Аппроксимация краевых условий

При решении краевых задач, естественно, возникает вопрос о разностной аппроксимации краевых условий. Допустим, что решается краевая задача для некоторой области, которая заменяется совокупностью узлов (среди них будут такие, которые окажутся расположенными на границе области и за ее пределами). Оставшиеся узлы делятся на две группы, называемые регулярными и нерегулярными. К первой относятся такие узлы, для которых образованные шаблоны будут состоять только из внутренних узлов, ко второй группе — остальные. В нерегулярных узлах следует получить разностные соотношения, приближенно эквивалентные краевым условиям. Наиболее простой и. [c.173]

Установим теперь погрешность самого решения в зависимости от шагов сетки hui. Раньше была установлена погрешность замены дифференциального уравнения разностным и погрешность разностной аппроксимации краевого условия. [c.177]

Аппроксимация краевых условий. Рассмотрим их по отдельности. Граничные условия на внешней поверхности ( 11.9), записанные в перемещениях, имеют вид [c.198]

Аппроксимация краевых условий [c.114]

Обрабатывающие модули обеспечивают решение конкретных краевых задач, относящихся к рассматриваемому классу. Кроме того, к этим модулям могут относиться базисные модули, обеспечивающие а) трансляцию исходных данных (геометрия области, краевые условия, вид исходного уравнения) на язык внутреннего описания, принятый в комплексе б) построение сетки (определение по номеру узла его координат и номеров соседних с ним узлов) в) построение дискретных аппроксимаций (формирование матрицы коэффициентов и вектора правых частей системы алгебраических уравнений). [c.51]

Метод разностной аппроксимации заключается в том, что все производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяют отнощением конечных разностей соответствующих величин, взятых в узлах сетки. Этим способом были составлены разностные схемы (3.10) и (3.12). Разностная аппроксимация дифференциальных операторов может быть представлена в разной форме. Например, производная йи/йх аппроксимируется схемами [c.62]

Прежде чем сформулировать соответствующее определение, введем ряд обозначений. Пусть R(u)=0 — вся совокупность уравнений, входящих в краевую задачу, т. е. основное дифференциальное уравнение и краевые условия. Уравнения сеточной краевой задачи запишем в аналогичном в иде Rh(Uh)=0. Погрешностью аппроксимации схемы на точном решении называется сеточная функция ah = Rh u), возникающая при подстановке точного решения краевой задачи в уравнение схемы. [c.76]

Рассмотрим влияние краевых условий на поведение производной от сплайновой функции, аппроксимирующей функцию у = = х , при отсутствии дополнительных интервалов разбиения (рис. 2) и при введении таких интервалов (рис. 3). На рис. 3 цифрой 1 отмечены точки сплайн-аппроксимации, а цифрой 2 — точки первой производной для параметра сглаживания S, равного 50. [c.157]

При численном решении краевых задач для тел сложной формы в прямоугольных сетках возникают большие трудности, связанные с аппроксимацией граничных условий, поэтому в настоящей работе используется криволинейная ортогональная система координат, соответствующая конформному отображению кругового кольца на двухсвязную область, занятую торцовым сечением зубчатого колеса. Методы получения таких отображений разработаны достаточно хорошо [5], [c.129]

При использовании метода конечных разностей (метода сеток) область непрерывного изменения аргумента заменяется конечным множеством точек, являющихся узлами сетки, которая наносится на упомянутую область. Таким образом, функции, определяемые в узлах сетки, становятся функциями дискретного аргумента. Что касается производных в дифференциальных уравнениях и в краевых условиях, то они аппроксимируются конечными разностями, в результате чего математическая модель явления приводится к системе алгебраических уравнений. Существуют различные способы конечноразностной аппроксимации, но чаще всего используют разложение функции в ряд Тэйлора, оставляя в нем конечное число членов и отбрасывая члены, представляющие собой малые величины более высокого порядка. [c.70]

После такой дифференциально-разностной аппроксимации система уравнений (VI.8) совместно с краевыми условиями может быть решена одним из аналитических или численных методов. [c.73]

