Уравнение распространения сферической волны

Уравнения распространения сферической волны. [c.58]

Исследуя приливы в неоднородной жидкости в связи с образованием внутренних волн, Сретенский (1949) показал, что интегрирование уравнений распространения приливных волн в неоднородной жидкости, когда ее плотность испытывает резкое изменение при пересечении некоторой сферической поверхности, приводится к интегрированию уравнений теории приливов однородной жидкости. Им был выполнен подробный анализ характера симметричных относительно оси шара колебаний двухслойной жидкости, покрывающей сплошь вращающийся шар или находящейся в полярном море. [c.80]

Сферические волны. В эйлеровой системе координат распространение сферических волн описывается следующими уравнениями [c.24]

Решение этого диференциального уравнения, аналогичного уравнению распространения сферической звуковой волны, нам уже известно. Это решение дает потенциал скорости в комплексной форме для гармонических колебаний [c.103]

Если источник возмущения очень мал (точка) и скорость распространения возмущения во все стороны одинакова (изотропная среда), то, очевидно, фронт волны должен иметь вид сферической поверхности с центром в источнике. В таком случае волна называется сферической. Уравнение такой монохроматической сферической волны имеет вид [c.40]

Отличие сферического распространения волн от плоского можно просто показать на примере задачи о распространении сферической звуковой волны. Составим уравнения возмущенного движения в сферических координатах, поместив начало координат в центр возмущений (точечный источник звука). Точные уравнения будут состоять из уравнения движения, совпадающего с соответствующим уравнением в плоском случае (первое уравнение системы (54) гл. III), если только в нем заменить х на радиус-вектор г точки относительно источника возмущений, а под и понимать радиальную скорость газа. [c.135]

Первая часть посвящена выводу волнового уравнения акустики, исследованию вопроса распространения плоских волн, вопросу прохождения плоских волн через границы сред и исследованию простейших типов излучателей. Далее подробно рассмотрены вопросы распространения звука в трубах и звуко-проводах. Наконец в последних главах разбирается теория сложных излучателей различных типов (сферического, цилиндрического, поршневого) и некоторые вопросы рассеяния волн на сфере и цилиндре. [c.3]

Волновое уравнение для звукового поля, создаваемого сферой, совершающей пульсационные колебания, одинаковые по всей поверхности, можно получить из волнового уравнения, записанного в сферических координатах, предположив, что производные по полярному и азимутальному углам равны нулю, т. е. полную симметрию относительно центра. Однако представляет интерес вывести для этого случая уравнение распространения волн независимо, поскольку при этом выводе выявляются существенные особенности звукового поля. [c.57]

Уравнение для компонент вектора v отличается от уравнения для V, не зависящего от спина, только заменой Ф на Z. Поэтому все дальнейшие рассуждения справедливы и для спиновых волн. Можно показать [10], что нулевой член разложения Z по сферическим гармоникам определяет выражение для магнитной восприимчивости ферми-жидкости. Для жидкого Не он оказывается отрицательным, что, по всей вероятности, свидетельствует о невозможности распространения спиновых волн в этой жидкости. [c.43]

Основное количество аналитических исследований нелинейных колебаний сплошных сред посвящено случаю плоских волн. Это связано с тем, что имеется достаточное количество точных и приближенных решений уравнений для плоских волн [42, 97, 148]. Другая ситуация наблюдается в случае сферических или цилиндрических волн. Здесь также имеются примеры аналитических и приближенных решений, однако их значительно меньше и они в основном получены для случая безграничной среды [20, 97, 132, 167, 173, 195, 221, 232]. Если первая теоретическая публикация, посвященная резонансным колебаниям газа в трубах, была опубликована в 1958 г. [211] и после этого указанная проблема изучалась многими авторами, то колебания в резонаторах другой формы не изучались. Это, с одной стороны, объясняется практической важностью случая колебаний в трубах, а с другой — исследование резонансных колебаний сред в сферических и цилиндрических областях связано со значительными трудностями. Автору известно только одно исследование резонансных колебаний сферических волн в идеальном газе [41], опубликованное в 1971 г. Ниже излагаются результаты распространения этого исследования на случай пузырьковой жидкости [50]. [c.150]

Эта поверхность называется световым конусом, так как уравнение (4.6) описывает распространение сферической световой волны, выходящей из начала координат [c.72]

Так же как в ранее рассмотренном случае распространения упругопластических сферических волн, представим решение этого уравнения в виде суммы двух функций [c.167]

