ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1-го порядка 208 —Система

Можно, например, потребовать, чтобы какие-то (или даже все) координаты Qi (г = 1, 2,..., п) не входили в новую функцию Гамильтона. И если удастся так подобрать 5, чтобы удовлетворялось уравнение (55), то среди новых переменных в рассматриваемой задаче будут циклические координаты , что позволяет (см. п. 164) понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на величину 2к (к — число циклических координат). А если все координаты циклические, то задача сводится к элементарным квадратурам, так как тогда % = Н Р, t), и уравнения движения в новых переменных имеют вид [c.351]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Остановимся на одной особенности полученной системы в связи с наличием циклической координаты q . В отличие от момента М 2, который можно считать известным, движущий момент Мц по сути дела определяется динамикой всего привода, включая двигатель. Однако, если рассматривать = фц (О как заданный закон движения ведущего звена, то, решая систему, состоящую из последних двух уравнений, находим 2 и q , а первое уравнение используем для определения момента Мц. Теперь порядок системы решаемых дифференциальных уравнений оказался равным 2 (Я — 1) = 4. Первое же уравнение системы отвечает первой задаче динамики, при которой по заданному движению ищутся неизвестные силы. В этом случае можно трактовать функцию qi как заданное кинематическое возмущение. Отмеченная особенность весьма характерна для исследования подавляющего большинства динамических моделей цикловых механизмов. [c.62]

Итого мы имеем восемь граничных условий в соответствии с порядком системы дифференциальных уравнений (62.1). Впрочем, вместо 6 можно ограничиться вначале определением функции в" w тогда порядок системы (62.1) можно считать равным шести, и условия (2) окажутся не нужными. [c.217]

Полученная таким образом система 12-го порядка обладает еще четырьмя интегралами, а именно, тремя интегралами площадей и интегралом живых сил. Поэтому, если использовать эти интегралы, можно получить систему 8-го порядка. Сохраняя каноническую форму дифференциальных уравнений, эту систему 8-го порядка можно записать как систему канонических уравнений с четырьмя степенями свободы. Оказывается, что характеристическая функция этой канонической системы остается не зависящей явно от времени. Следовательно, для этой системы 8-го порядка существует интеграл живых сил, и можно было бы с его помощью понизить порядок системы еще на единицу. [c.225]

Наличие одной циклической координаты понижает порядок системы канонических уравнений на две единицы. Функция Гамильтона в этом случае не зависит от переменной 9 -, а переменная постоянна и равна своему начальному значению. Уравнения (1.4) образуют в этом случае корректно определенную систему дифференциальных уравнений порядка 2и-2, если исключить уравнения с номером / = у. Переменная может быть найдена после отыскания обшего решения полученной системы квадратурой [c.145]

Начальные функции определяют из граничных условий на плоскостях (линиях) г=0(у=0) и z=h y=h) из системы трех (двух) линейных дифференциальных уравнений по переменным х, у х). Порядок этих уравнений зависит от числа членов разложения по степеням z y), удерживаемых для дифференциальных операторов L общего линейного преобразования (1.22). [c.16]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

В методе интегральных соотношений область разбивают кривыми линиями, форма которых определяется видом границы области интегрирования. Произвольность выбора аппроксимирующих функций позволяет найти достаточно точное решение при сравнительно небольшом числе полос, что существенно при практических расчетах. Однако если аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет высокий порядок, то эффективность метода сохраняется лишь в случае, когда он дает достаточно точное решение уже при небольшом порядке этой системы. [c.182]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Уравнения (11) называются уравнениями Лагранжа второго рода . Они образуют систему п уравнений второго порядка относительно п функций qi t). Порядок этой системы равен 2п. Заметим, что это наименьший возможный порядок дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы, так как начальные значения величин qi (г = 1, 2,. .., п) могут быть произвольными. [c.269]

Поскольку рассматриваемая система дифференциальных уравнений имеет порядок 2л, вектор функций (12.214), содержащий п постоянных интегрирования, можно рассматривать в качестве ее интеграла лишь в том случае, если подчинить (12.214) в каждой точке оси 2 еще п условиям. Последние представим в следующем виде [c.276]

