Использование решений Лагранжа

Использование решений Лагранжа [c.384]

Если при решении задачи динамики отсутствует ясный план применения тех или иных теорем, то следует остановиться на использовании уравнений Лагранжа. [c.473]

Сопоставление двух указанных методов показывает преимущества использования уравнений Лагранжа. Вместо формального введения сил инерции материальных точек системы, приведения их к простейшему виду, вычисления работ сил инерции и пар сил инерции на возможных перемещениях точек системы мы при решении задачи [c.502]

Заметим, что в большинстве практически важных задач Р можно задать лишь в виде функций пространственных координат, следовательно, при использовании переменных Лагранжа для решения таких задач в правой части условия (1.160) будут содержаться производные от вектора перемещений, заранее неизвестных вид этой зависимости можно конкретизировать, если задать форму начальной границы (в момент времени t = tn) So, очевидно, что динамическое граничное условие можно записать и через компоненты тензора Пиола — Кирхгоффа [c.34]

Приближенное решение с использованием множителей Лагранжа. Рассмотрим метод решения с использованием принципа минимума потенциальной энергии, когда аппроксимирующие функции удовлетворяют не всем геометрическим краевым условиям. Например, для стержня, показанного на рис. 4.13, ищем приближенное решение в виде ряда [c.181]

Переменные Лагранжа. Объектом изучения по методу Лагранжа служат отдельные частицы жидкости, рассматриваемые как отдельные материальные точки (рис. 6.2). Изучение движения сплошной среды с использованием переменных Лагранжа заключается в решении следующих задач 1) определение поведения во [c.230]

Численные решения контактных задач построены во многих работах. Первой из таких работ была, по-видимому, работа [1], посвященная решению контактных задач для упругих пластин методом локальных вариаций с использованием функционала Лагранжа (49). [c.113]

Наиболее рациональная техника решения системы (14.8), (14.10) состоит в использовании множителя Лагранжа Л. Образуем комбинацию [c.111]

Вычисление кинетической энергии системы материальных точек является одним из этапов решения задач при использовании теоремы об изменении кинетической энергии системы материальных точек, либо при составлении уравнений Лагранжа второго рода (см. ниже, главу X, 6), либо при вычислении потери кинетической энергии при ударе (см. ниже, главу XII, 1). [c.285]

Вычисление потенциальной энергии системы материальных точек является одним из этапов решения задач при использовании теоремы об изменении кинетической энергии, уравнений Лагранжа второго рода и т. д. [c.331]

Из общего уравнения динамики вытекают дифференциальные уравнения движения системы материальных точек, в которые не входят силы реакций идеальных связей. Возможно решение как прямых (определение сил по заданному движению), так и обратных задач (определение движения по заданным силам) динамики. При решении обратных задач приходится интегрировать составленную систему дифференциальных уравнений движения. Заметим, что использование общего уравнения динамики является формальным методом составления дифференциальных уравнений движения системы. Этот метод является менее удобным и менее эффективным по сравнению с применением уравнений Лагранжа второго рода (читатель сможет в этом убедиться, ознакомившись с содержанием следующего параграфа). [c.414]

Подобно предыдущей, данная задача была решена двумя способами с помощью общего уравнения динамики (см. задачу 397) и уравнений Лагранжа. Сопоставление обоих решений показывает, что применение уравнений Лагранжа является более эффективным и притом не требует использования формальных приемов, связанных с введением сил инерции. [c.505]

Решение этой задачи посредством использования общих теорем динамики представило бы значительные трудности. Применение уравнений Лагранжа дает возможность сравнительно просто получить уравнения движения дифференциала и вновь демонстрирует удобство применения уравнений Лагранжа при решении сложных задач динамики систем с несколькими степенями свободы. [c.511]

Множители Лагранжа существенно расширяют класс аппроксимирующих функций, которые могут быть использованы при приближенных решениях с использованием принципа минимума потенциальной энергии. [c.182]