Для уравнений (3.5) в общем случае не найдено рещение задачи о распространении сферических и цилиндрических радиальных волн в замкнутом виде. Решение на фронтах волн сильного разрыва приводит к интегральным уравнениям, в области же вязкопластических деформаций решения строятся численно при помощи метода сеток характеристик или метода последовательных приближений (см. п. 9). [c.176]

Уравнение (4.39) и является искомым уравнением для R r,t), где — заданная функция своих аргументов. Уравнение (4.39) описывает распространение сферически симметричных волн. [c.99]

Рассмотрим удаленную от источника область пространства, размеры которой много меньше расстояния до источника. Как видно из рис. 2.1, в пределах этой области кривизна волновых фронтов мала. На больших расстояниях фронт сферической волны можно аппроксимировать плоскостью, считая, что размеры рассматриваемого участка ограничены. Уравнения сферической волны в этом случае упрощаются до уравнений плоской волны, описывающих распространения акустических плоских волн. [c.26]

Здесь Г = 5ш/Рыд —обратное число Рейнольдса (см. (3,2.5)), —безразмерный исходный радиус фронта волны. Видно, что использование уравнения (2) сводит задачу о распространении сферических возмущений к задаче о плоских волнах в эквивалентной среде, диссипативные характеристики которой экспоненциально убывают с увеличением пройденного расстояния (с ростом е от О до оо). [c.158]

Распространение сферических и цилиндрических волн конечной амплитуды с качественной точки зрения во многом подобно процессу распространения плоских волн. Как и там, нелинейные явления вызывают изменение формы распространяющейся волны, что может привести к возникновению ударных волн, сопровождаемому интенсивным поглощением звука. Однако в количественном отношении имеются некоторые различия, проявляющиеся, в частности, в ином темпе нарастания нелинейных искажений при распространении сферических и цилиндрических волн, что вызвано изменением амплитуд таких волн при распространении вследствие их расхождения (или схождения). Для описания распространения сферических и цилиндрических волн конечной амплитуды систему уравнений гидродинамики и уравнение состояния удобно свести, подобно тому, как это было сделано при рассмотрении плоских волн умеренной интенсивности, к одному приближенному уравнению вида [48—51] [c.27]

В общем случае двух- или трехмерного распространения приходится иметь дело с большим числом независимых переменных и геометрия становится еще сложнее не удивительно поэтому, что приходится прибегать к приближенным методам. В самом деле, единственные точные решения, которые удается найти, зто автомодельные решения для частных задач, и даже в них обычно требуется численное интегрирование приведенных уравнении. Автомодельные решения для цилиндрических и сферических волн и для волн в неоднородной среде были рассмотрены в 6.16, [c.254]

Методом параболического уравнения (распространение радиоволн над плоской [67] и сферической [68, 69] землей поле плоской электромагнитной волны в области полутени для любого выпуклого тела [70]). [c.182]

Как было показано выше, в рамках моделей таких процессов, предложенных в предыдущей главе, фундаментальные решения задач Коши для соответствующих уравнений в одномерном по пространственным координатам случае, которые мы предполагаем существующими, могут быть представлены в простран-ственно-временных координатах в виде (3.87). Исследованию свойств этих решений, построению достаточно простых и эффективных вычислительных процедур, обобщению развитых методов на случаи цилиндрических и сферических волн, а также их применению к решению задач о распространении волновых импульсов в таких средах будут посвящены оставшиеся главы данной части книги. Ключевыми при этом для исследования интересующих нас проблем, связанных с переходными волнами в средах с фрактальными элементами, оказываются методы решения задач, содержащих отмеченную выше слабую степенную сингулярность в ядре наследственности. [c.161]

Быстрый прогресс в решении волновых задач теории пластичности тесно связан с запросами современной техники применением импульсного нагружения, созданием полостей в грунтах, действием землетрясений на конструкции, сейсморазведкой. Книга известного польского специалиста содержит обзор и современное изложение методов решения волновых задач на основе различных вариантов теории пластичности. Рассматриваются основные уравнения динамики неупругих сред, математические основы теории распространения волн, сферические и цилиндрические волны в различных средах. Подробно обсуждаются численные методы решения задач, приведены числовые примеры по распространению волн в пластических средах. [c.487]