Конечно, коэффициенты влияния существуют, если решение (2) аналитически зависит от Ад в окрестности точки Адх,..., Ад = 0. Для малых параметров Ад/, не изменяющих порядок уравнения (1), это определяется тем, что сама функция Ф аналитически зависит от Ад/. Для параметров, повышающих порядок дифференциального уравнения (1) (т. е. так называемых паразитных параметров), это условие, в сущности, означает тот факт, что рассматриваемая система должна быть грубой [7] в широком смысле. Грубость всякой реальной системы определяется только опытом. Влияние же тех или иных паразитных параметров на грубость системы может быть легко установлена на электронных моделях. [c.80]

Система дифференциальных уравнений (3.66) имеет четвертый порядок. В результате ее интегрирования определяются функции и V G точностью до четырех постоянных интегрирования, которые находят из граничных условий. [c.153]

При р = I функции ф (t) и ф (i) связаны соотношением (17.1), т. е. и их производные являются линейно зависимыми. Система дифференциальных уравнений движения машинного агрегата при р/ = I имеет порядок (2п + 1), а при р/г = О — порядок (2я + 3). Следовательно, при переходе от р = 1 к р = О можно удовлетворить условиям (17.5), а переход же от р = О к рд. = 1 неосуществим, так как функции ф (t) и ф (t) являются линейно зависимыми. [c.114]

Согласно этим определениям система дифференциальных уравнений (7.1) имеет второй порядок относительно yj t), j = 1, 2,. . ., ni, и порядок п = 2т, где т — число компонент вектор-функции у (t). Система уравнений (7.2) с конструктивной точки зрения значительно проще системы (7.1). В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что если исходная система дифференциальных уравнений порядка п разрешима относительно старших производных, то она может быть приведена к нормальной системе порядка п [72]. Следовательно, система дифференциальных уравнений (7.1) приводится к нормальному виду (7.2), причем компоненты вектор-функции у (t) вычисляются по правилам [c.192]

Подставив значения yk+i (t), k+i (О, W (О в (А + 1)-е уравнение системы (8.22) и разрешив его относительно получим выражение для момента в виде линейной комбинации компонент 7г, 7,- и в некоторых случаях (О — известной функции времени (если к массе с индексом к приложено внешнее воздействие). Оставшиеся неизвестными компоненты вектор-функции у t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений типа (8.12), порядок которой 2п, так как исходная система имела порядок 2п + 2. Эти компоненты можно найти методами, описанными выше применительно к системе (8.12), причем искомое решение единственным образом определяется заданием набора величин уо, i, То, t (г = = 1,2,. . ., й, А + 2, й + 3,. . ., . + 1), где G. 11), ф")- [c.245]

Система уравнений (3.20) представляет собой шесть дифференциальных уравнений с шестью неизвестными А, у, 2, q, р, R, которые являются функциями времени t. Первое и пятое — нелинейные уравнения. Решение этой системы сводится к определению, например, перемещений рабочего органа в функции времени, т. е. к нахождению функции z = z t). Порядок решения примем в соответствии с методикой приближенного исследования нелинейных автоматических систем, разработанной [c.135]

Система обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующая им система дробно-рациональных передаточных функций, описывающая динамические процессы в блоке, обычно имеет очень высокий суммарный порядок (150—200). Порядком уравнений определяется число необходимых для моделирования интегрирующих усилителей и, в конечном итоге, мощность АВМ. [c.345]

Все представленные выше аппроксимирующие функции в силу непрерывности по z обеспечивают сопряжение отдельных слоев по напряжения.м сдвига, а функции распределения перемещений (4.197) — геометрические условия стыковки отдельных слоев. Порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений не зависит от числа слоев оболочки, а также от числа коэффициентов, аппроксимирующих напряжения. [c.179]

Это значит, что значения и, доставляющие минимум функционалу (1.2), в то же время являются и решением системы (1.1). Вариационная постановка задачи имеет определенные преимущества, которые вытекают из того, что порядок дифференциального оператора понижается в 2 раза. Отсюда создаются условия более удобного формулирования граничных условий, смягченных требований к координатным функциям и более простого представления разностных выражений. Используя обозначения механики функционал (1.2) можно представить в виде [c.5]

