Интегральное уравнение Гельмгольца

Используя (III.2.10), получаем интегральное уравнение Гельмгольца для внешних точек пространства [c.245]

Для нахождения поля по (II 1.2.12) необходимо знать ф и д(р/дп на поверхности преобразователя. Для того чтобы иметь эти два граничных условия одновременно, необходимо е иметь решение задачи. В связи с этим интегральное уравнение Гельмгольца (II 1.2.12) не дает решения задач об излучении. Однако для высоких частот эта формула дает соотношения, которыми удобно пользоваться в практике инженерных расчетов. [c.246]

Подставляя эти формулы в интегральное уравнение Гельмгольца, получим его приближенное выражение для высоких частот — интеграл Кирхгофа [c.246]

Интегральное уравнение Гельмгольца. Устремим точку х на поверхность в точку г и воспользуемся при выполнении предельного перехода соотношениями (2.15а) и (2.166). В результате получим [c.63]

Работы, относящиеся к данной задаче, можно разделить на две группы. В одних излучатель изменяют похожим на него излучателем другой формы, для которой можно применять аналитические методы, в других даны численные методы, использующие интегральное уравнение Гельмгольца [88, 95, 136, 137]. [c.97]

Ниже приведены результаты, полученные в работе [25], основанные на численном решении интегрального уравнения Гельмгольца (2.17). Рассмотрим конечный цилиндр (рис. 2.13) с заданным осесимметричным распределением колебательной скорости на его поверхности и на торцах. Без существенных усложнений решается также и смешанная задача, когда на одной части поверхности задана колебательная скорость, а на другой — звуковое давление. [c.97]

Интегральное уравнение Гельмгольца (см. п. 2.2.2) не дает однозначного решения, когда волновое число к равно одному из характеристических или критических чисел (определяющих резонансные частоты) объема среды, вытесняемого телом при граничном условии р s = О (среда в объеме с акустически мягкими стенками). Для конечного по высоте цилиндра набор соответствующих значений параметра ка определяется в виде [c.102]

Импеданс излучения круглого поршневого излучателя конечной высоты. Описанный выше алгоритм численного решения интегрального уравнения Гельмгольца позволяет решить и другую практически важную задачу — определить импеданс излучения круглого поршневого излучателя конечной высоты. Для этого следует считать, что на торцовых поверхностях цилиндра (см. рис. 2.13) задана нормальная составляющая колебательной скорости, а на боковой поверхности полагаются равными нулю либо радиальная составляющая колебательной скорости, либо звуковое давление (акустически жесткая или акустически мягкая боковая поверхность соответственно). Импеданс излучения торца цилиндра определится при этом выражением [c.106]

Боголюбовым было показано, что частичные функции распределения s(qi,..., 4s) могут быть выражены через функциональные производные от энергии Гельмгольца по внешнему полю в пределе, когда это поле равно нулю. Такое функциональное дифференцирование энергии Гельмгольца привело к определению прямой корреляционной функции с (г) в виде интегрального уравнения [c.290]

Значение функции Грина состоит не только в том, что для некоторых областей частного вида с ее помощью получается явное (в интегральной форме) представление для решения. Важным является также возможность ее использования в качественных исследованиях. Для иллюстрации сказанного обратимся к вопросу о разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца. [c.111]

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ [c.55]

Можно несколько иначе привести уравнение Гельмгольца к интегральному уравнению [3]. [c.58]

Взаимодействие волн с трещиной конечных размеров может быть исследовано в эллиптических координатах [5, 80]. Покажем, как задача дифракции антиплоской волны на конечной трещине сводится к системе дуальных интегральных уравнений [130]. Рассматриваемая трещина интерпретируется разрезом длиной 2а вдоль оси Ох] (рис. 6.5). В постановке антиплоской задачи ( 1 главы 1) перемещение w удовлетворяет уравнению Гельмгольца, а не равные нулю напряжения определяются формулами [c.133]

