Метод асимптотического интегрирования уравнений

По итогам данного обзора можно констатировать, что к настоящему времени разработаны и описаны в литературе многие варианты неклассических двумерных уравнений слоистых анизотропных оболочек и пластин. Для вывода таких уравнений используются различные методы — метод асимптотического интегрирования уравнений пространственной задачи теории упругости, метод разложения в ряды по функциям поперечной координаты, метод гипотез для каждого слоя или для пакета слоев в целом в сочетании с вариационным принципом Лагранжа или Рейсснера и т.д. С точки зрения практических приложений наиболее перспективным из них представляется метод гипотез для пакета слоев, приводящий к математическим моделям, сочетающим в себе возможность адекватного описания процессов деформирования тонкостенных анизотропных слоистых систем с относительной простотой разрешающих дифференциальных уравнений. [c.11]

Общие уравнения двумерной теории оболочек выводятся в части I при помощи гипотез, которые пока, как и в первом издании, принимаются на веру. Однако теперь в книгу введен новый раздел (часть VI), в котором проблема сведения трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам теории оболочек решается методом асимптотического интегрирования. Здесь дается обоснование гипотез теории оболочек, обсуждается область их применимости, оцениваются связанные с ними погрешности и намечаются пути уточнения. [c.9]

Широко применяется для решения контактных задач теории оболочек и пластин метод сопряжения, причем область Q разбивается на область Q— со и зону контакта оз. Ищутся решения системы (1.1) для каждой из областей в отдельности, а затем сопрягаются на границе зоны контакта. Необходимо априорное знание границ области со [52, 137, 184] или построение итеративного процесса их уточнения. Метод асимптотического интегрирования (вне зоны контакта) уравнений сферической оболочки в зад.чче о контакте ее со сферическим вогнутым штампом развит в [162]. [c.12]

Одним из приближенных методов решения этой задачи является метод асимптотического интегрирования ). Исходя из уравнения (320) н вводя вместо перерезывающей силы величину [c.602]

Основным методом получения общего решения однородного уравнения симметрично нагруженных анизотропных оболочек вращения, соответствующего уравнению (89), будем считать метод асимптотического интегрирования, который в состоянии обеспечить необходимую точность, отвечающую точности разрешающего уравнения (89). [c.176]

Дифференциальное уравнение (10.149) может быть проинтегрировано различными методами. Если параметр 2А велик [2 > 5, см. формулу (10.137)1, то достаточную точность обеспечивает метод асимптотического интегрирования. При выполнении расчетов по этому методу следует пользоваться таблицами специальных функций [291. При малых значениях параметра 2k решение может быть получено в рядах. [c.451]

В силу сказанного выше можно утверждать что коэффициентом последнего члена уравнения (4.11) является большой параметр, поэтому для определения быстро изменяющихся решений может быть использован метод асимптотического интегрирования. Очевидно, в частном случае, когда отношение Ь/а таково, что параметр А нельзя считать большим, метод асимптотического интегрирования, вообще говоря, не может быть использован для нахождения решений уравнения (4.11). [c.250]

Полагая 8 1, что имеет место для многих прикладных задач, применим к уравнению (5.20) метод асимптотического интегрирования. [c.421]

Е1 (0) — модуль упругости главного направления 1—1 в начальный момент Сомножитель второго члена уравнения (5.56) является большим параметром. Учитывая сказанное, уравнение (5.56) будем решать методом асимптотического интегрирования решение уравнения (5.56) будем искать в виде [c.427]

При расчете оболочек средней толщины к уравнениям теории упругости можно применить аппарат асимптотического интегрирования. В этом случае развивается и обобщается известная идея малого параметра в теории оболочек и связанная с ним приближенная теория разложения напряженного состояния оболочки на простейшие состояния, как это излагается в работе [136]. Последний метод является естественным продолжением приемов, применяемых в классической теории тонких оболочек, однако применение его существенно ограничено малым параметром и не может быть распространено на толстые оболочки. [c.311]

Заканчивая изложение общих методов интегрирования уравнений без моментной теории, упомянем работу [109]. В ней показано, что эти уравне ния можно решить при помощи квадратур для случая, когда одно из семейств асимптотических линий срединной поверхности совпадает с семейством геодезических линий. [c.195]