Особенности Э. в., законы их возбуждения и распространения описываются Максвелла уравнениями. Если в какой-то области пространства существуют электрич. заряды е и токи 1, то изменение их со временем г приводит к излучению Э. в. На характер распространения Э. в. существенно влияет среда, в к-рой они распространяются. Э. в. могут испытывать преломление, в реальных средах имеет место дисперсия волн, вблизи неоднородностей наблюдаются дифракция волн, интерференция волн, полное внутреннее отражение и др. явления, свойственные волнам любой природы. Пространств, распределение эл.-магн. полей, временные зависимости Е(1)и H(t), определяющие тип волн (плоские, сферические и др.), вид поляризации и др. особенности Э. в., задаются, с одной стороны, характером источника излучения, с другой—свойствами среды, в к-рой они распространяются. В случае однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих эл.-магн. поле, ур-ния Максвелла приводят к волновым уравнениям [c.543]

Наряду с только что рассмотренным случаем одномерного, параллельного некоторой оси возмущенного движения, при котором в газе происходит перемещение плоских звуковых волн, перпендикулярных оси течения, можно было бы разобрать и случай одномерного радиального распространения круговых в плоскости или сферических в пространстве звуковых волн. В этом случае линеаризированные уравнения несколько усложняются, но так же легко решаются. Существенно, что в случае круговых и сферических звуковых волн скорость распространения их будет определяться той же формулой (9), что и в случае распространения плоской звуковой волны. [c.160]

Выведем уравнение распространения сферической волны. Диференци-альные уравнения равновесия сил (2.15) в декартовых координатах для всех трех измерений имеют следующий вид [c.59]

Рассмотрим последовательно задачи о распространении сферических волн в средах, воспользовавшись сперва деформационной теорией пластичности в предположении упругой, а также жесткой разгрузки и затем — определяющими уравнениями теории вязкопластичности. Ввиду того что процедуры построения решения задач в случаях радиальных цилиндрических волн аналогичны задачам для сферических волн, ограничимся кратким обсуждением этих задач только для случая определяющих уравнений вязкопластичности. Что касается задач о распространении цилиндрических волн в средах, не чувствительных к скорости деформации, то для них мы только сошлемся на литературу, например на работы [43, 45, 59, 107]. Последний пункт этой главы будет посвящен задачам о распространении цилиндрических волн сдвига в упруго/вязкопластической среде. [c.155]

Задача о распространении сферических волн в неоднородной упруго/вязкопластической среде была решена в работе [88]. В ней за исходный пункт приняты уравнения Фрейденталя эти уравнения получаются как частный случай определяющих уравнений (3.25), если положить ф Р) = Р. В них принято, что постоянные материала изменяются как функции радиуса г. Рассмотрена задача о возникновении волны слабого разрыва, а также волны сильного разрыва. Решение в областях вязкопластических деформаций построено численно с использованием метода сеток характеристик. На фронте волны сильного разрыва решение сводится к решению интегрального уравнения. Проводя дальнейшие упрощения и принимая в качестве отправных определяющие уравнения Гогенемзера и Прагера (уравнения [c.183]

Следует отметить, что локальный метод может быть применен и к обычному волновому уравнению [261. Метод называется локальным, поскольку предполагается, что на любом участке слабонеоднородной среды можно выбрать расстояние Ал в направлении распространяющейся волны, когда одновременно выполнены два условия во-первых, Ах / и изменение поля на этом расстоянии мало и, во-вторых, можно ограничиться первым приближением метода малых возмущений применительно к параболическому уравнению. В локальном методе не накладываются ограничения малости на величину такого изменения поля вдоль Выше шла речь о распространении плоских волн. Вместе с тем в ряде задач, например в задаче об усреднении апертурой приемной акустической антенны флуктуирующего сигнала, прошедшего через турбулентную среду (если применяется фокусирующая система), приходится встречаться со сферическими волнами. Возникает, таким образом, задача о распространении сферических волн в среде со случайными неоднородностями [14, 16]. [c.182]

При распространении в среде сферической волны амплитуда колебаний частиц в ней убывает обратно пропор-ционалыто расстоянию г от источника волн. Уравнение сферической волны имеет вид [c.207]