Дальнейший расчёт возможен, если известно распределение электрич. и магн. полей. При заданных краевых условиях поля вычисляются с помощью ур-ния Лапласа или с помощью ур-ния Пуассона при учёте влияния пространственного заряда. Аналитич. решение найдено лишь в нек-рых простейших случаях. Поэтому для аппроксимации экспериментально измеренных полей предложен ряд функций. Однако большинство задач решается численными методами с помощью ЭВМ. Широко используются методы сеток с прямоугольными (метод конечных разностей) и с треугольными (метод конечных элементов) ячейками. В обоих случаях вычисляют потенциалы при помощи сетки, наложенной на рассчитываемую область поля, включая границы, и формул, связывающих потенциал текущей точ- [c.546]

Для аппроксимации второго краевого условия (21.13) вычтем почленно из ряда (21.5) ряд (21.6). Пренебрегая слагаемым с v ", получим выражение первой производной через конечные разности [c.481]

Решения конечно-разностных уравнений сходятся к точному решению краевой задачи при h , hy- 0. Скорость сходимости зависит от порядка аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий. Поэтому важно, чтобы погрешности аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий имели одинаковый порядок. В рассмотренном примере погрешность решения равна [c.487]

Метод конечных разностей (МКР) основан на замене непрерывных функций и их производных в дифференциальных уравнениях дискретными значениями и приведении уравнений к алгебраической системе высокого порядка. Эффективность решения задач в разностной форме зависит от особенностей разностной аппроксимации дифференциальных уравнений, вида краевых условий и-конфигурации области, в которой ищется решение. [c.76]

Применение подобного подхода в случае пластин и оболочек не приведет к таким же уточнениям, как для балок, особенно если края криволинейные или условия быстро изменяются вдоль края, но это лучше, чем ничего, когда важно получить точные условия на краях и когда, как обычно, не имеется лучшего метода уточнения при этом достаточно хорошая аппроксимация получается, если радиус кривизны и расстояние, на котором происходит заметное изменение краевых условий, велики о сравнению с толщиной, что, как правило, справедливо даже для сравнительно толстых пластин и оболочек. [c.188]

Разработанный здесь метод численного определения матричной функции Грина обладает рядом достоинств, позволяющих рекомендовать его к широкому практическому использованию. В нем эффективно преодолевается сильная численная неустойчивость дифференциальных уравнений неклассической теории слоистых оболочек не вызывает никаких затруднений также и переменность коэффициентов этих уравнений. Сам метод матричной функции Грина как метод решения краевых задач механики оболочек имеет известные преимущества перед другими. Так, в нем не возникает проблем, связанных с построением ортогонального координатного базиса, как в методе Бубнова — Галеркина, или с большой размерностью, а часто и плохой обусловленностью алгебраической системы, как в методе конечных разностей. В задачах устойчивости оболочек использование данного метода позволяет легко и естественно учесть такие факторы, как до-критические деформации, неоднородность распределения докритических усилий в отсчетной поверхности оболочки, краевые условия задачи. В то же время число точек разбиения отрезка интегрирования, необходимое для аппроксимации интегрального оператора, относительно невелико, что приводит к алгебраической задаче невысокой размерности. [c.222]

Использование однородных решений для удовлетворения краевым условиям на поверхностях, достаточно сильно отличных от координатных, требует привлечения более сложных методов аппроксимации [49, 170, 194, 268, 355, 356, 370]. [c.11]

Главная особенность дифференциальных уравнений в частных производных с точки зрения их моделирования на АВМ заключается в том, что они имеют более чем одну независимую переменную. Решение уравнений на АВМ находится в функции только одной переменной — времени. Поскольку АВМ предназначена для моделирования обыкновенных дифференциальных уравнений, в основном все методы решения уравнений в частных производных сводятся к их аппроксимации обыкновенными дифференциальными уравнениями с краевыми условиями. Основу этих методов составляет приближенная замена частных производных конечными разностями с помощью разложения в ряд Тэйлора. [c.94]

Если заданы краевые условия задачи (85), кроме аппроксимации уравнения в частных производных и начальных условий необходимо аппроксимировать и краевые условия. Для этого узлы, лежащие на прямых х — О, х = nh, t = О, будем считать граничными, а остальные внутренними. Для внутренних узлов справедливо уравнение (87). Для узлов, лежащих по прямой t = О, выполняются начальные условия (88). Для узлов, лежащих на прямых X = О и х — nh, можно записать соотношения [c.136]