Предлагаемый вариант теории асимптотического интегрирования основан на использовании экспоненциального представления решения (см. формулу П.2.2). Этот прием хорошо известен в теории асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, где его называют методом ВКБ. Для уравнений с частными производными, встречающихся в теории оболочек, метод экспоненциального представления применялся в [48, 51. 52, [c.469]

Будем строить асимптотические методы интегрирования уравнения (П. 1.1), т. е. методы, Б которых используется малость параметра Т). Один из них очевиден он может быть получен так. [c.470]

Полученный выше результат сводится к тому, что для интегралов с большой изменяемостью функция изменяемости определяется уравнением (П.2.6), а функция интенсивности — уравнением (П.2.7). Так как в (П.2.7) входит малый параметр е, то интегралы с большой изменяемостью можно строить асимптотическим методом, который в данном случае сводится к интегрированию уравнения (П.2.7) с помощью простого итерационного процесса, описанного в 1. [c.472]

Как уже отмечалось при изложении теории пограничного слоя в потоке несжимаемой жидкости, путь непосредственного интегрирования уравнений Навье — Стокса при тех значениях числа Рейнольдса, которые характерны для теории пограничного слоя первого приближения (уравнения Прандтля), в рассматриваемых случаях оказывается недоступным, причем не только для аналитического, но и для численного, машинного решения. На помощь приходят асимптотические методы (методы малых возмущений). Мы уже познакомились с частным случаем применения такого рода методов, когда рассматривали основной для теории пограничного слоя прием сшивания решений уравнений Прандтля с внешним невязким потоком ( 86). [c.700]

Асимптотическое интегрирование линейных уравнений второго порядка. Асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка был рассмотрен в разделе 1.16. Приведем несколько иной подход к асимптотическому интегрированию названных уравнений. Пусть имеется уравнение [c.202]

А. Амбарцумяна [7], И.И. Воровича и М.А. Шленева [86], А.К. Галиньша [92], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [105], Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [110], А.А. Дудченко и др. [135], Г.А.Тетерса [298]. Авторы обзора [135] выделяют две группы методов получения двумерных уравнений теории пластин и оболочек — методы аналитические и гипотез. В свою очередь, группу аналитических методов можно разделить на несколько подгрупп. К первой относятся методы асимптотического интегрирования уравнений трехмерной задачи теории упругости, опирающиеся на предположение о наличии малого параметра (относительная толщина, отношения жесткостей). К другой — методы, идея которых заключается в задании характеристик напряженно-деформированного состояния рядами по некоторой системе функций поперечной координаты с последующим выводом уравнений на коэффициенты разложений из трехмерных уравнений теории упругости. Наконец, к аналитическим относят [135] также и те методы, в которых организуется сходящийся итерационный процесс уточнения решения. [c.6]

Э. Мейсснер Обобщение этого приема на любые задачи линейной теории оболочек дал В. В. Новожилов Общность метода при этом, правда, не-256 сколько снижается ввиду того, что не все граничные условия формулируются в комплексной форме. Асимптотический метод интегрирования уравнений осесимметричной ободочки при осесимметричном нагружении впервые использовал И. Я. Штаерман, затем Г. Геккелер. Общий метод асимптотического интегрирования уравнений теории оболочек дал А. Л. Гольденвейзер Однако даже с учетом всех указанных модификаций задача расчета оболочек была бы весьма сложной, если бы одновременно не велась разработка приближенной теории оболочек. X. М. Муштари и Л. Доннелл предложили в формулах для изменения кривизны пренебречь касательными составляющими перемещения, Таким образом С. М. Фейнбергу и позднее В. 3. Власову удалось получить дальнейшие упрощения, сведя задачу к системе двух уравнений четвертого порядка относительно нормального перемещения W и обобщенной функции прогибов Ф, через которую выражаются мембранные усилия [c.256]

В теории оболочек метод асимптотического интегрирования применяется уже давно. На его основе удалось разработать эффективные методы расчета осесимметричной деформации оболочек вращения [221, 249]. Далее он был перенесен на ограниченные одним или двумя параллельными кругами оболочки вращения, испытывающие деформацию общего вида [84, 251]. Первая попытка применить его к оболочкам произвольной формы была сделана С. М. Фейнбергом. Детальная разработка соответствующей теории была дана А. Л. Гольденвейзером [38, 40, 41 ], который рассматривает метод асимптотического интегрирования как универсальный прием, позволяющий, с одной стороны, строить приближенные решения задач теории оболочек, а с другой — классифицировать данные задачи с качественной стороны, обнаруживая при этом возможности упрощения общих уравнений теории оболочек, допустимые в тех или иных конкретных случаях. [c.81]

