Связь по Ляпунову

В настоящей главе изложены методы исследования на устойчивость неоднородно-стареющих вязко-упругих стержней при различных предположениях о способах закрепления концов стержня и способах его нагружения и установлены условия устойчивости. Устойчивость изучена в нескольких принципиально отличных постановках. Принятое ниже определение устойчивости на бесконечном интервале времени соответствует классическому определению устойчивости движения динамических систем по Ляпунову. Для ряда ситуаций получены выражения критической силы потери устойчивости, сформулированные непосредственно в терминах параметров рассматриваемых задач. Представляет интерес поведение стержня на конечном интервале времени. Приведены постановки задач устойчивости на конечном интервале времени, исходящие из определений устойчивости движения динамических систем по Четаеву [1, 513]. Одна из постановок задачи устойчивости на конечном интервале времени состоит в определении ограничений на начальную погибь, при выполнении которых определяемый ею прогиб не превосходит заданного критического значения. Другая постановка задачи может быть связана с определением функционала, представляющего собой первый момент времени, именуемый критическим, к гда максимальная величина прогиба впервые достигает заданного значения. [c.230]

Для инженерных приложений наиболее подходящим является такое определение устойчивости, которое обеспечивает, наилучшую связь с выборочными свойствами исследуемых процессов, т. е. с поведением конкретных реализаций. Этому требованию отвечает определение устойчивости по Ляпунову с вероятностью единица (устойчивость почти наверное) [12]. [c.135]

Работы А. М. Ляпунова по теории устойчивости нелегки для изучения, так как свои исследования он излагал в достаточно отвлеченной форме, за которой в значительной мере был скрыт физический аспект проблемы. Кроме того, проблеме устойчивости самой по себе присущи принципиальные трудности, В связи с этими обстоятельствами перед учеными, приступившими к изучению научного наследия Ляпунова и творческому развитию его идей и методов, стояли большие трудности и прежде всего в понимании сущности теории устойчивости по Ляпунову. Можно по-разному понимать эту теорию. Некоторые ученые, например, видели в ней лишь один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, далекий от практических приложений другие рассматривали ее как раздел аналитической динамики, задача которого-состоит не только в качественном изучении поведения интегральных кривых уравнений возмущенного движения, но и в] разработке методов получения тех или иных количественных оценок, интересующих практику. [c.12]

Эта концепция позволяет с успехом применять ляпуновскую теорию устойчивости для решения многообразных прикладных задач. Такая возможность была отмечена Четаевым еще в начале тридцатых годов в его лекциях по устойчивости самолета (в этой связи см. Н. Г. Четаев, 1930, а также Е. П. Гроссман, 1935). Для прикладных задач имеет значение не только (и не столько) факт существования числа Я > О по заданному числу Л > О, удовлетворяющих определению 1 устойчивости по Ляпунову, но и оценка этих чисел и проверка пригодности оценок в конкретных условиях задачи. Поэтому основными следует рассматривать те методы решения задач устойчивости, которые дают возможность получения указанных оценок. В этом смысле особенно эффективным оказывается второй метод Ляпунова. [c.13]

Можно показать, что если х—правильная по Ляпунову точка, то для всякого п точка Т х также является правильной по Ляпунову (поэтому вместо правильных по Ляпунову точек часто говорят о правильных по Ляпунову траекториях), а подпространства Ei(T x) в точке Т х связаны с E,i x) соотношениями Ei T x) =а(п, x)Ei x). [c.23]

Связь между почти периодичностью и устойчиво стью по Ляпунову [c.96]

В связи с этим широкое распространение получил способ определения устойчивости движения по первому приближению. Этот способ был известен задолго до появления классического труда А. М. Ляпунова (Общая задача об устойчивости движения, 1892 г.). Однако именно А. М. Ляпунов впервые установил условия, при которых первое приближение позволяет судить об устойчивости движения исходной системы, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.651]

