Дифференциальное уравнение Гельмгольца

Поле этого резонатора описывается дифференциальным уравнением Гельмгольца, которое в цилиндрических координатах (симметрия задачи — цилиндрическая) имеет вид [c.93]

Введя вектор-потенциал А электромагнитного поля [5], получим в нащих обозначениях дифференциальное уравнение Гельмгольца [c.383]

Различные термодинамические потенциалы связаны между собой так, что если известны одни из них, то можно найти другие. При этом внутренняя энергия U связана с энергией Гельмгольца F таким же дифференциальным уравнением, как энтальпия Н с энергией Гиббса Ф. Действительно, из F= U —TS и выражения (5.17) получаем уравнения Гиббса — Гельмгольца [c.108]

ГЕЛЬМГОЛЬЦА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение Аи- -Хи О, где Д — Лапласа оператор, i — постоянная при Г. у. переходит в Лапласа [c.429]

Уравнение (3.6), которое назовем обобщенным уравнением Гельмгольца, является единственным дифференциальным уравнением, к решению которого сводится задача, определения напряженно-деформированного состояния в слое эластомера. [c.40]

Эти соотношения вместе с уравнениями Гельмгольца, которым должны удовлетворять (f-случай) и (Я-случай) составляющие векторов напряженности электромагнитного поля, являются по существу скалярным аналогом векторных дифференциальных уравнений Максвелла для двухмерных (отсутствует зависимость от координаты х) задач электродинамики. [c.17]

Дифференциальное уравнение (10.72) представляет собой уравнение Гельмгольца, описывающее рассеяние гармонической волны. В задачах рассеяния полную волну и в каждой точке удобно разделять на две части (1) известная падающая волна ц и (2) волна рассеяния Ц , которую нужно определить, т. е. [c.298]

После подстановки в уравнение Гельмгольца получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно ф(2) [c.320]

Следовательно, несимметричное относительно переменных х, у, г дифференциальное уравнение (2.10) при подстановке (2.24) приводится к симметричному уравнению Гельмгольца [c.232]

Теорема Томсона. В 1858 году Гельмгольц в своем знаменитом мемуаре установил дифференциальные уравнения для вектора вихря 2, нз которых он вывел фундаментальные теоремы о сохранении вихревых линий и интенсивностей вихревых трубок. Впоследствии теоремы Гельмгольца были иным путем доказаны В. Томсоном. Метод [c.147]

Сохраняемость векторных линий. Ввиду важности установленных только что теорем Гельмгольца, мы докажем их еще раз иным методом, исходя из дифференциальных уравнений для вихря скорости. Но предварительно нам нужно остановиться на общем вопросе об условиях сохраняемости векторных линий. [c.154]

К стр. 141.) Метод граничных элементов объединил в себе и метод интегральных уравнений, и метод конечных элементов и, таким образом, он заключает в себе и аналитический метод, и численный расчет. Поведение внутренней области описывается в методе граничных элементов граничными интегральными уравнениями, граница области представляется конечными элементами. Право иа существование метода граничных элементов дает его эффективность для весьма удлиненных областей и тел, когда метод конечных элементов неэффективен из-за невозможности с необходимой точностью описать поведение модели При ее дискретизации. Это подробно проиллюстрировано при решении дифференциальных уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца с различными краевыми условиями. Существенным ограничением метода граничных элементов является то, что он пригоден только для решения линейных задач. [c.326]

Показано, что существует 11 ортогональных систем в которых уравнение Гельмгольца разделяется на обычные дифференциальные уравнения (табл. 2-1). [c.108]

В принципе общее решение интегро-дифференциального уравнения (23) можно получить, приведя его к системе двух связанных интегральных уравнений Фредгольма для Q и d(X dv на поверхности. Тогда величину Q в любой точке внутри среды можно получить, решая уравнение (10) при условии, что Q принимает указанные значения на границе. Это нетрудно сделать обычными методами, используя функции Грина или интегральную формулу Гельмгольца — Кирхгофа (см, уравнение (8,3.7)) [c.109]