Глава посвящена рассмотрению двух наиболее интересных случаев деформирования оболочки вращения — осесимметричному ( = 0) и обратносимметричному k — 1) изгибам. Решение однородной системы разрешающих уравнений определяется методом асимптотического интегрирования и является точным в рамках кирхгофовской теории оболочек. Однако для практических целей достаточной обычно является точность первого (так называемого геккелеровского) приближения, соответствующая пренебрежению слагаемыми порядка Y hlRo по сравнению с единицей. Частное решение также вычисляется приближенно на основе предложения о его плавности и совпадает с безмомент-ным решением. Главу заключают параграфы, посвященные отдельно цилиндрическим, коническим и сферическим оболочкам. Рассмотрен ряд задач, которые могут представлять самостоятельный интерес (например, аналог теоремы о трех моментах в теории оболочек). [c.184]

В книге рассмотрены лишь задачи устойчивости, которые могут быть решены исходя из линеаризованных уравнений. В дополнение к цитированным в основном тексте отметим недавно опубликованные работы 24, 38, 161, 163, 165, 174, 178], в которых исследование устойчивости сводится к существенно нелинейным краевым задачам. В том числе в работах [165, 174, 178] методами асимптотического интегрирования исследуются закритические деформации оболоче1< вращения, близкие к зеркальному отражению срединной поверхности от плоскости, перпендикулярной оси вращения (см. также работы А.В.Погорелова [97, 98]). [c.309]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Отметим прежде всего работы Б. Г, Галеркина (1932, 1935) по применению к анализу толстых плит общих решений уравнений теории упругости, выраженных через бигармонические функции, а также монографии Б. Г. Галеркина (1934) и Ю, А. Шиманского (1934), посвященные расчету пластинок разного очертания по классической теории изгиба. Метод асимптотического интегрирования для расчета оболочек вращения впервые был применен И. Я, Штаерманом (1924) он же указал на аналогию между статическими расчетами оболочки вращения и кривого (плоского) стержня на упругом основании. Решение ряда интересных задач безмоментной теории куполов дано в монографии В. Э. Новодворского (1932), с именем которого связано одно из условий применимости безмоментной теории тангенциальные краевые условия не должны допускать изгибания срединной поверхности (В. Э. Новодворский, 1933), [c.228]

Для линейных задач наиболее совершенный аппарат исследования элементарных напряженных состояний был предложен А. Л. Гольденвейзером (1953) ему же принадлежит дальнейшая разработка (1959) этого аппарата, представляющего собой обобщение известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений метода асимптотического интегрирования ) на уравнения в частных производных, содержащие малый параметр (относительная толщина оболочки), [c.238]

Применение методов асимптотического интегрирования для решения проблемы приведения находится в целом в начальной стадии развития. Ярким примером этого утверждения является постановка А. Л. Гольденвейзером задачи о напряженных состояниях замкнутой оболочки типа полной сферы (всюду положительной кривизны ). Такую задачу считают наиболее благоприятной в отношении классической теории оболочек. Результаты анализа решения этой задачи весьма интригуюш ие Гольденвейзер показал, что некоторыми изменениями в физических соотношениях можно увеличить точность уравнений классической теории оболочек. Однако эти соотношения не могут быть выведены на базе гипотез Кирхгофа — Лява поэтому можно лишь сказать, что в рассматриваемом случае новое содержание удалось представить в старой форме, что не всегда возможно или целесообразно. [c.264]

Метод асимптотического интегрирования обобш ен также для вывода уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Айнола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точностью. [c.264]

Здесь использованы те же обозначения, что и в уравнении (3.9). Методам приближенного интегрирования уравнений (6.1) посвящено весьма большое число работ. П. Ф. Папкович (1920) предложил метод, согласно которому первое уравнение (6.1) удовлетворяется приближенно — в смысле метода Бубнова, второе уравнение удовлетворяется точно, тангенциальные граничные условия — в среднем. Развитие этой идеи содержится в работах П. А. Соколова (1932), Э. И. Григолюка (1949), М. А. Колтунова (1953), А. С. Вольмира (1956), А. В. Кармишина (1956) и др. Наряду с этим для решения уравнений (6.1) применялись другие методы метод малого параметра (П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936), метод последовательных приближений (С. А. Алексеев, 1956), асимптотический метод (И. И. Ворович, 1955), метод конечных разностей (А. С. Вольмир и А. Ю. Биркган, 1963) и др. [c.340]