В 84—87 были рассмотрены некоторые положения", связанные с теорией устойчивости равновесия. В этой главе рассматривается значительно более сложный вопрос, а именно проблема об устойчивости движения. При этом будут рассмотрены лишь некоторые, по нашему мнению, наиболее существенные результаты, полученные в этой области аналитической механики. Эти результаты связаны с именем А. М. Ляпунова. Вместе с тем следует отметить, что за последние годы теория устойчивости движения получила огромное развитие. Однако согласно Н. Г. Четаеву следует признать, что изложение содержания даже избранных групп новых исследований и результатов заслуживает написания отдельны. книг в стиле, присущем авторам этих исследований ). [c.322]

Однако в пользу применения нормального распределения имеются очень серьезные основания. Его особое значение связано со следующими обстоятельствами в тех частых случаях, когда суммарная погрешность появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая из которых вносит малую долю в общую погрешность, по какому бы закону ни были распределены погрешности, вызываемые каждой из причин, результат их суммарного действия приведет к гауссовому распределению погрешностей. Эта закономерность является следствием так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, [c.34]

Системы автоматического регулирования обычно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, в связи с чем возникает вопрос в какой мере результат исследования устойчивости линеаризованной системы, т. е. по линеаризованным уравнениям, или, как иначе говорят, по уравнениям первого приближения, будет справедлив для исходной нелинейной системы (при не слишком больших отклонениях) Этот вопрос был полностью решен знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым в 90-х годах прошлого века, когда он сформулировал и доказал две теоремы, которые здесь приведем без доказательства. [c.212]

Величину где е > О — фиксированное число, можно рассматривать как возможное уклонение жидкости [8]. Условие (65) связано с данным Ляпуновым определением устойчивости формы равновесия жидкости как такой формы, для которой после сообщения жидкости достаточно малых возмущений форма л<идкости остается сколь угодно мало отличающейся от формы равновесия, по крайней мере до тех пор, пока на поверхности жидкости не образуются сколь угодно тонкие нитеобразные или листообразные выступы. Аналогичное явление имеет место и для дву. -и трех.мерного упругого континуума [34 . Это непроверяемое условие приходится вводить, ибо в противном случае из интеграла энергии (21) невозможно вывести заключение об устойчивости [8]. [c.301]

Строгая постановка вопроса об устойчивости у Ляпунова, соблюдение требований математической строгости в рассуждениях и выводах делали Общую задачу об устойчивости движений и примыкающие к ней работы ее автора доступными, по тем временам, только узкому кругу специалистов. В небесной механике, с которой прежде всего была связана теория устойчивости, применение этих методов требовало огромных вычислений и, с точки зрения задач вычислительной астрономии того времени, не выглядело перспективным. В технических науках, где задачи на устойчивость становились все более актуальными, также нужно было сделать новые и строгие методы расчетными. [c.126]

Освоение методов Ляпунова, в связи с запросами к теории устойчивости в механике, физике, технике, астрономии, обусловило интенсивное развитие теории. Начало этому положено трудами Н. Г. Четаева и возглавленной им Казанской школы механиков. В монографии Н. Г. Четаева предложены различные видоизменения и дополнения теорем, составляющих у Ляпунова основу метода F-функций. Число авторов и работ по теории устойчивости весьма велико. В последующем изложении мы ограничимся в основном периодом, заканчивающимся в начале 50-х годов, и только вкратце охарактеризуем основные направления развития. [c.126]

В 1892 г. вышла в свет классическая работа А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движения , в которой был установлен ряд общих достаточных условий устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В этой работе А. М. Ляпунов связал сам факт устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения и тем самым положения равновесия с наличием функции V (л ,. ....х , производная которой по времени, взятая согласно системе дифференциальных уравнений, обладает определенными свойствами. [c.34]

В литературе по механике указывалось на слабые места в рассуждениях Лагранжа по обоснованию принципа виртуальных перемещений ([1. Примеч. Ж.Бертрана на с. 45], [2. С. 380—382], [3. С. 59—61], и др.). В уточненном виде и обобщенное на случай неудерживающих связей доказательство Лагранжа изложено в Лекциях А.М. Ляпунова [c.35]

