Вектор бесконечно малого поворота

Чтобы указать направление вектора М М[, введем в рассмотрение вектор-радиус г точки М относительно полюса и вектор бесконечно малого поворота 0, определив последний следующим образом 1) величина вектора поворота равна величине угла поворота, 2) вектор 0 перпендикулярен к плоскости перемещения, причем направлен в ту сторону, откуда поворот фигуры виден происходящим в положительном направлении. [c.235]

Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с w, следует рассматривать как совокупность трех последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями (Оф = ф, со0 = 0, = Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать ю суммой трех отдельных векторов угловых скоростей. К сожалению, векторы <0ф, <ое, расположены несимметрично вектор Шф направлен вдоль неподвижной оси 2, вектор (00—вдоль линии узлов, а — вдоль подвижной оси г, связанной с телом. Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В, С, D (см. 4.4). [c.153]

Q угол, характеризующий направление в задаче о рассеянии, й угловая скорость прецессии, dQ вектор бесконечно малого поворота, и угловая скорость, [c.411]

Рассмотрим еще один пример, из которого мы сможем вывести предыдущий результат другим способом. При изучении вращения тела вокруг неподвижного центра мы вводили вектор бесконечно малого поворота 0 (учебник, 63) посмотрим, можно ли обобщить это понятие на случай конечного поворота. Назовем (пока — условно) вектором конечного поворота вектор, идущий по оси конечного поворота (которую мы находим при доказательстве теоремы о конечном перемещении), со стрелки которого произошедший поворот должен наблюдаться [c.448]

ВЕКТОР БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО ПОВОРОТА [c.65]

Вектор бесконечно малого поворота [c.65]

Это равенство связывает введенный выше вектор (о с вектором бесконечно малого поворота 0 и объясняет наименование (о вектором угловой скорости. [c.66]

Вариации квазикоординат 8 3, Ь к равны проекциям на оси, связанные с телом, вектора бесконечно малого поворота их выражения через вариации 8ф, 8 , 8ср обобщенных координат определены соотношениями (9.5). Обратные соотношения получим из (1), заме- [c.68]

Вектор угловой скорости (о связан с вектором бесконечно малого поворота соотношением йЬ — Ь Ь. Поэтому, основываясь на формуле (1), приходим к соотношению, связывающему (о с вектором конечного поворота, [c.118]

Равновесие при наличии кулонова трения. Твердая пластинка сжата по то рцам двумя плитами. Линия действия активной силы Р, приложенной к пластинке, расположена (для устранения перекоса) в средней плоскости пластинки. Рассматривается предельное равновесие пластинки при учете силы трения, развивающегося на торцах ). Виртуальное перемещение пластинки задается вектором Ьг виртуального перемещения полюса О системы осей Охуг и вектором бесконечно малого поворота 6 = 6 /3 вокруг оси Ог, Элементарная работа активной силы Г на этом виртуальном перемещении равна [c.276]

Здесь 6 — вектор бесконечно малого поворота несущего тела, а равенство, определяющее вектор Ьг., вполне аналогично (4). Элементарная работа всех активных сил, приложенных как к несущему, так и к носимым телам на виртуальном перемещении точек системы в соответствии с (5.2.5) и (5.1.4), определится равенством [c.428]

Пусть 60—вектор бесконечно малого поворота, направленный по оси поворота и равный по величине углу поворота. Тогда [c.127]

Вращение вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной системе отсчета оси 00, совершило за время бесконечно малый поворот. Соответствующий угол поворота будем характеризовать вектором d((), модуль которого равен углу поворота, а направление совпадает с осью 00, причем [c.17]

Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконечно малого поворота dф. Другими словами, только бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы . [c.18]

Отсюда сразу видно, что перемещение Дг нельзя представить как векторное произведение векторов Л 9 и г. Это возможно лишь в случае бесконечно малого поворота с1ф, в пределах которого радиус-вектор г можно считать неизменным, [c.18]

Запись в виде векторного произведения особенно удобна для выражения угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела. Мы видели, что повороты на конечный угол не являются векторами, потому что два таких поворота не подчиняются закону сложения векторов. Но угловая скорость, по определению, представляет собой предел отношения бесконечно малого угла поворота к бесконечно малому интервалу времени, за который происходит этот поворот. Порядок, в котором совершаются два бесконечно малых поворота, не влияет на окончательное положение предмета, если исключить слагаемые такого же порядка малости, как квадрат величины бесконечно малых поворотов, а эти слагаемые исчезают при соответствующем переходе к пределу. В одной из последующих глав мы докажем это и рассмотрим элементарную динамику вращающихся тел. [c.62]

В гл. 2 мы видели, что повороты на конечный угол не являются векторами, потому что при сложении двух таких поворотов не сохраняются свойства сложения векторов. Эта трудность не возникает при переходе к пределу для бесконечно малых поворотов, так как порядок, в котором производятся два бесконечно малых поворота, не влияет на конечное положение предмета (за исключением слагаемых одного порядка малости с квадратом величины бесконечно малых поворотов, а эти слагаемые в пределе исчезают). Если повернуть тело на бесконечно малый угол Дф1 вокруг оси е, и на бесконечно малый угол Дф2 вокруг оси то при достаточно малых Дф и Афа последовательность, в которой совершаются эти повороты, не влияет на результат (мы предполагаем, что обе оси проходят через общую точку). Существует один поворот вокруг оси ез на угол Дфз, который в пределе для бесконечно малых Дф равносилен сумме поворотов I и 2. Этот поворот определяется следующим векторным уравнением (рис. 3.34) [c.110]