Понятовский В.В. Вывод уравнений тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля из уравнений теории упругости методом асимптотического интегрирования // Исслед. по упругости и пластичности, ЛГУ. 1980. Вып. 13. С. 40-48. [c.338]

Существуют два метода вычисления коэффициентов Сп. Первый метод — это интегрирование уравнений (4.12) при заданных начальных условиях. Он будет использован пами при решении задачи об отражении заданного полутеневого поля от гладкого тела. Отраженное поле также будет нолутеневым, и начальные значения Сп для отраженного поля берутся и.э краевых условий на поверхности тела. Второй метод — сопоставление с известной неравномерной асимптотикой строгого решения ок используется при построении краевой волны в задаче днфракции произвольного лучевого поля на ребре. Назовем его .методом асимптотического сшивания . При решении вторым методом поле представляется в виде суммы двух полутеневых полей (отвечающих двум границам свет — тень ГО рещения), краевые волны которых, поскольку они определяются ребром тела, имеют одну и ту же фазу и могут быть поэтому объединены. Рещение ищется в форме [c.95]

Численный эксперимент на основе конечно-разностных методов интегрирования уравнений движения, а также методов сращиваемых асимптотических разложений полей скоростей [61], температур и концентраций [17] около частицы и вдали от нее позволяет обобщитьТприведенные формулы (см. [6]) на случаи конечных чисел Рейнольдса Re и чисел Пекле Pei и Pei [c.263]

Недавно В. Вазов [28] весьма оригинальным путем, отличным от метода В. Толлмина [26], провел асимптотическое интегрирование дифференциального уравнения возмущений. Блестящие результаты Вазова справедливы в отличие от В. Толлмина не только для нейтральных колебаний. [c.14]

Применение интерполяционного метода при решении уравнения (4.18) в каждом цикле интегрирования вдоль рабочего зазора позволяет однократно построить функцию Ф(Р) в виде множества координат Фг при заданном множестве координат Р/ при т — onst в диапазоне 0 р 5/т. Такой выбор диапазона построения определен видом функции Р(Ф) и асимптотическим ее стремлением к прямой р = —Ф в области больших значений р (рис.4.1). [c.137]

В середине 1950-х гг. Г. Г. Черный создал асимптотический метод интегрирования уравнений газовой динамики применительно к гиперзвуковым течениям с сильными ударными волнами. И тогда, и много позже, пока компьютеры и численные методы не достигли должного совершенства, этот метод оказался широко востребован. Во всем мире он вызвал появление обширной литературы, насчитыва-югцей сотни работ. Все основные качественные результаты теории гиперзвукового обтекания тел, подтвержденные затем результатами вычислительной газовой динамики, первоначально были получены методом Г. Г. Черного. Этим методом, с привлечением нестационарной аналогии, Г. Г. Черный исследовал особенности гиперзвукового обтекания тел с малым затуплением. Найденные им параметры подобия в настоягцее время считаются универсальными. Выполненное Г. Г. Черным исследование пространственного обтекания крыльев позволило ему дать полную классификацию возможных режимов гиперзвукового обтекания треугольных крыльев на больших углах атаки. [c.10]

Таким образом, жтод расчленения напряженного состояния формально можно трактовать шире, чем это делается в 9.13, включив в область его применимости и случаи, когда линии искажения проходят вдоль асимптотических линий срединной поверхности (при этом все условия применимости метода расчленения 9.13, кроме первого, останутся в силе). О, -.1Ко интегрирование разрешающих уравнений (11.26.2) и (11.26.5) не так элементарно, как интегрирование уравнения (8.10.9), что снижает эффективность таких видоизменений метода расчленения. [c.155]

Будем теперь для уравнения (П.3.1) искать интегралы с заданными квазистационарнымн линиями, предполагая, что последние проходят вдоль характеристик оператора L, и применим для этого распространенный в теории асимптотического интегрирования метод иаменения масштаба. [c.485]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...