Уравнение эллипсоида

Математически оно эквивалентно уравнению эллипсоида [c.105]

Пространственный фронт кристаллизации широкого класса сварочных ванн, встречающихся в практике, можно описать уравнением эллипсоида с полуосями I, р л h [c.447]

Если за оси координат принять главные оси инерции (рис. 87, а), то в уравнении эллипсоида инерции исчезают члены, содержащие произведение координат, и оно принимает вид [c.102]

Таким образом, геометрическим местом концов указанных отрезков, т. е. геометрическим местом точек N, является поверхность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для любого конечного тела момент инерции У —величина, отличная от нуля и ограниченная. Среди поверхностей второго порядка ограничены лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид i). Построенный так эллипсоид называется эллипсоидом инерции для точки О. Уравнение (29) является уравнением эллипсоида инерции для этой точки. Непосредственно видно, что задание тензора инерции однозначно задает эллипсоид инерции. [c.178]

Как известно из аналитической геометрии, для любого эллипсоида существуют главные оси. В главных осях х, у, г уравнение эллипсоида имеет вид [c.178]

Подставляя выражения (31) в (30), получаем уравнение эллипсоида инерции в главных осях [c.179]

Сравнивая теперь уравнение эллипсоида инерции, записанное в главных осях в форме (32), и уравнение эллипсоида инерции (29), записанное в произвольно выбранных осях, заключаем, что в системе координат, оси которой направлены по главным осям эллипсоида инерции, центробежные моменты инерции равны нулю [c.179]

Уравнение эллипсоида инерции в данной точке твердого тела имеет вид [c.244]

Если координатные оси х, у и Z направить по осям эллипсоида инерции, то уравнение эллипсоида принимает каноническую форму [c.244]

Для определения уравнения эллипсоида инерции в дайной точке твердого тела следует [c.246]

Задача 315. Написать уравнение эллипсоида инерции, построенного в центре тяжести однородного круглого цилиндра массы т [c.250]

Теперь уравнение эллипсоида инерции для центра тяжести цилиндра [c.250]

Решение. Запишем уравнение эллипсоида инерции однородного круглого конуса для его вершины О. Для этого в уравнение эллипсоида инерции [c.251]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Доказательство. Уравнение эллипсоида инерции представим в виде X Лх = 1. Зададим плоскость П уравнением у Лх = 1, где X — постоянный вектор, а конец вектора у выделяет точку плоскости. Допустим, что плоскость П сечет эллипсоид. Тогда существует вектор у, конец которого одновременно принадлежит плоскости П и эллипсоиду, причем у ф х. Для такого вектора у должны быть выполнены равенства [c.48]

Это уравнение называется характеристическим уравнением эллипсоида инерции. Левой частью этого уравнения служит характеристический многочлен третьей степени. [c.49]

Решение. Уравнение эллипсоида задано в каноническом виде. Следовательно, оси координат служат осями симметрии эллипсоида. Центр масс совпадает с началом координат. Поэтому оси координат будут главными центральными осями инерции. Сделаем замену [c.71]

Пусть /(г) =0 — уравнение эллипсоида инерции твердого тела относительно точки О (см. 1.8) [c.464]

Из этого уравнения и уравнения эллипсоида инерции следует уравнение подвижного аксоида [c.468]

Это уравнение эллипсоида, так как при малых смещениях точки, располагающиеся на сфере, не могут уходить в бесконечность. Этот эллипсоид называется эллипсоидом деформации. Главные оси этого эллипсоида называют главными осями деформации. Если вдоль них -выбраны оси координат, то уравнение эллипсоида деформации записывают (в канонической форме [c.226]

Если за оси координат принять главные оси эллипсоида, то, как известно из аналитической геометрии, уравнение эллипсоида не будет содержать членов с произведением координат. [c.250]

Отсюда, если за оси координат принять главные оси инерции тела в точке, то коэффициенты при произведениях координат в уравнении эллипсоида инерции тела в этой точке (16) будут равны нулю [c.250]

Уравнение эллипсоида инерции для тела в данной точке в этом случае имеет вид [c.250]