Если эти бесконечно малые повороты совершаются за бесконечно малое время At, то мы можем дать следующее определение вектору угловой скорости [c.110]

Мгновенная ось была выше определена как ось бесконечно малого поворота тела. Мгновенную ось можно также определить как геометрическое место точек тела, имеющих в данный момент нулевую скорость. Если обозначить вектор-радиус какой-нибудь точки М мгновенной оси через г, то из условия равенства нулю скорости этой точки получим [c.274]

При вращении твердого тела вокруг неподвижной точки вектор 0 бесконечно малого поворота определяется, как следует из 61, следующей формулой [c.203]

Бесконечно малые повороты. Целесообразно попытаться установить соответствие между векторами и конечными поворотами, описываемыми ортогональными матрицами. Вектор, который мы поставим в соответствие некоторому повороту, должен, конечно, иметь определенное направление —направление оси вращения и определенную величину, например равную углу поворота. Мы сейчас увидим, что успешно осуществить такое соответствие оказывается невозможным. Предположим, что А и В будут двумя такими векторами , связанными с преобразованиями А и В. Тогда, поскольку это векторы, они должны обладать свойством коммутативности при сложении, т. е. для них должно выполняться равенство [c.142]

Хотя конечное вращение нельзя представить некоторым вектором, однако это препятствие отпадает, если рассматривать лишь бесконечно малые вращения. Бесконечно малый поворот [c.143]

Когда в начале этого параграфа ставился вопрос о связи вектора с поворотом, считалось очевидным, что направление этого вектора должно совпадать с направлением оси вращения, а его величиной должен быть угол поворота. При этом было установлено, что в случае конечных поворотов такой вектор построить нельзя, но в случае бесконечно малых поворотов эта трудность отпадает, так как, описывая эти повороты с помощью матриц, мы приходим к векторам dQ, определяющим эти повороты. Теперь мы можем показать, что величина вектора dQ и его направление совпадают с теми, которые мы предполагали вначале, когда говорили о векторах конечных вращений. [c.150]

Скорость изменения вектора. Понятие бесконечно малого поворота дает мощный инструмент для описания движения твердого тела. Рассмотрим какой-нибудь вектор G, например радиус-вектор материальной точки или вектор кинетического момента. В процессе движения такой вектор обычно изменяется и изменение его часто зависит от координатной системы, в ког торой производится наблюдение этого вектора. Возьмем, например, систему координат, связанную с твердым телом, и рассмотрим вектор, идущий из начала координат этой системы в некоторую точку тела. Ясно, что в системе координат, связанной с этим телом, такой вектор будет постоянным. Однако наблюдатель, связанный с неподвижной системой координат, будет считать, что составляющие этого вектора изменяются в процессе движения тела. [c.151]

Рассмотрим, например, бесконечно малый поворот вокруг оси г. В этом случае старые и новые составляющие вектора F будут связаны друг с другом соотношениями [c.291]

Для обозначения векторов мы будем пользоваться, где это удобно, прямым жирным шрифтом. Наравне с этим мы будем пользоваться также и обозначениями стрелкой, например, бесконечно малый поворот будем обозначать через в тех случаях, когда он рассматривается как (аксиальный) вектор. [c.13]

Б) Вращение. Пусть е — угол бесконечно малого поворота, а Q — вектор единичной длины вдоль оси вращения. Перемещение точки Р, обусловленное поворотом, можно [c.101]

Аолюс. Если рассматривать только бесконечно малые перемещения тела, соответствующие переходу тела из данного положения в бесконечно близкое, то с точностью до бесконечно малых высших порядков можно представить вращательное перемещение как векторное произведение вектора бесконечно малого поворота 0 = tdd< на вектор-радиус г рассматриваемой точки по отношению к полюсу. [c.284]

Деля обе части равенства (45) на Ш, перейдем от бесконечно малых перемещений р к векторам скорости V, от вектора бесконечно малого поворота 0 — к вектору угловой скорости ш вращения затвердевщего элемента, а от тензора деформации 5 —к тензору скоростей деформаций отличающемуся от 3 точкой, стоящей сверху и обозначающей производную по времени t. При этом справедливо равенство [c.341]

Сопоставляя (10.20). с выражениями для перемещения материальной точки и точки абсолютно твердого тела (такие выражения следуют из формул (4.32) и (8.2)), убеждаемся в том, чТо перемещение любой точки малой частицы с точностью до величин первого порядка малости слагается из перемещения dvo + + [dx,r ]. которое точка совершает в результате движения всей частицы, как абсолютно твердого тела, и перемещения, равного grad/ и связанного сдеформаци ей частицы, т. е. а изменением ее формы и объема. Таким образом, dvo представляет собой поступательное перемещение частицы, d/ — вектор бесконечно малого поворота частицы, как абсолютно твердого тела, а перемещение gradr Т является, как его называют, вектором де формации. Для дранных точек О я А все слагаемые перемещения точки А определяются полем перемещений, при этом вектор поворота определяется посредством тензора а вектор деформации — посредством тензора гм- По этой причине тензор [c.464]

Решение. Как известно из механики, де11ствующий на тело момент сил М определяется по его функции Лагранжа (в данном случае — по энергии Е) соотношением 6Е М60, где 60 — вектор бесконечно малого угла поворота тела, а б — изменение при этом повороте. Вместо того чтобы поворачивать тело на угол 60 (и соответственно менять компоненты т.. ), можно повернуть на угол — 60 жидкость относительно тела и соответственно из меиить скорость и. Имеем при повороте би = — [б0и], так что [c.54]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...