Описанный подход к распространению гармонических волн расширения в бесконечном цилиндрическом стержне с помощью точных уравнений приводит к выводу, что энергия не может переноситься вдоль цилиндра этим типом волн со скоростью, превышающей Сд. Некоторые исследователи — Филд [33], Саусвелл [132], Прескотт [114] и Купер [22] — указывают, однако, что теоретически допустимо рассматривать цилиндр таким же методом как безграничную среду. Тогда надо было бы ожидать, что упругие волны будут распространяться только с двумя скоростями, возможными для бесконечной среды (с и с.з), причем эти волны непрерывно отражаются от свободной поверхности цилиндра таким образом, как это описано в предыдущей главе. Тогда, если мы рассмотрим возмущение в некоторой точке внутри цилиндра, то обнаружим, что из этой точки должна распространяться сферическая волна расширения со скоростью с , часть этой волны должна распространяться вдоль цилиндра, не испытывая отражений от поверхности. Амплитуда этой неотра-зившейся волны должна убывать обратно пропорционально расстоянию, вследствие чего действие ее быстро затухает, но, тем не менее, часть энергии переносится со скоростью волн расширения в среде. Части волны, падающие на цилиндрическую поверхность, приводят к появлению отраженных волн расширения и искажения, которые, в свою очередь, при повторном отражении порождают волны обоих типов. Естественно ожидать, что наибольшая часть энергии возмущения будет распространяться со скоростью, меньшей скорости волн расширения. Но теория Похгаммера утверждает, что никакая часть энергии не может переноситься со скоростью, большей Со, и этот парадокс надо разрешить на основании экспериментальных наблюдений. [c.65]

Определяя таким образом все векторные функции, входящие в уравнение движения изотропного упругого тела (П.5), придем к уравнениям Похгаммера (3.35), (3.36) и (3.37), использованным в гл. П1 для изучения распространения упругих волн вдоль цилиндрических стержней. Подобным путем можно получить уравнения в сферических координатах (г, 9, ср) в этом случае Л1 =1, h2 = r, hs = r sin 9. [c.181]

Прошли десятилетия, прежде чем известная строгая теория рассеяния света на отдельных сферических частицах (теория Ми) была успешно использована (30-е годы) для интерпретации атмо-сферно-оптических явлений (Стрэттон и Хаутон, Хвостиков). В последующие vгoды теория рассеяния света малыми частицами различной формы стала основной при решении задач распространения оптических волн в атмосферном аэрозоле. Более того, в настоящее время рассеяние света атмосферным аэрозолем становится одним из важнейших разделов физической оптики, стимулирующим развитие теории рассеяния как отдельными частицами, так и системой частиц. В последнем случае речь идет фактически о теории переноса оптического излучения в дисперсных средах о выводе и строгом обосновании границ применимости уравнений переноса излучения, уравнений переноса оптического изображения, уравнений оптической локации. Совокупность перечисленных вопросов составляет современную теоретическую основу оптики дисперсных сред вообще и оптики атмосферного аэрозоля в частности. Первая часть монографии посвящена систематическому изложению этих теоретических основ. [c.5]

При п = 2 это уравнение, полученное с точностью до малых членов второго порядка малости, описывает распространение сферически-стщетричных волн, при и = 1 — цилпндрически-симметричных волн. При выводе уравнения (111.1.4) наряду с разложением по малому параметру (числу Маха) учитывалось, что аналогичный порядок малости имеет величина Икг, где к — волновое число, т. е. уравнение (III.1.4) справедливо всюду в области / г 1. [c.66]

Таким образом, решение (15.48), (15.50) удовлетворяет волновому уравнению при г Фга, принципу, предельного поглошения и условию в источнике. Следовательно, формулы (15.48), (15.50) дают поле точечного излучателя в слоистой среде с показателем преломления (15.44). Можно убедиться, что при <7-> 0, когда среда становится однородной, полученное решение сводится к сферической волне р(г го) = - (4яЛ) ехр(/Аг Л Л), Решение для среды с (г) - I <7 I г строится аналогично изложенному вьпие. Его можно получить из (15.48), полагая <7=/ <7 I, При зтом гиперболические функции переходят в тригонометрические. Чтобы оодынтегральная функция не была сингулярной во внутренних точках контура 7, его следует сместить с вещественной оси в четвертый квадрант комплексной плоскости s. В работе [393] полученные решения подробно анализируются в с аяхволноводногоиантивдановодного распространения. Там же построено аналогичное (15.48) точйое решение для поля параллельного оси Ох линейного источника в двумерно-неоднородной среде с = [c.344]