В теории вращательного движения искусственных объектов к области небесной механики можно отнести вращение под действием гравитационных сил, разыскание частных решений, соответствующих некоторым определенным ( регулярным ) движениям, исследование устойчивости таких решений в смысле Ляпунова и при постоянно действующих возмущениях. Другие задачи вращательного движения искусственных объектов, например, вопросы гравитационной и негравитационной стабилизации вращательного движения, вопросы управления вращением тела, меньше связаны с небесной механикой и представляют собой скорее задачи теоретической механики. Правда, трудно провести резкую границу между различными областями науки, но все же некоторые вопросы приходится, как бы по молчаливому соглашению, относить к той или иной области, как это и осуществляется обычно в космонавтике. [c.362]

Ляпунов Александр Михайлович (1857-1918) — выдающийся русский математики механик. После окончания Петербургского университета с 1885 по 1902 г. работал в Харьковском университете. В связи с избранием в Российскую академию наук в 1902 г. переехал в Петербург. Скончался в Одессе в 1918 г. Создатель математической теории устойчивости равновесия и движения (основная работа Общая задача об устойчивости движения , 1892 г.), автор центральной предельной теоремы в теории вероятностей (1900 г.), трудов по движению тел в жидкостях, по фигурам равновесия вращающейся жидкости, по теории потенциала. Научные заслуги А. М. Ляпунова получили всемирное признание он был избран почетным членом многих университетов, чле-ном-корреспондентом Парижской академии наук, иностранным членом Римской академии наук и др. [c.17]

В середине XIX в. крупнейшим математиком акад. П. Л. Чебышевым были выполнены научные исследования по теории автоматических механизмов и автоматического регулирования. Работы выдающегося русского математика А. М. Ляпунова были связаны с решением задачи устойчивости движения. [c.4]

На первый взгляд может показаться, что понятие устойчивости по Ляпунову является естественным обобщением устойчивости, рассматривавшейся нами для положения равновесия (которое можно трактовать как вырожденную характеристику). Но для классической динамики это понятие оказывается не всегда пригодным, поскольку оно связано со слишком сильными требованиями, накладываемыми на систему. Правда, выше мы привели несколько примеров, для которых имеет место устойчивость в указанном мысле, однако дан е для весьма простых систем, для которых интуитивное представление об устойчивости не вызывает сомнений, критерий устойчивости по Ляпунову не выполняется. Рассмотрим, например, частицу, движущуюся прямолинейно в силовом поле. Согласно определению устойчивости по Ляпунову движение в однородном поле неустойчиво это же относится и к обычному либрационному движению (если не считать некоторых тривиальных исключений, таких, как колебания гармонического осциллятора). Если однородное поле имеет направление вдоль оси Ох, то невозмущенной характеристикой, проходящей через начальную точку (а, и), будет [c.477]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

Устойчивость - термин, широко применяемый в математике, естествознании, технике и обыденной жизни. Толковый словарь Даля определяет слово устойчивый как стойкий, крепкий, твердый, не шаткий . Термин устойчивость встречается уже в работах Эйлера по продольному изгибу стержней, переведенных на русский язык. Лагранж, Пуассон и другие математики прошлого широко использовали термин устойчивость применительно к задачам о движении небесных тел. Теория регулятора Уатта, разработанная Максвеллом и Вышнеградским, была в сущности первым применением понятия устойчивости в машиноведении и отправной точкой для создания теории автоматического ретулирования (позднее - более общей теории автоматического управления). Р. Беллман характеризовал устойчивость как сильно перегруженный термин с неустановившимся определением . Однако большинство трактовок этого понятия связано с определением устойчивости по Ляпунову и его дальнейшими обобщениями. Это полностью относится и к устойчивости механических систем [6]. [c.455]

Связь мезкду понятиями F-функции, знакоопределенной по части и по всем переменным (по Ляпунову). Хотя это и может показаться странным на первый взгляд, однако К-функция, знакоопределенная по всем переменным в конечной области х-пространства, может не быть знакоопределенной по части этих переменных в смысле определения 2.1.1. [c.70]

Формируя м и Мз в виде линейной обратной связи по переменным > 21, >22, >2ь > 22 и используя схбму докэзательств теоремы 2.4.2 заключаем, что нулевое решение замкнутой системы (2.4.11), (2.4.12) устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво ПО ) 11,>12,>2Ь>22- [c.132]