Таким образом, уравнение Гельмгольца относительно функции двух переменных путем прямого интегрального преобразования Фурье сводят к уравнению для трансформанты г, т) [c.235]

Соответствие между интегральными уравнениями (25) и препятствиями Р не является взаимно однозначным из-за наличия параметра М. Поэтому возникает основной вопрос в каком смысле (если о нем можно говорить) корректно поставлена задача Гельмгольца, рассмотренная в 36 Этот трудный вопрос еще не разрешен полностью даже для плоских течений, имеющих ось симметрии. [c.97]

Интегральные операторы с ядрами, имеющими слабую особенность. При рассмотрении задач дифракции существенную роль будет играть следующий факт интегральные операторы на поверхности 5 в или на кривой 5 в порождаемые потенциалами простого и двойного слоя для уравнения Гельмгольца (в частности, оператор (30.5)), — это ПДО порядка —1 (см. определения ниже, в п. 3). Это будет показано в 36 и 37. Будут вычислены также главные символы операторов, отвечающих потенциалам простого слоя. Для подготовки к этому рассмотрим сначала интегральные операторы общего вида в К" с ядрами, однородными в обобщенном смысле порядка б > —п [c.319]

Полагая G = f и используя уравнение (4.2.9) в соотношении (4.2.1), получаем интегральную теорему Гельмгольца — Кирхгофа (которую называют также теоремой Грина) [c.254]

К стр. 141.) Метод граничных элементов объединил в себе и метод интегральных уравнений, и метод конечных элементов и, таким образом, он заключает в себе и аналитический метод, и численный расчет. Поведение внутренней области описывается в методе граничных элементов граничными интегральными уравнениями, граница области представляется конечными элементами. Право иа существование метода граничных элементов дает его эффективность для весьма удлиненных областей и тел, когда метод конечных элементов неэффективен из-за невозможности с необходимой точностью описать поведение модели При ее дискретизации. Это подробно проиллюстрировано при решении дифференциальных уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца с различными краевыми условиями. Существенным ограничением метода граничных элементов является то, что он пригоден только для решения линейных задач. [c.326]

В принципе общее решение интегро-дифференциального уравнения (23) можно получить, приведя его к системе двух связанных интегральных уравнений Фредгольма для Q и d(X dv на поверхности. Тогда величину Q в любой точке внутри среды можно получить, решая уравнение (10) при условии, что Q принимает указанные значения на границе. Это нетрудно сделать обычными методами, используя функции Грина или интегральную формулу Гельмгольца — Кирхгофа (см, уравнение (8,3.7)) [c.109]

Таким образом, с учетом нулевых начальных условий задача свелась к решению двух начально-краевых задач (2.75), (2.76) и (2.75), (2.78). Как отмечалось выше, для их решения целесообразно использовать интегральное преобразование по времени. Применив к волновым уравнениям (2.75) и граничным условиям (2.76), (2.78) преобразование Лапласа (Д.38) с учетом нулевых начальных условий получим уравнения Гельмгольца [c.59]

Общие соотношения. Уравнения Гельмгольца при наличии областей завихренности в безграничной области допускают неизменность во времени ряда физических характеристик. Это обстоятельство представляет не только теоретический интерес, но существенно при проверке корректности численных алгоритмов расчета вихревых течений. Вопрос об инвариантах вихревого движения частично затрагивал А.Пуанкаре (201]. Наиболее систематическое обобщение данного вопроса содержится в [245], где установлена не только инвариантность ряда интегральных комбинаций полей завихренности, но и для вязкой жидкости найдены общие законы вырождения величин, названных моментами завихренности. [c.41]

Метод Кирхгофа решения дифракционных задач состоит в использовании интегральной теоремы, согласно которой значение функции и, являющейся решением скалярного уравнения Гельмгольца, в произвольной точке М (х, у, г), находящейся внутри замкнутого объема, выражается через значение функции м и ее первой производной на поверхности, ограничивающей данный объем. [c.245]

