Уравнение в системе координат произвольной

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю [c.179]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

Заключение. Разработан подход к решению стационарных динамических внутренних задач гидроупругого взаимодействия для системы, состоящей из жесткой цилиндрической полости, заполненной сжимаемой жидкостью и содержащей конечное число произвольно расположенных сферических включений. Подход основан на использовании теорем сложения специальных функций и соотношений, позволяющих представлять частные решения уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах с помощью его частных решений в сферических координатах, и наоборот. Это дает возможность, используя принцип суперпозиции, записывать общее решение в системе координат каждого тела и тем самым удовлетворять граничным условиям на его поверхности. [c.500]

Найдем теперь уравнения осевого профиля поверхности Sj, т.е. вьфажения для координат Х2 И Г2 произвольной ТОЧКИ ЭТОГО профиля, а также для профильного угла aj (см. рис. 2.2) через координаты Xj, rj, профильный угол aj произвольной точки осевого профиля поверхности 5, и параметры взаимной установки этих поверхностей. Для этого, прежде всего, выведем формулы, связывающие координаты произвольной точки в системах координат OiX y Zi и 02 2> 2 2 (формулы преобразования координат). [c.81]

Такой вид система уравнений и граничные условия принимают в произвольной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью тела. Расчет сверхзвукового идеального обтекания гладких тел обычно производится в ортогональной криволинейной системе координат, например, сферической. Однако если центр системы координат сместить относительно оси симметрии тела, как это иногда делают при численных расчетах сверхзвукового идеального обтекания пространственных тел, то пересечение ортогональной системы координат с поверхностью тела приводит к неортогональным сеткам. Поэтому естественно рассматривать общий случай криволинейной системы координат, связанной с поверхностью тела. Вид уравнений (5.8) упрощается в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения. В этом случае сое = 0, а следовательно, и ф = 0. Отсюда Ni =Ni, М, =Мг, Р = Р ( = [c.255]

Числовые значения материальных констант, определенных в предыдущем разделе, обычно относятся к главной прямоугольной системе координат, в то время как на практике пьезоэлектрические бруски по разным причинам занимают в прямоугольной системе координат произвольное положение Для выражения значений материальных констант в системе координат, повернутых относительно главной прямоугольной системы, используются уравнения преобразования. Главную прямоугольную систему координат обозначим (и соответствующие ей координаты — дс ) повер- [c.26]

Для реализации второго варианта при произвольной ориентации элементов трещины (траектория трещины криволинейна) необходимо осуществить ряд преобразований. Запишем в местной системе координат (х, у ) уравнение связи [c.244]

Вторая важная задача проектирования летательного аппарата — изучение его аэродинамических свойств. Решение этой задачи связано с исследованием процессов обтекания газом поверхностей произвольной формы. Наиболее общими уравнениями, описывающими этот процесс, являются уравнения Навье — Стокса, которые в декартовой системе координат имеют вид [c.8]

Циклические импульсы в данном случае не требуется определять— они просто равны произвольным постоянным С/. При интегрировании вносится т дополнительных произвольных постоянных N/. Общее число произвольных постоянных в конечном результате будет равно 2п, т. е. в точности равно порядку общей системы уравнений Гамильтона, составленной для всех гамильтоновых переменных. Таким образом, при наличии гп циклических координат порядок системы, которую приходится интегрировать, уменьшается на 2т, поскольку уравнения (36) для нециклических координат отщепляются , и после того, как эти уравнения проинтегрированы, циклические координаты находятся с помощью т независимых квадратур (39). [c.271]

Ограничения (условия), которые не позволяют точкам материальной системы занимать произвольное положение в пространстве и иметь произвольные скорости, называются связями. Связь налагает ограничения на изменение координат и скоростей точек. Аналитически эти ограничения записываются в виде уравнений или неравенств [c.8]

Уравнения (70) представляют семейство координатных плоскостей. Каждые два уравнения из этих трех в совокупности определяют семейство координатных линий (прямых). Итак, в декартовой системе координат точка определяется пересечением или трех координатных плоскостей, или соответствующих координатных линий. Рассуждая аналогично, найдем, что в случае системы координат (qi, q , q точка определяется пересечением или трех координатных поверхностей, или соответствующих им координатных линий, определяемых попарным пересечением координатных поверхностей. Так как координатные линии вообще будут кривыми, то нее системы координат, имеющие произвольные координатные поверхности, называются криволинейными системами координат. [c.83]

Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциаль- [c.212]

Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение одного дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для случая системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка имеется шесть произвольных постоянных Су, С , Сз, Су, С,,, С . [c.232]

Следовательно, радиус-вектор г -- функция t. При изменении t на некотором интервале конец М радиуса-вектора опишет отрезок кривой, которая называется годографом векторной функции а(1) (рис. 13) ). Чтобы найти скалярные уравнения годографа, введем произвольную прямоугольную декартову систему координат с началом в точке О. Проектируя радиус-вектор г на оси этой системы координат и заметив, что его проекции совпадают с координатами точки М (лу, Хп, л з), найдем [c.60]

