательно, изучение смещений отдельных точек среды можно вести только в переменных Лагранжа. Переменные Эйлера в этом случае фактически неприме- [c.11]

Эти уравнения позволяют получить достаточно ясное представление о движении тела в случае Эйлера. В осях Л , Кг,, первое уравнение представляет собой сферу радиуса К, второе уравнение — эллипсоид, называемый эллипсоидом Мак-Куллага, с полуосями у/2ТА, у/2ТВ и V2T . В процессе движения тела вектор кинетического момента должен принадлежать пересечению этих поверхностей. Само пересечение возможно, если радиус сферы лежит между большой и малой полуосями эллипсоида [c.86]

Предположим, что существует новый интеграл a (p, д, г, 71,72,7з), аналитический в Е С R . Введем в уравнения Эйлера-Пуассона малый параметр заменяя 7 на jti7 . [c.71]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

Псевдорегулярная прецессия тяжелого гироскопа. В случае, когда угловая скорость собственного вращения гироскопа достаточно велика, можно приближенно найти углы Эйлера в функции времени через элементарные функции Из формулы (118) видно, что при больших О) угол 0 мало отличается от 00. Положим [c.469]

Теория колебаний развилась из исследований Галилея о малых колебаниях маятника. Однако опыты Галилея, в сущности, лишь наметили путь для дальнейшей работы в этой области. Возникновение учения о колебаниях упругих тел в механике связано с именами академиков Петербургской Академии наук — Д. Бернулли, Эрмана и Л. Эйлера. В 1716 г. Эрман нашёл решение некоторых сложных задач о колебаниях маятника в 1740 г. Эйлер обобщил принцип Эрл)ана и применил его к исследованию колебаний струн и тонких брусьев. В 1751 г, Эйлер и Бернулли впервые получили дифференциальные уравнения поперечных колебаний. Хотя общая теория колебаний систем с конечным числом степеней свободы была дана в 1762—1765 гг. в работах Лагранжа, но по его же собственному признанию эти работы представляли собой возврат к методу Эрмана и Эйлера . [c.769]

Среди неявных методов интегрирования при / = onst применяют методы Эйлера, трапеций, Шихмана. Их положительными особенностями являются А-устойчивость и сравнительно малый объем памяти, требующийся для хранения результатов интегрирования, полученных на предыдущих шагах. Однако метод Эйлера не обеспечивает необходимой точности при анализе переходных процессов в сла-бодемпфированных системах. Метод трапеций в его первоначальном виде (5.9) имеет недостаток, заключающийся в появлении в численном решении ложной колебательной составляющей уже при сравнительно умеренных значениях шагов, поэтому метод трапеций удобен только при принятии мер, устраняющих ложные колебания. Значительное уменьшение ложных колебаний, но при несколько больших погрешностях, дает формула Шихмана. [c.241]

Однако явление продольного изгиба продолжает существовать и за пределом упругости. Опытным путем установлено, что действительные критические напряжения для стержней средней и малой гибкости (Я < Кред) ниже значений, определенных по формуле Эйлера. Таким образом, в этом случае формула Эйлера дает завышенные значения критической силы, т. е. всегда переоценивает действительную устойчивость стержня. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, не только [c.511]

Вычисление смещений As точек среды снова возвращает нас к переменным Лагранжа, где начальное положение точек определяется для даиного момента пространством переменных Эйлера. Однако смещения As в переменных Эйлера будут бесконечно малыми в отличие от вектора смещения s в переменных Лагранжа, который может быть конечной величиной. [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...