Пусть одна из координатных осей, например ось Ог, является главной осью инерции тела в точке О. Тогда эта ось по определению является осью симметрия эллипсоида инерции. Если точка N (х, у, г) лежит на эллипсоиде инерции, то точка Ы (—х, —у, г) также лежит на эллипсоиде инерции. Подставив координаты этих точек в уравнение эллипсоида инерции (16), получим [c.250]

Геометрическое место концов отрезков ОК расположится на поверхности, которая называется эллипсоидом инерции. Получим уравнение эллипсоида инерции. Для этого выразим косинусы углов а, р, у через координаты X, у, г точки К- Имеем [c.272]

Это действительно уравнение эллипсоида, так как отрезок 0/( имеет конечную длину для всех осей, для которых моменты инерции не обращаются в нуль. Другие поверхности второго порядка, например гиперболоиды и параболоиды, имеют бесконечно удаленные точки. Эллипсоид инерции вырождается в цилиндр для тела в виде прямолинейного отрезка, если точка О расположена на самом отрезке. Для оси, направленной по этой прямой линии, момент инерции обращается в нуль и соответственно отрезок ОК равен бесконечности. [c.272]

Если уравнение эллипсоида инерции отнести к его главным осям Ох, Оу, Oz, то оно примет вид [c.272]

Главная ось инерции Ог является осью симметрии эллипсоида инерции. Поэтому каждой точке эллипсоида, например Л4 (0, у, г), соответствует симметричная относительно этой оси точка Л4 (0, — у, г). Подставляя в уравнение эллипсоида инерции (27) последовательно координаты этих точек, получим [c.273]

Это и есть уравнение эллипсоида напряжений. Получаем действительно эллипсоид, если ни по одному из направлений, проходящему через точку О, рпп не обращается в нуль. В этом случае расстояние от точки О до точек эллипсоида не равно бесконечности. В правой части (24) следует взять знак плюс в случае растяжения (р > 0) и минус — при сжатии < 0). [c.552]

Эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные главные оси. Компоненты касательных напряжений для площадок, перпендикулярных главным осям, равны нулю. Для главных осей Ог/ц Ог уравнение эллипсоида напряжений принимает вид [c.552]

Уравнение (2.38) есть уравнение эллипсоида. Так как величины [c.50]

Это есть уравнение некоего эллипсоида, которьш называют эллипсоидом Френеля. Используя равенство п = можно записать уравнение эллипсоида в виде [c.124]

Найденное соотношение является интегралом энергии. Пуансо показал, что, пользуясь интегралами (111.21) и (111.22), можно дать общую геометрическую интерпретацию движения твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции. Чтобы получить результат Пуансо наиболее простым способом, рассмотрим уравнение эллипсоида инерции [c.416]

Здесь Ех, Еу, Ёг — главные значения диэлектрической проницаемости, и уравнение эллипсоида отнесено к главным осям. [c.502]

Пример. Вывести уравнение эллипсоида вращения, офазованного вращением эллипса х 1сг + = I вокруг [c.61]

У,,,, J,. главные моменты инерции. Уравнение эллипсоида инерции (27 ) не содержи сла1аемых с произведениями коорди-паг ючек. Поэтому центробежные моменты инерции относительно главных осей инерции равны нулю, г. е. [c.226]

Радиус-вектор г — Г1е 1 -Ь Г2в2 -Ь гзе , точки на полодии должен удовлетворять как уравнению эллипсоида инерции [c.468]

Пусть известны компоненты тензора инерции в точке О относительно осей координат Oxyz. Для определения направления главных осей инерции в точке О используем уравнение эллипсоида инерции относительно этих осей [c.276]

Из аналитической геометрии известно, что, выбирая оси симметрии эллипсоида инерции за оси новой координатной системы, мы приведем уравнение эллипсоида инерции к канонической форме, . равнение эллипсоида инерции, отнесенное к осям координат OxiUiZi (рис. 13), совпадающим с его осями симметрии, не имеет членов с произведениями координат и будет иметь такой вид [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...