Система аппроксимирующих функций (1.23) линейно независима. Нетрудно проверить, что эти функции обеспечивают непрерывность углов поворота по линиям контакта конечных элементов, а следовательно, и существование яо всей области вторых производных, входящих в функционал потенциальной энергии. Таким образом, функции (1.23) принадлежат энергетическому пространству задачи. Для задачи изгиба плиты порядок дифференциального оператор" 2т = 4. Поэтому чтобы показатель сте- [c.16]

Уравнения (3.2.27), при учете соответствующих им кинематических и статических соотношений, составляют систему четырех дифференциальных уравнений относительно четырех обобщенных перемещений и , w, описывающую процесс нелинейного деформирования ортотропной слоистой оболочки, податливой на поперечные сдвиги только в одном (первом) направлении ортотропии. Эта система имеет меньшее число основных искомых функций (четыре), чем общая система уравнений (3.2.18), и меньший порядок (десятый), причем количество задаваемых для нее граничных условий (3.2.28) соответствует ее порядку. Ясно, что когда необходим учет поперечных сдвигов лишь в одном главном направлении ортотропии (армирования), система уравнений (3.2.27), как достаточная для соответствующего анализа и в то же время более простая, имеет преимущество перед общей системой уравнений (3.2.18). [c.58]

Итак, замкнутая система уравнений рассматриваемого варианта теории многослойных оболочек сформулирована. Записанная в обобщенных перемещениях, эта система состоит из шести дифференциальных уравнений и служит для определения шести функций м , м , w, гр , хр . Ее порядок равен 16 и не зависит от числа слоев оболочки и структуры пакета слоев в целом. В корректно поставленной задаче такой порядок требует задания на границе области восьми краевых условий. Последние формулируются так (см. [257]) при л = задается восемь величин, альтернативно выбираемых из следующих восьми пар (а, /3 = 1,2 /3 а) [c.91]

Порядок дифференциального уравнения чувствительности совпадает с порядком исходного уравнения динамики системы. Левые части уравнения (122) для всех функций чувствительности одни и те же. Для линейного уравнения динамики (17) коэффициенты левой части уравнения динамики равны коэффициентам исходного дифференциального уравнения. [c.153]

Это оказывается возможным, если воспользоваться тем обстоятельством, что лаграь жиан (или гамильтониан) системы не зависит явно от времени, и поэтому из уравнений можно исключить время. Это значит, что роль времени тогда должна играть какая-либо из координат q, например, Qi. В результате интегрирования таких уравнений остальные координаты должны быть выражены как функции этой специально выделенной координаты, а их зависимость от времени вводится затем отдельно при помощи одной квадратуры, определяющей зависимость выделенной координаты <7i от t. Далее будет показано, как, используя этот прием, можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение консервативной и обобщенно консервативной систем, на два и ввести независимую квадратуру. [c.326]

Машины оснащаются несколькими интеграторами, число которых определяет наивысщий порядок системы дифференциальных уравнений, которую способна решить машина. Кроме того, в комплект моделирующей установки входят усилители-инвертеры, суммирующие подаваемые на их вход напряжения и изменяющие знак суммы на обратный множительные блоки, осуществляющие операцию умножения напряжений при решении нелинейных уравнений, а также специальные функциональные преобразователи, позволяющие получить кусочно-линейную аппроксимацию входящих в уравнения нелинейных функций. [c.84]

Теория оболочек учитывающая поперечный сдвиг описывается дифференциальными уравнениями меньшего порядка по сравнению с теорией основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, хотя обший порядок системы остается такой же за счет увеличения чиола уравнений и неизвестных функций. Следствием зтсго является снижение требований к гладкости решения, которое должно быть лишь непрерывным, что существенно облегчает процесс построения соответствующих аппроксимаций. [c.8]