При решении задачи, следуя [551], для сведения уравнения Гельмгольца (2.29) к обыкновенным дифференциальным уравнениям используем косинус-преобразование Фурье [c.44]

Остановимся несколько подробнее на исследовании многосвязных задач теории оболочек. Проиллюстрируем намечающиеся здесь подходы на примере пологой сферической оболочки, ослабленной несколькими круговыми отверстиями [5.42]. Основная идея здесь, так же как и в плоской задаче, заключается в наложении решений основного дифференциального уравнения, каждое из которых имеет смысл на внешности одного из отверстий. Если вспомнить, что решение дифференциального уравнения пологой сферической оболочки складывается (при отсутствии поверхностных сил) из произвольной гармонической функции и решения уравнения Гельмгольца, то можно записать [c.318]

Движение частицы жидкости в поле п точечных вихрей описывается уравнениями (2.1). Согласно теореме Гельмгольца—Томсона, вихри вморожены в идеальную жидкость и их интенсивности не меняются со временем. Следовательно, движение самих вихрей можно описать системой дифференциальных уравнений [c.26]

Таким образом, если Q wi t), W2 t)) обращается в нуль при i = О, то эта функция тождественный нуль для всех значений t. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы fi вморожены в поток системы (6.5). Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. [c.144]

Из (6.15) и (6.17) получаем обобщенную теорему Бернулли при фиксированных значениях 1 функция ае постоянна на вихревых многообразиях. Следовательно, уравнения (6.16) представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающую канонические уравнения Гамильтона. Поскольку вихревые многообразия нумеруются координатами хх,..., Х2к, то отсюда снова получаем теорему Гельмгольца—Томсона. [c.145]

Метод, которым мы воспользуемся при построении собствен ных функций типа шепчущей галереи, может быть назван ме годом эталонной задачи. По своей основной идее метод эталон ной задачи для уравнения Гельмгольца (уравнения в частных производных) близок к методу эталонного уравнения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.158]

Показать аналогию дифференциальных уравнений, описывающих колебательные процессы в акустических и электрических системах, на примере резонатора Гельмгольца и простого электрического контура. [c.277]

Схема феноменологического метода изучения процессов теплоотдачи. Схема феноменологического метода исследования процессов теплоотдачи показана на рис. 4.2. В результате использования четырех этапов феноменологического метода получают дифференциальные уравнения конвективного теплообмена (уравнения Фурье—Остроградского, несжимаемости, Навье—Стокса или Гельмгольца). К этим [c.238]

Из (5.1.28) видно, что дифференциальный оператор Л допускает разложение в произведение бигармонического оператора и двух операторов Гельмгольца. Поэтому множество решений уравнения (5.1.27) включает в себя решения уравнений [c.137]

Подставляя эту величину, а также ДС из уравнения изотермы в уравнение Гиббса — Гельмгольца, получим изобару Вант — Гоффа в дифференциальной форме [c.64]

Система уравнений движения динамической теории упругости (Д.4) или эквивалентные ей системы (Д.7), (Д.8) очень сложны для интегрирования из-за сложной структуры дифференциальных операторов. Однако процесс интегрирования можно упростить, используя теорему Гельмгольца, которая позволяет любое гладкое векторное поле представить в виде. [c.198]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

В данном разделе рассматривается итеративный ши оритм расчета ДОЭ типа обобщенных аксиконов, формирующих волны с продольной периодичностью, обла-даюп1 1е модовым характером. Пусть комплексная амплитуда монохроматического светового поля II х, у, г), удовлетворяет дифференциальному уравнению Гельмгольца (см. (6.13) при п = 1) [c.476]

Для основных термодинамических величин можно составить несколько сотен частных производных первого порядка. Число частных производных второго порядка исчисляется десятками тысяч. Для получения наиболее употребительных дифференциальных уравнений можно воспользоваться таблицами Бриджмена [8] (табл. 2.1). В табл. 2.1 f= Fim — удельная энергия Гельмгольца (изохор- [c.114]

Покгаано, что в первом приближении тео рии слоя определяющие соотношения содержат только одно дифференциальное уравнение для функции относительного приращения объема. В частных случаях оно является уравнением Гельмгольца. [c.31]