Вслед за советскими учеными теорией устойчивости движения по Ляпунову и ее приложениями стали заниматься и зарубежные ученые особенно большой размах эти исследования приняли в Чехословакир, США, Англии, Румынии, ГДР, Японии и некоторых других странах (см. в этой связи обзорный труд Л. Чезари Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений , 1959 русский перевод М., 1964). [c.11]

Вопрос об устойчивости биологических сообществ является центральным в математической экологии. Способность природных систем к достаточно длительному существованию в практически неизменном виде говорит о наличии внутренних механизмов, обеспечивающих стабильность. Эта проблема становится тем более интересной и важной, если сообщество подвергается случайным воздействиям. Как правило, устойчивость детерминированных систем исследуется по Ляпунову. Например, устойчивость стационарного состояния вольтерровского сообщества связана со знакоопределенностью матрицы сообщества. Для консервативных по Вольтерра систем (например, систем хищник -жертва ) соответствующая квадратичная форма - тождественный нуль, что определяет простую устойчивость сообщества. Для асимптотической устойчивости нетривиального равновесия доста- [c.347]

Обратная связь по выходу вместо обратной связи по состоянию заметно усложняет процедуру оптимизации. Существуют математические выражения, позволяющие вычислять функционал У и его градиент, принимая во внимание коэффициенты матрицы обратной связи. Хирзингер предложил удобную конфигурацию обратной связи по выходу для многосвязных систем [91. В его динамическом регуляторе использованы прямая и обратная связи. Требования к динамическим характеристикам и автономности учитывают в параллельной эталонной модели, что приводит к задаче оптимизации без ограничений, с функционалом У (1). Размерность вектора состояния в этом случае равна сумме размерностей исходной системы, регулятора и параллельной модели. Величину функционала У и его градиент находят из уравнения Ляпунова. [c.213]

Возможности программного обеспечения это интерактивная программа предназначена для анализа и проектирования линейных одномерных систем. Для описания линейных систем можно использовать семь различных способов. Для непрерывных систем это — передаточная функция Н (s), модель в пространстве состояния и частотные характеристики. Для дискретной системы это — дискретная передаточная функция Я (г), а также модель в пространстве состояния и частотные характеристики. Переходные характеристики можно использовать для описания как непрерывной, так и дискретной системы. Программа TRIP обеспечивает переход от одного описания системы к другому. Например, взяв за основу передаточную функцию Н (s), можно вычислить функцию Н (z), модель в переменных состояния, временные и частотные характеристики. Такие вычисления называются преобразованиями. Программа TRIP обеспечивает 35 таких преобразований. Кроне того, предусмотрены следующие операции вычисление оптимальной обратной связи по состоянию, вычисление корневого годографа, быстрое Фурье-преобразование, метод наименьших квадратов, фильтрация, подбор кривой по точкам, решение уравнений Риккати и Ляпунова, Вычисление годографа Найквиста, логарифмических частотных характеристик и некоторые другие. [c.317]

Теория нелинейных импульсных автоматических систем начала развиваться сравнительно недавно. Применяя идеи методов исследования абсолютной устойчивости, основанных на прямом методе А. М. Ляпунова в форме, приданной ему А. И. Лурье, и используя подход В. М. Попова, удалось найти достаточные условия абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейных импульсных автоматических систем в виде разрешающей системы квадратных уравнений и частотных критериев устойчивости. Изучение периодических режимов в импульсных и цифровых автоматических системах исторически началось раньше установления критериев устойчивости. Вначале эти исследования основывались на привлечении идей приближенного метода гармонического баланса. Распространение метода гармонического баланса позволило разработать эффективные способы определения режимов с периодом, кратным периоду повторения в нелинейных амплитудно-импульсных и широтно-импульсных сиотемах. Этот подход весьма удобен и оправдан для определения низкочастотных периодических режимов. Для высокочастотных периодических режимов оказалось, что простая замена частотной характеристики непрерывной части на импульсную частотную характеристику позволяет не приближенно, а точно определить существование высокочастотных периодических режимов. Что же касается периодических режимов с периодом, не кратным периоду повторения, а также сложных периодических режимов, то единственная возможность их определения, которая существует в настоящее время, связана с развитием метода гармонического баланса по преобладающей гармонике. Задача исследования устойчивости периодических режимов сводится к задаче определения устойчивости в малом линейной импульсной системы с несколькими импульсными элементами [48]. [c.270]