Можно также вычислить интегральную молярную теплоту смешения (х ) при помощи уравнения Гиббса—Гельмгольца, если известна температурная зависимость свободной энергии. Это уравнение имеет вид [c.40]

Начало основных понятий теории интегральных инвариантов можно найти в гидродинамике при выводе уравнений движения жидкости и в исследованиях вихревых движений идеальной жидкости, выполненных Г. Гельмгольцем и Кельвином вместе с тем можно увидеть частные примеры интегральных инвариантов и в работе Лагранжа о методе вариации произвольных постоянных. [c.36]

В методе переменного действия развивается подход, состоящий в использовании способов синхронного, асинхронного варьирования и варьирования по Гельмгольцу. Среди полученных интегральных равенств (заметки 14-17) центральное интегральное равенство, составленное на основе центрального уравнения Лагранжа при асинхронном [c.13]

Комбинированный метод. В работе [137] предложен способ, позволяюидай использовать преимущества двух описанных выше методов — интегрального уравнения Гельмгольца для поля на поверхности (см. п. 2.2.2) и интегрального уравнения для внутренней области (см. п. 2.2.4) сохранение устойчивости решения при возрастании числа и отсутствие потери точности на частотах, близких к резонансным. [c.73]

Для задач Дирихле и Неймана в случае уравнения Гельмгольца можно построить интегральные уравнения, аналогичные уравнениям (7.8) и (7.9), на основе потенциалов простого и двойного слоев, когда в качестве фундаментального решения берется функция [c.112]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

Для определения потенциала отраженных волн воспользуемся интегральным преобразованием Ханкеля [3]. С этой целью домножим уравнение Гельмгольца относительно ue в круговых цилиндрических координатах на rUj l) и проинтегрируем по л от О до 00. Получим [c.139]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

В 1967 ГОД У. Д. Монтгомери показал, что объект с бесконечной апертурой будет самовоспроизводиться при распространении, если его спектр лежит на кольцах зонной пластинки [8]. Исходя из интегрального представления решения уравнения Гельмгольца, [c.470]

БелоносовС. М., Интегральные уравнения красных задач для уравнений Лапласа н Гельмгольца в случае io.i вращения. Сб. Вычислительные снсте ш , Изд-во СО АН F, Новосибирск, 1964, вып. 12, стр. 5—25. [c.453]

Задача (2.14) применительно к основанию в виде обычного полупространства (в этом случае h t) = Ki, t ), где Ko z)—функция Макдональда) впервые была решена В. Л. Рвачевым [86, 87. Этому автору удалось получить [86] точное решение соответствующего интегрального уравнения (2.17) в виде ряда по функции Матье. Для этого он свел решение упомянутого уравнения к двумерной задаче Дирихле для уравнення Гельмгольца, заданного вне отрезка. [c.291]

Базируясь на работе Д. Людвига [2] и на интегральных априорных оценках решений уравнения Гельмгольца, К. Моравец и Д. Людвиг [1] строго оправдали лучевые разложения функции Грина задачи Дирихле в освещенной области и асимптотические формулы для нее в полутени. [c.446]

Во всех рассмотренных в работе [183] задачах реализован единый подход, который используется для многих задач математической физики. Сущность его заключается в следующем. Для каждой области существования звукового (электромагнитного) поля на основе выбора соответствующих частных региений уравнения Гельмгольца строится такая их совокупность, которую мы называем общим решением граничной задачи. Это не совсем традиционное для математической физики понятие означает, что каждый раз мы строим некоторую совокупность частных решений уравнения Гельмгольца, которая содержит достаточно произвола для того, чтобы удовлетворить произвольное граничное условие для скорости или давления на поверхности, ограничивающей область существования поля. Само доказательство такой возможности обычно основано на использовании свойств функций штурм-лиувиллевского типа [152]. В частности, одно из важнейших их свойств — свойство ортогональности позволяет в последующем свести задачу определения произвольных постоянных и функций в общем представлении характеристик поля к решению простых систем линейных алгебраических уравнений. Задача несколько усложняется, если на граничной поверхности, совпадающей с координатной поверхностью, заданы смешанные граничные условия В этом случае на одной части границы задана нормаль ная составляющая скорости, а на другой — давление. Такие граничные условия приводят к довольно сложным системам интегральных или алгебраических уравнений, для решения которых не предложены к настоящему времени методы, эффективные для произвольной длины волны. [c.13]