Входящее в (4.124) распределение р( ) заранее неизвестно и должно быть опре делено в результате решения задачи. Наличие индуцированного градиента давления придает параболической системе уравнений пограничного слоя новые свойства, связанные передачей возмущений вверх по потоку и с появлением соответствующей неединственности решения, описанной в работе [Нейланд В. Я., 1970] и выше в этой главе. Дополнительное краевой условие, задаваемое, например, на донном срезе р = 1) = В, позволяет получить единственное решение краевой задачи (4.124). Для численного решения краевых задач такого типа использован метод, опубликованный в работе [Дудин Г.Н., Лыжин Д.О., 1983]. Процедура решения заключается в задании некоторого поля скоростей и давления в области (0 1 0 Л сх)). В дальнейшем линеаризованная краевая задача (4.124) решается при известных градиенте давления, распределении давления и толщине вытеснения <5 ( ), в результате определяется новое распределение толщины вытеснения <5( ), которое не совпадает с исходным <5 ( ). Следующий этап вычислений связан с нахождением поправки А (С) к распределению толщины вытеснения. Для этого используется линейное дифференциальное уравнений второго порядка, в котором неоднородный член пропорционален разности ( ) — 5 ). Процедура вычислений повторяется при новом распределении толщины вытеснения 5+1 (е) = ( ) + Д( ) И соответствующих распределениях давления и градиента давления до тех пор, пока разность <5 ( ) — <5( ) не станет достаточно малой. Таким образом можно рассчитывать также течение и в пограничном слое с возвратными токами, используя ориентированные разности при аппроксимации конвективных производных. [c.184]

Система уравнений (5.18) с краевыми условиями (5.19), (5.20) решается методом установления с неявной схемой аппроксимации условия взаимодействия. Для упрощения предполагается, что число а = 1, 7 = 1,4, коэффициент вязкости линейно зависит от энтальпии [c.195]

Для построения разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальную задачу (8.21), введем квазиравномерную сетку и, т. е. сетку с шагом Л( ), равномерную на каждом из п участков стержня. В этом случае разностную аппроксимацию дифференциальной задачи представим в случае краевых условий первого рода следующим образом [c.197]

Отсюда легко устанавливается точность аппроксимации (4-36). В последнем выражении е — энергия активации к — газовая постоянная Т — абсолютная температура. Краевые условия для уравнений (2-9) и (4-36) [c.81]

Однозначно разрешимую краевую задачу приближенно можно решать различными методами, например, путем использования конечно-разностной аппроксимации для дифференциальной части уравнения с учетом краевых условий и аппроксимации с помощью квадратурных формул интегральной части уравнения. Кроме того, может оказаться целесообразным применение некоторого [c.85]

Если требуется, чтобы элементы матрицы передаточной функции многомерной системы, соответствующей найденной на основе принципа сложности матрице импульсных переходных функций, имели свойства того же типа, что в формулировке леммы, надо соответствующим образом определять функционалы сложности и краевые условия для элементов искомой матрицы импульсных, переходных функций. Обеспечение определенного характера стремления к нулю при I со I — оо элементов матрицы передаточной функции при S = /со необходимо для упрощения возможных дальнейших аппроксимаций найденного решения, упрощения технической реализации системы в целом либо корректирующего устройства при заданной неизменяемой части системы. [c.104]

Ниже приводятся некоторые оценки погрешности интерполяции, основанной на теории сплайнов соответствующий ал оритм рассматривался в работе [1]. Исследуется влияние краевых условий и вида сетки, в узлах которой заданы значения интерполируемой функции изучается также погрешность вычисления производных. Предлагается алгоритм аппроксимации экспериментальных данных, основанный на методе наименьших квадратов (МНК) с автоматическим выбором степени оптимального полинома, и дается сравнение этого алгоритма со сплайновой аппроксимацией при сглаживании. Приводятся некоторые рекомендации по исподьзо- [c.156]

Краткое содержание. Исследуются уравнения возмущения в общем виде. Найдено, что для потоков с краевыми условиями на бесконечности невязкостная аппроксимация совсем не учитывает влияния вязкости. Найдено также, что общепринятая теория параллельного течения недостаточна для исследования влияния вязкости. В статье представлены результаты детального исследования невязких параметров устойчивости двухмерной струи и полуструи. Предложен метод исследования вязкостных свойств. [c.109]