Все рассмотренные работы основаны на линейных теориях слоя. Трудности решения задач в соответствии с этими теориями возрастают пропорционально числу слоев. Это побудило нас к построению теории, в которой прямая связь числа искомых функций и числа слоев отсутствует, причем равновесие слоев можно- описать нелинейными уравнениями (119, 120, 122—126]. Контактное давление исключено из числа искомых функций с помощью связи по Винклеру с поперечным обжатием, выраженным через разность прогибов соседних слоев. Представление искомой вектор-функции слоя суммой произведений новых неизвестных, зависящих от координат точек срединной поверхности пакета, на полиномы дискретного аргумента (аппликаты поверхности отсчета слоя) позволило получить разрешающие системы дифференциальных уравнений, порядок которых не зависит от числа слоев. Термин континуальная теория в названиях работ [119, 120] неудачен, его следовало бы заменить на дискретно-континуальная теория , поскольку зависимость искомых вектор-функций от номера слоя в этой-теории описана ортоиормированной системой полиномов дискретного аргумента. Предложенный в [119] итеративный процесс одновременно уточняет границы зон контакта и уменьшает невязку нелинейных уравнений равновесия оболочек. [c.17]

Необходимость развития теоретических исследований оболочек с несовершенным контактом слоев отмечена в параграфе 2 главы I. Выделим два различных типа задач. Первый — задачи анализа напряженного состояния слоистых оболочек со спаянными слоями при наличии отдельных зон несовершенного контакта слоев, возникаюш.его вследствие технологических дефектов или особенностей эксплуатации конструкции. гой проблеме посвящены многие работы, среди которых особо отметим [188, 201, 203]. Второй тип задач возникает при расчете оболочек, составленных из эквидистантных слоев, связанных между собой только на краях оболочки и взаимодействующ,их односторонне. Конструкции, включающие в качестве элементов эти оболочки, широко распространены в технике, например слоистые днища, сосуды, трубопроводы, сильфоны и т. д. Для таких оболочек характерно большое число слоев. Иногда внешние слои пакета отличаются от внутренних толщиной и механическими свойствами, возможно наличие зазоров между слоями. Слои, как правило, проскальзывают с треинем или свободно. Появление зон сцепления маловероятно, поскольку контактное давление между слоями невелико. В данной главе изложена теория, предназначенная для изучения именно таких оболочек. Условия контакта между слоями могут зависеть от коордииат и включают все виды несовершенного одностороннего контакта. Условия спайки слоев (в нормальном направлении на отрыв, в тангенциальном — на сдвпг) не рассматриваются. Поведение слоев подчинено одной из нелинейных теорий оболочек, одинаковой для всех слоев. Функции контактного давления между слоями исключены из числа неизвестных, аналогично тому, как это сделано в главах II и П1. Порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений меньше или равен произведению числа слоев на порядок системы уравнений для слоя. [c.100]

Уравнения (7.9), (7.10) распадаются, половина из них описывает деформацию в плоскости пластины, другая — деформацию из плоскости и сдвиг. Порядок системы зависит от типа граничных условий на лицевых поверхностях г — 0,5Л. Так, при кинематических условиях функции и,. .., й) известны, а для определения других нужно решать два не связанных дифференциальных уравнения второго порядка, если не учитывать погранслой. При статических условиях функции ло, , 1 исключаются при помощи формул (7.10), для функций ,. .., й) получим систему уравнений десятого порядка. [c.115]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Предположим, что система уравнений (36) проинтегрирована, т. е. найдены все нециклические координаты и соответствующие импульсы как функции времени. Эти функции зависят от2 п — т) произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании системы дифференциальных уравнений (36), так как порядок этой системы равен 2 п — т), и, кроме того, от гп произвольных постоянных j, которые с самого начала ьходили в выражение для функции Н в силу (35) [c.270]

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2я. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голоном-ной системы с я степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2я, так как в силу произвольности начальных значений величин qi и 9 (г=1, я) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2я произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. [c.50]

Система дифференциальных уравнений (7.2) называетея нормальной канонической) системой обыкновенных дифференциальных уравнений [72]. Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнений являются х , х , л , которые могут рассматриваться как компоненты вектор-функции л = (х , Х2,. . х ), а наивысший порядок производной функции Xj, входящей в систему, равен д., j = I, 2,. . ., то число q. называется порядком системы относительно х.. Число = называется порядком системы урав- [c.192]