Использование интегрального уравнения для внутренней области. Вернемся к интегральной формуле Гельмгольца (2.11) и устремим точку наблюдения уже не на поверхность, а во внутреннюю область. В этом случае левая часть скачком обратится в нуль. Доказательство такого поведения функхщи р содержится в работе [63]. Обращение в нуль левой части формулы (2.11) также следует из соотношений (2.15а) и (2.16а). Действительно, р(х ) = F(x ) — Я(х ), где F vi Н определены выражениями (2.14), причем Ц-(у) = р у), а(У) = дру/дпу. Тогда р(х ) = F(х ) - Н(х ) ц(х) = р(х ) м(х) = 0. Отсюдд следует, что для точки X, находящейся во внутренней области, должно выполняться равенство [c.70]

Переходная матрица. В работе [148] предложен метод решения задачи дифpaкu и звука на поверхности произвольной формы, соединяющей разделение переменных в уравнении Гельмгольца с решением интегрального уравнения для внутренней области (см. п. 2.2.4). [c.86]

Исходные сведения. Моделирование электромагнитных полей собственных волн в однородных волноводах выполняется с помощью различных аналитических и численных методов [191]. Поле многопроводной ЛП с однородным магнитодиэлектрическим заполнением, работающей в режиме Т-волн, определяется в результате решения уравнения Лапласа. Этим достигается определенное упрощение задачи по сравнению с общим случаем, когда соответствующее уравнение является уравнением Гельмгольца. Для вычисления полей и погонных параметров полосковых и коаксиальных ЛП широко используют методы конформных отображений, вариациоиные методы, методы интегральных уравнений и т. д. Методы интегральных уравнений [104. .. 106, 192. .. 195] во многих отношениях оказываются наиболее эффективными, что и обусловливает их широкое распространение. Используем этот подход для разработки алгоритма анализа ЛП с однородным и кусочно-однородным магнитоднэлектрическим заполнением. [c.112]

Видоизменение принципа Даламбера для систем е неинте-грируемыми связями. Непосредственное применение принципа Даламбера к выводу уравнений движения систем с неинтегрируемыми связями представляет то неудобство, что в состав аналитического выражения принципа входят дифференциальные выражения второго порядка, а это иногда значительно затрудняет переход от одних переменных к другим. С другой стороны, интегральные принципы, а именно, принципы Гамильтона, Лагранжа, Гельмгольца, хотя и содержат выражения первого порядка, но они несправедлявы для систем с неинтегрируемыми связями. Между тем, если равенство, выражающее принцип Даламбера, подвергнуть одному, почти очевидному, преобразованию, то мы получим формулу, весьма удобную для приложений, содержащую выражения первого порядка и по внешнему виду аналогичную формуле для вариации гамильтонова действия. [c.596]

В настоящей работе мы сосредоточили внимание на применении метода виртуального варьирования и метода переменного действия в области механики в связи с изучением классических дифференциальных и интегральных принципов. Метод переменного действия позволяет изучать основные образы всех трёх картин механики силовой, энергетической и геометрической. Без понятия о действии не обходятся и в других областях естествознания. Вспомним, например, принцип неопределённости в квантовой механике законы сохранения и симметрии уравнений движения в математической физике теорию интегральных инвариантов построение аналитической динамики систем Гельмгольца, Биркгофа и Намбу и т. д. Эти и многие другие направления исследования остались вне рамок книги. Обобщая сказанное, можно заметить важнейшую роль понятия о действии в развитии теории несвободных динамических систем и в становлении новой парадигмы науки в целом. Достаточно отметить, что понятие о действии стоит в одном ряду с понятиями энтропии и информации, которые являются концептуальными для естествознания. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...