Аналогично примечанию (см. стр. 287 сноска ) условия устойчивости 14) и (16) не исключают отдельных возрастаний погрешностей. Это, в частности, имеет место в пристеночной зоне. В наших рассуждениях не принимались во внимание краевые условия, однако предполагалось, что рассматриваемая точка сетки, так же как и все другие, находится во внутренней области потока. Вблизи стенки следует принимать во внимание краевое условие = О, значительно влияющее на процесс движения. Поэтому вблизи стенки ошибки распространяются не только на точки сетки с < О, а ошибки, большей частью вследствие s/o =0 и т1 о = 0, будут снова влиять на внутреннюю область Другими предположениями при выводе условия (16) были 1) точка (х, у) лежит в устойчивой области в этом случае у < 0 2) возможность линеаризации уравнений ошибок 3) h и I малы настолько, что в окрестности рассматриваемой точки х, у) лежит еще достаточно большое количество точек. В двух последних предположениях отражаются трудности, которыми всегда пренебрегают при аппроксимации нелинейных дифференциальных уравнений методом конечных разностей. [c.292]

Оценка (46.32), очевидно, имеет смысл в предположении, что все неизвестные и заданные функции в уравнении (46.13) и их производные до третьего порядка включительно непрерывны во всей области. Эта оценка показывает, что погрешность аппроксимации существенно связана с формой линий тока г — г (г) и может вообще неограниченно возрастать, например в задачах внещнего обтекания. Однако практически весьма существенно, что в нащей задаче линии тока, безусловно, имеют ограниченные производные в связи с краевыми условиями и сглаживающим воздействием уравнений неразрывности в интегральной форме (46.28). [c.328]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Зависимость (3.160) иллюстрирует процесс накопления данной составляющей ошибки. Другая составляющ ая является функцией ошибок округления, матричных преобразований, погрешностей схемы линеаризации физической нелинейности, и оценка ее еще более затруднена. Приближенный метод частичного устранения погрешностей, связанных в основном с использованием явной схемы шагового расчета, предложенный Ю. М. Темисом, легко реализуется и опробован на практике [37]. Метод состоит в следующем. На наружном контуре обычно заданы краевые условия. На каждом шаге, например при расчете диска на растяжение, задают значение ANrb — f U) в виде функции от времени. В процессе счета эти величины также определяют из решения самой задачи уже с соответствующими погрешностями. Далее предполагают, что в каждом расчетном сечении радиуса ri погрешность аппроксимации пропорциональна величине самой определяемой функции. Так, ошибки при определении радиальных сил [c.104]

Концевые условия, подобные приведенньш в выражениях (2.6), которые рассматривают только результирующие силы и моменты на конце или углы наклонов, а также прогибы срединной. поверхности (или какой-либо другой специфической поверхности), можно назвать интегральными концевыми условиями. Полное удовлетворение действительным условиям на каждом" конце в общем случае означает удовлетворение уже некоторым другим, отличным от приведенных в выражениях (2.6)), условиям, причем число этих условий значительно больше двух. Точные краевые условия в задаче о балке включали бы в себя определение напряжений, перемещений (или соотношений между ними) в каждой точке поперечного сечения, а это дает теоретически бесконечное число условий. Некоторые из этих условий могут случайно оказаться удовлетворенными решениями уравнений (2.4) и (2.4а), которые получены для данного случая, так как любое решение описывает некоторое напряжение и перемещение в каждой точке поперечного сечения, и может случиться, что именно они и будут требуемыми напряжениями и перемещениями. Но в общем случае это маловероятно, и при решении уравнения четвертого порядка, полученного на основе аппроксимации Бернулли, можно быть уверенным, что удовлетворяются только два условия (т. е. на каждом конце следует изменять произвольно только два условия). Конечно, нужно использовать эти два условия, чтобы получить по возможности наилучшую аппроксимацию, удовлетворив условиям по результирующим напряжениям во всех [c.65]