Если математическая модель исследуемой динамической системы имеет высокий порядок п >2), а действующие на систему случайные возмущения относятся к классу со скрытой периодичностью (например, если в простейшем случае они описываются стационарными случайными функциями времени с дробно-рациональными спектральными плотностями), то решение поставленной задачи в общем случае требует использования специализированных комплексов. Для иллюстрации мы ограничимся приведенными выше моделями, описываемыми стохастическими дис еренциаль-ными уравнениями второго порядка, а также системами двух стохастических дифференциальных уравнений второго порядка, что позволяет использовать промышленные ЭВМ и одновременно дать краткий обзор основных результатов, полученных другими авторами. [c.221]

Таким образом, система интегральных уравнений с помощью данного метода разложения искомой функции заменяется диффе ренциальным уравнением бесконечного порядка (7-60) с граничными условиями (7-61) и (7-62) на первой и второй стенках слоя. Ограничиваясь несколькими членами разложения, получаем дифференциальное уравнение соответствующего порядка, аппроксимирующее систему интегральных уравнений. Если порядок дифференциального уравнения принимается больше двух, то граничных условий оказывается уже недостаточно для того, чтобы определить все постоянные интегрирования. Поэтому приходится искусственно добавлять граничные условия к дифференциальному уравнению, вводя те или иные дояу-щения. [c.214]

Для проверки полноты необходимо установить порядок р полинома, который выражается линейными комбинациями функции фj,g, и в случае р т (2т — порядок дифференциального оператора А) третье требование выполняется. В дальней-Н1ем число р будем называть порядком аппроксимации системы координатных функций. В работе [34] получено соотно- [c.9]

В уравнениях (9.8.21) исключают величины и б2т> моменты Mi остаются в виде одной из основных искомых функций. Выражением деформаций и изменений кривизн в этих уравнениях и в уравнении (9.8.24) через перемещения по формулам (9.8.22) получается система из четьфех обьжновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Каждое уравнение имеет второй порядок [c.174]

Один из основных подходов к расчету оболочки состоит в разрезании ее на отдельные панели и ребра. При этом решается граничная задача для каждой панели, после чего производится склейка решений с учетом дифференциальных уравнений для ребер. Получаются связанные между собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Число систем равно числу ребер N, порядок каждой системы для классической теории оболочек восьмой. Так как связанность осуществляется через правые части уравнений равновесия ребра, являющиеся, вообще говоря, реакциями со стороны панелей, то уравнения всегда могут быть, проинтегрированы для каждого ребра самостоятельно. В этом случае задача сво=-дится к решению 8N функциональных уравнений или алгебраических уравнений если, например, решение удается разложить в направлении ребра по системе ортогональных функций. Для замкнутой оболочки с меридиональными ребраийг система распадается на независимые системы по 8 уравнений при наличии усло> ВИЙ периодичности по каждому ребру, а при наличии периодичности по отдель -ным группам из п ребер (Л /я — целое) на независимые группы по п связанных систем. Метод разрезания использован, например, Л. И. Балабухом и Л. А. Шаповаловым [3], а также Ф. Фишером [75]. [c.323]

Так как для интегрирования системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений используем метод Кутта—Мерсона, имеющий пятый порядок точности, для интерполяции функции одной переменной целесообразно выбрать интерполяционный многочлен пятой степени п = 5). [c.172]

Подробнее остановимся на подходе, предложенном А.Н. ВсСлковым [84]. В этой работе функции смещений и напряжений разлагаются в пределах каждого слоя в ряды по степеням поперечной координаты. Их подстановка в уравнения пространственной задачи теории упругости, отделение поперечной координаты и использование условий межслоевого контакта приводят к выражениям для коэффициентов разложений через начальные функции, определенные на начальной поверхности. Искомые функции выражаются через начальные при помощи матрицы начального преобразования, операторные элементы которой содержат в качестве параметров тепловые члены, механические и геометрические параметры слоев. Система дифференциальных уравнений для определения начальных функций получается путем удовлетворения условиям нагружения на верхней и нижней граничных поверхностях оболочки. Порядок этой системы определяется как числом слоев оболочки, так и числом членов ряда, удерживаемых в разложениях искомых функций, и оказывается достаточно высоким, что ограничивает возможности практического использования метода. Так, если для четырехслойной оболочки в разложениях искомых функций удерживаются члены до третьей степени включительно, то получающаяся при этом система дифференциальных уравнений имеет сороковой порядок. [c.7]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...