Из теории дифференциальных уравнений известно, что задача (VII.91)—(VII.92) имеет лишь тривиальное решение ф = 0 и, следовательно, в случае шарнирного опираиия краев уравнение Гельмгольца исключается из рассмотрения, что значительно облегчает задачу расчета оболочки. С математической точки зрения это означает, что выделен класс граничных задач для дифференциальных уравнений технической теории трансверсальио-изотропных оболочек, для которого справедлива следующая теорема решение системы дифференциальных уравнений с граничными условиями (VI 1.79) эквивалентно решению более простой системы восьмого порядка (VII.89) иа базе граничных условий (VII.90). [c.147]

Наконец, в статье О распределении скоростей внутри вихря кругового сечения (там же. Выи. 100, 1929) А.А. Саткевич ставит в порядок дня вопрос об изучении скоростей потока внутри вихревых областей, указывая на неопределенность регаения этой задачи, получаемого по методу Гельмгольца, и на замалчивание этого вопроса больгаинством авторов. А.А. Саткевич рассматривает в своей статье распределение скоростей внутри прямолинейного вихря кругового попе-эечного сечения, причем корни зависимости угловой скорости uj внутри вихря от расстояния г его точек от центра игцет в вязких свойствах жидкости. В результате такой постановки вопроса он приходит к дифференциальному уравнению, приводимому в курсе Lamb а, и после интегрирования его приходит к зависимости [c.138]

Программа расчета пассивных и активных резонаторов мето -дом дифференциальных уравнений. Исходным уравнением это го метода является уравнение Гельмгольца [c.117]

Первые исследования гидродинамической неустойчивости для случая идеальной жидкости были предприняты еш,е в XIX в. Так, в 1868 г. Г. Гельмгольц показал абсолютную неустойчивость тангенциальных разрывов скорости в потоке. Обширные исследования устойчивости и неустойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости при малых возмуш ениях провел Рэлей в 1880—1916 гг. Приложение аналогичных методов к течениям 296 вязкой жидкости было начато в начале XX в. В. Орром и А. Зоммерфель-дом , которые свели анализ устойчивости малых возмущений к исследованию некоторого обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка (содержаш,его коэффициент вязкости множителем при старшей производной). [c.296]

Разработку новых методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики мы находим главным образом в трудах Гамильтона, французского ученого Пуассона (1781—1840) и выдающегося немецкого математика Якоби (1804—1851). В связи с прогрессом машиностроения, железнодорожной и строительной техники, с необходимостью исследования -движения тел в сопротивляющейся среде в XIX в. и в особенности в текущем столетии весьма быстро и успешно развивается механика сплошной среды — гидро- и аэромеханика и теория упругости. Развитие этих разделов теоретической механики, представляющих собой в настоящее время обширные самостоятельные дисциплины, связано с именами таких крупнейших ученых, как Пуассон, Ляме, Навье, Коши, Сен-Венан (во Франции), Гельмгольц, Кирхгоф, Клебш, Мор, Прандтль (в Германии), Стокс, Грин, Томсон, Рэлей (в Англии) и многих других. [c.22]

Задача о колебаниях в трехосном эллипсоидальном резонаторе может быть основной для решения широкого класса прикладных задач, в частности, в работе [145] дапо решение задачи об электромагнитных колебаниях эллипсоида в асимптотическом приближении [146], опира-юш ееся на решение, данное ниже. Для решения уравнения Гельмгольца (5.47) в нем производится разделение переменных, а полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения Ламэ решаются методом эталонных уравнений [146]. При этом широко используется информация, которую дает изложенное в 5.3 геометрооптическое решение. [c.284]

В случае гармойического нагружения упругого тела (Д.46) с течением времени начальные условия перестают оказывать существенное влияние на ход динамических процессов. Такие процессы называются установивщимися и описываются не дифференциальными уравнениями гиперболического типа (Д.4) или (Д.7), (Д.8), а эллиптическими дифференциальными уравнениями типа Гельмгольца [c.204]