Если же используются неортогональные ряды, то выражение энергии деформации будет додержать, кроме квадратов, еще и произведения неизвестных, и уравнения возможной работы будут в общем случае содержать все, или по крайней мере более одной, низвестные, и тогда требуется решать систему уравнений. Это значительно увеличивает трудности и ограничивает число членов, которое практически Можно использовать. При использовании подобных методов S задачах для пластин и оболочек, особенно в случае, когда краевые условия отличаются от условий свободног,о опирания или прогибы не малы по сравнению с толщиной и поэтому должна использоваться нелинейная теория, уравнения, вытекающие из принципа возможной работы (которые часто представляют единственный, практический путь получения какого-либо решения вообще), могут, оказаться настолько трудными для решения, что на практике используются, если позволяют время и средства, один член (метод Релея) или в лучшем случае несколько членов, и при этом может оказаться трудным указать, насколько точная аппроксимация при этом достигается. Близость аппроксимации в этом случае зависит, конечйо, от того, насколько точно с помощью одной или нескольких выбранных функций можно представить истинную форму, которая в свою очередь может быть только грубо определена из экспериментов. Хотя в случае задач о балках такие случаи либо встречаются редко, ли- j6o Имеют другие, более приемлемые решения, эти вопросы можно в сильной степени прояснить путем Простых иллюстраций на задачах о балках. [c.102]

Потребности вычислительной практики при решении двумерных задач математической физики, в частности, задач газовой динамики и теории упругости в сложных областях, требуют автоматизации расчета криволинейных разностных сеток. К таким сеткам в ряде случаев предъявляются специальные требования. Обычно желательно, чтобы расстояния между соседними узлами сетки несильно отличались между собой и углы в элементарной четырехугольной ячейке невырождались (т.е. не были близки к О и тг). Первое требование связано с точностью аппроксимации производных, входящих в соответствующие диффе ренциальные уравнения, и также как и второе, — с обусловленностью систем разностных уравнений, полученных после аппроксимации. В частности, для метода конечных элемен-тов применительно к задачам упругости [1] в оценку для числа обусловленности матрицы соответствующей системы линейных уравнений в знаменатель входит sin а, где а — минимальный угол между сторонами элементарной ячейки сетки. Кроме того, в ряде слу-чаев в зависимости от особенностей краевых условий на части границ области требуется иногда сгущать узлы. Последнее третье требование в сочетании с двумя первыми создает [c.494]

Краевую задачу (7) — (11) будем решать при помощи численных методов. Именно, перейдем от указанной системы уравнений к уравнениям в конечных разностях, используя явную схему конечно-разностной аппроксимации первого порядка, согласно методике, описанной в разд. 12,5 книги [9]. Кроме того, поскольку мы предполагаем задать скачок скорости на поверхности полупространства, эту систему разностных уравненйй дополним системой уравнений, в соответствии ско-торой осуществляется расчет процесса развития ударной волны из первоначально разрывных краевых условий. Этот метод широко применяется при решении задач газовой динамики [9]. Мы не считаем распространение такого метода на нелинейные вязкоупругие системы, анализируемые методом Лагранжа, сколь-нибудь выдающимся достижением, однако нам не известны какие-либо работы, опубликованные по этому вопросу [c.155]

Интегральные члены в формулах (2.46) выражают частное решение неоднородной системы (2.45), а внеинтегральные члены представляют общее решение соответствующей однородной системы уравнений. Присутствие в формулах (2.46) трех произвольных аналитических функций ф, -ф и означает, что при этом можно обеспечить выполнение трех краевых условий. Кроме того, формулы (2.46) позволяют строить бесконечное множество полных систем частных решений системы (2.45), при помощи которых можно решать. различные краевые задачи для областей частного вида (круг, круговое кольцо и т. п.). Эти частные системы решений можно использовать также для аппроксимации решений для областей любого вида. [c.277]

Задавшись выражениями вектора места К в актуальной коифигурации и тензора Р, содержащими некоторое число описывающих их функций материальных координат и постоянных параметров, следует составить по ним выражение функционала 1Г3. Эти функции и параметры далее разыскиваются из уравнений Эйлера вариационной задачи и диктуемых ею краевых условий. Этот прием двух аппроксимаций (К и Р) с успехом применяется в задачах линейной теории. Конечно, в нелинейной теории уравнения Эйлера для аппроксимирующих функций нелинейны. Трудности, связанные с представлением удельной дополнительной работы Эх (Р), конечно, сохраняются и при составлении функционала 1Г3. [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...