Из уравнений (11.22) можно найти дифференциальные уравнения движения системы в произвольной криволинейной системе координат. [c.127]

Уравнения (IV. 114) и (IV. 115) позволяют составить уравнения Ляме в произвольной криволинейной системе координат. [c.514]

В каждой главе приведены принятые рабочие гипотезы, упрощающие расчетные уравнения для рассматриваемого геометрического тела, после чего приводятся преимущественно точные методы общего и частного решений этих уравнений. Для получения общего решения широко используются специальные функции. Частный интеграл системы неоднородных дифференциальных уравнений находится при помощи метода вариации произвольных постоянных (из общего решения системы однородных уравнений) или его интерпретации, методом начальных условий. При решении задачи методами комплексной переменной частный интеграл находится из уравнений более низкого порядка [см. уравнение (7.80)]. Расчетные системы уравнений Приведены для правой системы координат. [c.6]

Полученные выражения производных единичных векторов е, (П.80) и произвольного вектора а (П. 132) через локальные производные используются при записи уравнений в связанной системе координат. [c.308]

Уравнение, связывающее векторы м и х. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор а (s, t), постоянный по модулю и неизменного направления в связанной системе координат. Его абсолютные производные по i и s равны (так как du/ds — du/dt—Q) [c.14]

Векторные уравнения в связанных осях. Уравнения малых колебаний стержня в связанных осях при произвольной нагрузке были получены в 3.1 [уравнения (3.11) — (3.15)]. В связанной системе координат аэродинамические силы при безотрывном обтекании стержня произвольного сечения равны [c.252]

Уравнения равновесия нити в проекциях на оси декартовой системы координат. Аналогичным образом из векторного уравнения (25.2) можно получить другие три скалярных уравнения, проектируя входящие в пего векторы т и и/р па три произвольно выбранные оси декартовой прямоугольной системы координат. Нетрудно показать, что эти проекции для точки нити с координатами х, у, z выразятся соответственно через величины [c.435]

При составлении уравнений механики деформируемого твердого тела выбирается соответствующая система координат. В зависимости от формы тела используются декартовы, полярные, цилиндрические координаты и др. Эти уравнения можно записать также и для общего случая произвольных криволинейных координат. В данной главе используем наиболее часто применяемую в задачах декартову систему. В последующих главах для характерных задач покажем также особенности использования полярной системы. Применение других систем координат можно найти в более полных курсах теории упругости. [c.25]

Определитель этой матрицы представляет собой левую часть уравнения (2.33), записанную в произвольной криволинейной системе координат х . [c.45]

Наиболее общее тензорное изложение теории напряжений и деформаций для произвольной системы координат представляет особую ценность для конечных деформаций. Выведенные общие уравнения и формулы позволяют нам в дальнейшем составлять их в необходимых координатных системах. [c.59]

Важную роль при этом играет выбор рациональной системы координат одну и ту же задачу, не разрешимую в произвольно выбранной системе, можно решить, если выбрать подходящую специальную систему координат. Граничные условия при математической формулировке задачи назначаются в соответствии с данными предварительного качественного изучения явления или логического анализа. Математический аппарат, применяемый в гидромеханике, весьма разнообразен, но наиболее широко используемыми разделами математики являются обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, функции комплексного переменного, интегральные уравнения, численные методы. [c.23]

В п. 2.4 выведено уравнение неразрывности для произвольной ортогональной системы координат. Далее установим выражения для основных операторов в такой же системе. [c.269]

При построении эпюр внутренних силовых факторов будем составлять соответствующие уравнения в полярной системе координат, определяя положение произвольного поперечного сечения углом ср (рис. 9-26). В поперечном сечении возникают три внутренних силовых фактора поперечная сила Q , изгибающий момент и крутящий момент М . При расчете на прочность будем учитывать только влияние и М . Их значения для произвольного сечения определяются из выражений [c.233]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

Координаты xl, i/l, zl произвольной точки в системе координат XlYlZl связаны с координатами Xi, yt, Zt той же точки в системе координат XiYiZi посредством уравнения [c.96]

В системе координат хОу отложим на оси Ох (рис. 44) влево от начала координат отрезок 00 = L. На оси Оу, на произвольно назначенном расстоянии Оп от точки О, засечем точку 2> после чего проведем луч ОхПа и отложим на нем по обе стороны от точки отрезки n tii = n N = Оп2- Найдем уравнение кривой, являющейся 84 [c.84]

Система сил, приложенных к балке, — произвольная плоская. Для такой системы можно составить три уравнения равновесия. Неизвестных в задаче также три. Задача статически определенная, можно приступать к составлению уравнений. Зададимся системой координат. Ось д направим вдоль балки из точки А вправо, ось у - из точки А вертикально вверх. За центр моментов принимаем точку А, в. которой пересекаются линии действия двух неизвестных реакций. Составляем уравиетя равновесия [c.60]