Как указано в п. 4.1 для построения функции Ляпунова используются постоянство расхода, постоянство полного импульса П или уравнение количества движения и горизонтальность течения, при отсутствии на стенках канала внешних по отношению к жидкости тангенциальных сил. При этих условиях функция Ляпунова fifj является единственной функцией, удовлетворяющей заданным связям. Изменение функции и отражает убывание энергии за счет внутренних диссипативных сил в самой жидкости при переходе от сверхкритического состояния к любому состоянию, совместимому с заданными связями, в том числе и к конечному не только виртуальному, но и действительному подкритическому состоянию. [c.165]

Мы не будем здесь входить в подробности относительно кинематики механизмов, так как в предоктябрьский период Это была уже вполне оформившаяся самостоятельная прикладная дисциплина. Вклад в нее деятелей русской яаауки велик — достаточно вспомнить труды П. Л. Чебышева, В. Н. Лигина, Л. В. Ассура и др. С этой дисциплиной связана на своем первом этапе теория автоматического регулировання, представленная в России замечательными исследованиями И. А. Ёышне-градского. Работы Вышнеградского появились в конце 70-х годов XIX в., но как в отечественной, так и в мировой науке вопросы теории регулирования начинают широко разрабатываться много позже. Поэтому надо считать, что работы Вышнеградского, как и работы А. М. Ляпунова по теории устойчивости, входят в эстафету, которую советская наука принимала у науки предреволюционных лет. [c.283]

Таким образом, рассмотренная система служит примером распределенной системы, движения которой полностью определяются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений небольшой размерности. В какой мере этот частный вывод может быть распространен па другие распределенные системы Определенный и исчерпывающий ответ на этот вопрос в настоящее время дать трудно качественно (ио крайней мере в рамках квазилинейной теории) ситуация зависит от числа степеней неустойчивости и степеней свободы с малым затуханием. В рассмотренной задаче одна степень неустойчивости (один положительный показатель Ляпунова). Затухания по остальным степеням свободы быстро растут. Как будет показано в дальнейшем. именно с этим обстоятелт.ством связана возмол ность построения одномерной модели в виде точечного отображения прямой в прямую, адекватно передающего особенности временного [c.36]

Если в системе (1) функция Гамильтона будет условно-периодичес-кой по t, то задача об устойчивости станет крайне сложной. Это связано с тем, что применение метода нормальных форм требует анализа устойчивости и нормализации линеаризованной системы (1), которая будет иметь условно-периодические коэффициенты, а аналога теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости систем с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами для условнопериодических систем нет. [c.124]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

Кажущаяся стохастичность движения в подобных сложных системах дает основание говорить о принципиально новом подходе к статистической. механике и поэтому привлекает, к себе все более широкий круг исследователей в этой области. Сложность движения вблизи неустойчивых периодических решений и тот факт, что эти неустойчивые траектории образуют в фазовом пространстве всюду плотное множество, служат серьезным доводом в пользу такой точки зрения. В последнее время значительные усилия были направлены на выяснение связи стохастического движения с по-казателялш Ляпунова, которые определяют скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Это важно также и с практической точки зрения для вычисления усредненной по фазам скорости диффузии по переменным действия. В прошлом такие вычисления проводились в предположении о случайности фаз. Ясно, что это предположение несправедливо при наличии инвариантных кривых, ограничивающих область изменения фаз. Даже в случае полной эргодичности, когда движение охватывает всю энергетическую поверхность, необходимо еще определить масштаб времени, на котором фазы становятся случайными. Проведенные численные и аналитические исследования позволили глубже понять проблему убывания фазовых корреляций вблизи инвариантных поверхностей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 5. [c.18]