Таким образом, оказывается, что, когда известна единственная функция L, все дифференциальные уравнения движения могут быть выведены просто частным дифференцированием. Функция L называется функцией Лагранжа. Эту же функцию Гельмгольц назвал кинетическим потенциалом (Helmholtz. — relle s Journal, 1886, t. 100). [c.340]

Рэлей особо отмечает специфические особенности систем, способных генерировать незатухающие колебания. Уже при описании камертонного прерывателя Гельмгольца и обсуждении его действия ( 64) Рэлей подчеркивает существенно неконсервативный характер системы и роль разности фаз между током в электромагните и положением ножек камертона ). В 68а он снова возвращается к такого рода устройствам и перечисляет ряд примеров акустических и механических систем, которые ныне, следуя А. А. Андронову, мы называем автоколебательными и общая теория которых была развита за последние десятилетия. Можно констатировать, что еще задолго до возникновения самих проблем, вызвавших к жизни современную теорию колебаний, Рэлей с полной ясностью представлял себе все самые существенные черты автоколебательных систем и прежде всего нелинейность тех дифференциальных уравнений, которые способны дать адэкватное описание их поведения. [c.12]

Несмотря на видимую простоту одномерного уравнения Гельмгольца (3.3), найти его решения в квадратурах удается только в исключительных случаях. Общим приемом, позволяющим естественным образом отыскивать практически все известные точные аналитические решения, является метод сведения (редукции) уравнения (3.3) при помощи замены зависимой и независимой переменных к какому-либо опорному дифференциальному уравнению, решения которого известны. (О редукции обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка см., например, [131, ч. 1, 25].) В качестве опорных целесообразно брать уравнения возможно более общего вида, т.е. содержащие в козффициентах и, следовательно, в решениях возможно бопыдее число свободных параметров. [c.48]

Из приведенных безразмерных дифференциальных уравнений отчетливо видно происхождение каждого из критериев. Так, число Нуссельта получено из первого исходного уравнения системы (5.4), которое определяет искомую величину qp (или а), критерий Пекле — из уравнения Фурье—Остроградского, а критерий Рейнольдса— из уравнения Гельмгольца. Уравнения (5.13) часто представляют в эквивалентной форме Nu = /з (Lf, 2, Re, Pe/Re), где Pe/Re = uoklapj X XIv/(i o i)] = Безразмерную величину называют критерием Прандтля и обозначают Рг = Тогда уравнение подобия для теплоотдачи тела принимает следующий вид [c.243]

Видоизменение принципа Даламбера для систем е неинте-грируемыми связями. Непосредственное применение принципа Даламбера к выводу уравнений движения систем с неинтегрируемыми связями представляет то неудобство, что в состав аналитического выражения принципа входят дифференциальные выражения второго порядка, а это иногда значительно затрудняет переход от одних переменных к другим. С другой стороны, интегральные принципы, а именно, принципы Гамильтона, Лагранжа, Гельмгольца, хотя и содержат выражения первого порядка, но они несправедлявы для систем с неинтегрируемыми связями. Между тем, если равенство, выражающее принцип Даламбера, подвергнуть одному, почти очевидному, преобразованию, то мы получим формулу, весьма удобную для приложений, содержащую выражения первого порядка и по внешнему виду аналогичную формуле для вариации гамильтонова действия. [c.596]

В настоящей работе мы сосредоточили внимание на применении метода виртуального варьирования и метода переменного действия в области механики в связи с изучением классических дифференциальных и интегральных принципов. Метод переменного действия позволяет изучать основные образы всех трёх картин механики силовой, энергетической и геометрической. Без понятия о действии не обходятся и в других областях естествознания. Вспомним, например, принцип неопределённости в квантовой механике законы сохранения и симметрии уравнений движения в математической физике теорию интегральных инвариантов построение аналитической динамики систем Гельмгольца, Биркгофа и Намбу и т. д. Эти и многие другие направления исследования остались вне рамок книги. Обобщая сказанное, можно заметить важнейшую роль понятия о действии в развитии теории несвободных динамических систем и в становлении новой парадигмы науки в целом. Достаточно отметить, что понятие о действии стоит в одном ряду с понятиями энтропии и информации, которые являются концептуальными для естествознания. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...