В главе 2 были приведены уравнения, определяющие распространение плоских и сферических акустических волн в идеальной однородной среде. В действительности факторы, влияющие на распространение акустических волн в океане, изменяются в пространстве по всем трем направлениям и могут меняться во времени. Наиболее важные изменеиия акустических параметров среды происходят при изменении глубины. В океанической среде возможно формирование горизонтальной слоис-стой структуры, начиная с границы раздела воздух — вода на поверхности моря и заканчивая осадками и коренными породами дна океана. [c.90]

И представляет сумму двух волн произвольной формы, из которых одна расходящаяся от центра, а другая сходящаяся к центру. Эго решение, за исключением наличия множителя ( // ), совершенно подобно уравнению (8.1) для волн в струне, а также уравнению для плоских звуковых волн, выведенному в 23. Таким образом, сферические волны более похожи на плоские волны, чем на цилиндрические волны. Плоские волны во время движения не изменяют своей формы и амплитуды сферические волны при распространении не изменяют своей формы, но амплитуда их уменьшается благодаря множителю (1/г) что же касается цилиндрических волн, то они при распространении меняют и форму и амплитуду, оставляя за собой след . Фиг. 40 и 41 показывают, что если цилиндр излучает звуковой импульс (пакет волн), то распространяющаяся волна имеет резкое начало, но не имеет резкого конца давление на расстояние г от оси равно нулю до момента Ь = (г/с) после начала имп льса, но оно не принимает снова равновесного значения после прохождения импульса. При плоских и сферических волнах волновой импульс обладает резким началом и концом, причём давление снова принимает равновесное значение после прохода импульса. Эти свойства служат примером общего закона (доказываемого в курсах по теории волнового движения), согласно которому волны при нечётном числе измерений (один, три, пять и т. д.) не оставляют за собой следа, тогда как при чётном числе измерений (два, четыре и т. д.) они оставляют след. [c.343]

Одна из самых больших трудностей математического характера при построении теории электроискрового источника заключается в существенной нелинейности процессов взаимодействия ударных волн, развивающихся вблизи разрядных электродов в жидкости, со стенками скважины и распространения "неакустических возмущений в окружающих горных породах. Во-первых, сама геометрия возмущенной области отличается от сферической, что вызывает практически непреодолимые трудности получения решения в аналитическом виде. Во-вторых, развиваемые при разряде давления заведомо превышают 30 МПа (критическое давление в воде) и при соизмеримых значениях диаметра скважины и образующейся парогазовой полости давления во многие десятки мегапаскалей действуют и на горные породы. Даже в воде при давлениях уже в 10-20 МПа (развиваемых пневматическими пушками) приходится учитывать "неакустические эффекты. Несмотря на сложные теоретические выкладки с использованием полных нелинейных уравнений гидродинамики, численные расчеты динамических параметров кривой P(t) расходятся с данными натурных измерений в 2-3 раза /70/, Степень влияния пористости, разномодульности, трещиноватости и других характеристик реальных горных пород на эффекты распространения упругих волн конечной амплитуды определить тем более трудно, поскольку в этом вопросе до сих пор отсутствуют удовлетворительные теоретические оценки /11, 41/ даже для относительно простых моделей твердой среды. [c.55]

В 1946 г. М. А. Леонтович и В. А. Фок в совместной работе [25 показали, что задачу о дифракции радиоволн вокруг сферической поверхности Земли можно решить сравнительно простым методом параболического уравнения, который ранее был успешно применен ими при рассмотрении распространения земных волн над плоской Землей. [c.87]

Второй путь построения приближенных теорий заключался в введении гипотез физической природы относительно характера распределения смещений и напряжений. Использование вариационных принципов приводило к искомым уравнениям движения и граничным условиям. Таким образом были построены уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний, учитывающие влияние инерции поперечного движения (Рэлей (1878)), теория изгибных колебаний круглой пластины (Кирхгоф (1852)), различные варианты теории цилиндрических и сферических оболочек [123]. С. П. Тимошенко (1921) показал, что учет деформации сдвига в поперечном сечении также важен при поиске адекватных моделей поперечных колебаний стержней. Отметим, что поправки на скорость распространения волн в бесконечном цилиндре, получаемые из уточненных теорий колебаний стержней, совпадали с несколькими первыми членами разложения точных решений Похгаммера — Кри. [c.14]

Вторая глава посвящена распространению изменяющихся во времени гармонических волн. Детально рассмотрены цилиндрические, сферические и поверхностные термоупругие волны. Даны основные сингулярные решения уравнений термоупругости и описано их использование для решения краевых задач. Наконец приведены обобщения ряда задач, играющих существенную роль в эластокинетике. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...