Так как КС-энтропия положительна только в случае экспоненциального уменьшения средней меры элемента В (назад по времени), то неудивительно, что она связана со средней скоростью экспоненциальной расходимости близких траекторий (вперед по времени), т. е. с показателями Ляпунова. Явное выражение для этой связи было получено Песиным [335 ], и его можно записать в виде [c.301]

Как мы увидим в 6.2, эти результаты на самом деле обманчивы. Действительно, в системе с тремя степенями свободы первая и третья области должны быть связаны слабой диффузией Арнольда, благодаря которой траектория переходит из одной области в другую. Поэтому, по-видимому, и для промежуточной области Oj 0,03, а а, 0,008, что противоречит данным на рис. 5.9. Это еще раз указывает на основную трудность численного определения показателей Ляпунова не существует априорного условия для определения достаточного числа итераций п. Поэтому при численном юдeлиpoвaнии необходимо использовать и другие методы, такие, например, как метод сечения Пуанкаре -). [c.317]

Исследование устойчивости и определение периодических режимов систем синхронного привода с АРВ при учете нелинейностей синхронного двигателя и регулятора возбуждения с помощью второго метода Ляпунова связаны с известными трудностями. Рассмотрим методику исследования периодических режимов систем с синхронными двигателями при АРВ приближенными методами на основе принципа гармонической линеаризации, разработанную применительно к системам автоматического регулирования и управления [37]. Рещив уравнения (161) относительно переменной 6, определяем нелинейное дифференциальное уравнение синхронного привода с АРВ по углу 6 в виде [c.83]

Данная книга в основном представляет собой перевод с немецкого книги К. Л. Зигеля Лекции по небесной механике . Потребность в новом издании и переводе на английский язык привели к появлению этого труда, который, однако, представляет собой нечто большее, чем просто перевод. Для того чтобы учесть последние работы в этой области науки в книгу были добавлены несколько параграфов, особенно в третью главу, посвягценную теории устойчивости. Тем не менее, мы не пытались представить полный обзор этой области, и, в основном, следовали структуре оригинальной книги Зигеля. В книге особо выделены результаты и аналитические методы, основанные на идеях А. Пуанкаре, Дж. Д. Биркгофа, А. Ляпунова, и, что касается первой главы, на работе К. Ф. Зундмана и К. Л. Зигеля. В последние годы вновь возник интерес к разделам механики, связанным с теорией меры, что привело к ряду новых результатов, которые не будут здесь обсуждаются. В связи с этой тематикой мы особо рекомендуем интереснейшую книгу В. И. Арнольда и А.Авеца Эргодические проблемы классической механики , которая посвягцена взаимосвязи механики и эргодической теории. [c.11]

Второе интересное направление связано с проблемой устойчивости сообщества в случайной среде. Как уже указывалось, метод функций Ляпунова разработан в основном для тех моделей, где флуктуации обращаются в нуль в положении равновесия. Такая ситуация характерна лишь для узкого класса задач, связанных с параметрическим шумом. Ясно, однако, что в реальных условиях случайные возмущения не исчезают, а продолжают действовать, даже если сообщество находится в равновесии. По-видимому, здесь нет асимптотической устойчивости по вероятности, но интересно бьшо бы получить условия устойчивости в среднем и среднем квадратическом, а также условия слабой устойчивости по вероятности. В некоторых случаях здесь может помочь анализ соответствующих стационарных распределений, но общая теория здесь отсутствует. Исключение составляет устойчивость в среднем, одаако использование этой концепции в реальных задачах весьма проблематично, так как здесь возможен значительный рост дисперсии флуктуаций. [c.354]

Мы получили уравнение степени 21 относительно к, которое обычно называется. характеристическим. Ляпунов называл его определяющим —название, как мы увидим дальше, связано-с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения системы, В случаях колебательного движения системы уравнение (7.21) называют частотным —корнями будут квадраты собственных частот колебаний системы. Характеристическое уравнение (7,21) может иметь кратные корни. Мы покажем дальше,, что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозмущенного состояния системы, то для приближенного описани возмущенного движения сможем применить уравнения первого приближения. Но при исследовании устойчивости, например методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность-имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности по первому приближению. [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...