Пусть X] = Х] (и), Г1 = Г1 (и) - параметрические уравнения осевого профиля поверхности Si в системе координат, совпадающей с 0 Xiyi, где и - произвольный параметр, однозначно определяющий положение точки на профиле, - таким параметром, например, может быть сама координата х , т.е. профиль может быть задан одним уравнением вида Г) = г, (л ,). Тогда уравнение поверхности в системе координат О х у- г в векторной форме имеет вид [c.76]

Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по отношению к системе отсчета ОххУ г (рис. 180). Установим вид уравнений, определяющих закон рассматриваемого движения. Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси Ax iy[z i, которые при движении тела будут перемещаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в системе отсчета Ох Угг будет известно, если будем знать положение полюса Л, т. е. его координаты Xia Ууа, ia, и положение тела по отношению к осям Ax[y iZ[, определяемое, как и в случае, рассмотренном в 60, углами Эйлера ф, i 3, 0 (см. рис. 172 на рис. 180 углы Эйлера не показаны,чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета ОххУ г в любой момент времени, имеют вид [c.153]

Для того чтобы в удобной форме получить эти уравнения, представим себе, что мы выбрали некоторую произвольную систему координат, т. е. выбрали три независимых числа таких, что они однозначно определяют положение точки в пространстве. В этих координатах положения N точек определяются 3N числами — значениями координат всех точек. Сохраняя обозначения Xi, iji, Zi для декартоБЫх координат, введем обозначения q ,...,qn, где n = 3N, для новых координат (цилиндрических, сферических или каких-либо иных) и будем условно называть декартовы координаты старыми , а координаты q ,. .., (/ — новыми . Тогда в силу того, что новые координаты полностью определяют положение всех точек системы, декартовы координаты точек являются функциями новых координат и, быть может, времени [c.124]

Уравнения (22) называются уравнениями Лaгpaнжa ). Число таких уравнений совпадает с числом новых координат. В рассматриваемом здесь случае (системы без механических связей подробнее см. далее) оно в точности равно ЗЛ/, т. е. числу уравнений Ньютона, которые можно выписать для этой же материальной системы, если бы рассматривалась декартова система координат. Но в отличие от уравнений Ньютона уравнения Лагранжа (22) уже не связаны с декартовой системой координат х, у, г и выписаны Б произвольных независимых новых координатах , q . [c.129]

Выведем динамические днфференгщальные уравнения движения точки относительно подвижной системы координат. Для этого рассмотрим. твиженне материальной точки В массой т по траектории в подвижной системе координат О х у г движущейся произвольно относительно неподвижной системы Ox ijiZ . [c.231]

Итак, имея уравнение движения (11.105), можно вычислить проекции вектора мгновенной угловой скорости на оси произвольной системы координат. Затем, применяя формулы (11.107), можно найти компоненты линейной скорости произвольной точки тела. Уравнения (11.109b) позволяют найти мгновенную ось вращения. Следовательно, вопрос о распределении линейных скоростей в теле с неподвижной точкой исчерпан. [c.117]

Эти уравнения совпадают с соотношениями (IV. 157), определяющими изменения ко.чиоиент произвольного вектора в криволинейной системе координат при его параллельном переносе. [c.429]

Случай кратных корней уравнения частот при исследовании движения системы с двумя степеЕшми свободы отличается тем, что при приведении выражения кинетической энергии к каноническому виду (е) оказывается, что и выражение потенциальной энергии П приобретает каноническую форму и переход от системы координат Xi к 0,- становится лишним. При этом существует бесконечное множество систем нормальных координат. Геометрически это можно объяснить так если Jn Ф Х2, то, приравнивая П константе, мы получим в плоскости Ох[Х2 эллипс (рис. 35). Его оси симметрии будут совпадать к осями системы координат 00102- Если A,i = Х2, эллипс превращается в окружность. Тогда осями 0i и 02 могут быть два произвольных взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. [c.247]

И. Ограничения, налагаемые связями на положения, скорости, ускорения и перемещения точек системы. Точкн несвободной системы не могут двигаться в пространстве совершенно произвольно. Их совместимые со связями (допускаемые связями) координаты,, скорости, ускорения п перемещения должны удов [етворять некоторым соотношениям, вытекающим из уравнений связен (1), (2). [c.26]

НИИ точных или приближенных решений этих уравнений. Тот или иной метод может быть построен на одной из указанных моделей среды. Кроме того, на основе предварительного изучения стрюится расчетная модель или расчетная схема данного явления, в которой по возможности полно учитываются его существенные черты и игнорируются остальные. Общие уравнения движения упрощаются на основе учета характерных особенностей данного явления или задачи, и выбирается подходящий математический метод решения полученных таким путем уравнений. Важную роль при этом играет выбор рациональной системы координат одна и та же задача, неразрешимая в произвольно выбранной системе, может быть решена, если выбрана подходящая специальная система координат. Граничные условия при математической формулировке задачи назначаются в соответствии с данными предварительного качественного изучения явления или логического анализа. Математический аппарат, применяемый в гидромеханике, весьма разнообразен, но в качестве разделов математики, наиболее широко используемых, можно назвать обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, функции комплексного переменного, интегральные уравнения, численные методы. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...