Положение колебательной системы, представленной на рис. 1.63, б, определяется положением звена (в рассматриваемом случае недеформируемого—допущение правомочное, так как деформация тела значительно меньше деформации пружин), т. е тремя координатами центра масс и тремя углами поворота. Для изучения колебаний такой системы можно использовать уравнения Лагранжа в обобщенных координатах ( 19), понимая под обобщенными координатами величины, позволяющие определить положение центра масс и поворот звена относительно координатных осей. Характер движения такой колебательной системы может быть установлен после решения системы указанных уравнений. При использовании электронно-счетных машин решение таких систем не вызывает затруднений. [c.99]

Общее положение в теории поля несколько отличается от того, какое имеет место в теории непрерывных материальных сред. Обычно поведение систем последнего типа достаточно хорошо понятно в своих основных чертах, и аналитический метод применяется для упрощения способа записи уравнений движения в форме, удобной для решения конкретных задач. В теории поля предварительные сведения об основных свойствах процесса обычно отсутствуют, и аналитический метод применяется как исходный пункт теоретического описания. Рассмотрение различных простейших видов плотности функции Лагранжа позволяет надеяться на успешное объяснение некоторых наблюдаемых явлений. Аналитический метод является эмпирическим в той же степени, что и метод, при котором делаются непосредственные предположения относительно формы уравнений поля, но при его использовании область возможностей значительно сужена. [c.153]

Очевидно, что с усложнением динамической модели агрегата и увеличением порядка системы уравнений, описывающей его движения, использование уравнений Эйлера — Лагранжа для определения оптимального управления становится все более затруднительным. Метод решения, не требующий непосредственного решения этих уравнений, является в таких случаях наиболее удобным. [c.334]

Система (4.20) содержит и + X алгебраических уравнений, где п - размерность пространства управляемых параметров, ее решение дает искомые координаты экстремальной точки и значения множителей Лагранжа. Однако при численном решении (4.20), что имеет место при использовании алгоритмических моделей, возникают те же трудности, что и в методе Ньютона. Поэтому в САПР основными методами решения ЗМП являются методы штрафных функций и проекции градиента. [c.167]

Далее составим уравнения Лагранжа, обеспечивающие необходимые и достаточные условия решения функции (3.2.161) путем использования первой и второй производной этой функции по параметру А . В результате решения функции при подстановке заданных [c.288]

Решение линейной задачи входа в сжимаемую жидкость тонкого тела с ромбовидным профилем [5] при /3 тг/2 переходит в соответствующее решение плоской задачи входа тонкого клина. В свою очередь, как показывает анализ соотношения (2.13), выражение для давления на кромке, полученное из интеграла Коши-Лагранжа с использованием равномерно пригодного решения, при /3 тг/2 и малых значениях М совпадает с соответствующей формулой для давления в носике клина [6]. [c.668]

Для вывода условий стационарности в задачах с ограничениями эти задачи преобразуют в эквивалентные им свободные. Существует два способа учета ограничений (1.3) в форме равенств использование общих решений уравнений (1.3) и метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.20]

Заметим, что при использовании общих решений задача на условный экстремум заменяется вспомогательной задачей на безусловный экстремум, в отличие от метода множителей Лагранжа, в котором, вообще говоря, можно утверждать лишь наличие точки стационарности у вспомогательного функционала (см. гл. 2, 3). [c.22]

Заметим, что использование 5пз( , ф) можно рассматривать как инструмент для установления зависимости между напрян(ениями н функциями напряжений, т. е. для получения общего решения уравнений равновесия. Иными словами, преобразование функционала Лагранжа Элз(е) в Эпз(е,ф) фактически привело к преобразованию условий стационарности Эдз [c.65]

Отсюда видно, что использование полного функционала Эпз(е, it) можно рассматривать как инструмент для получения общего решения уравнений равновесия, более универсальный, чем статико-геомет-рическая аналогия. Преобразование функционала Лагранжа Элз (е, ц) в Э з(е, ц, t )) привело к преобразованию условий стационарности Элэ (уравнений равновесия в деформациях) к форме, являющейся их общим решением. Этот пример показывает, какое богатство возможностей заключено в вариационных формулировках и их преобразованиях. [c.121]

Такую же систему уравнений можно получить и с помощью общего уравнения динамики. В этом случае составляются уравнения работ заданных моментов, сил инерции и моментов сил инерции для каждого из возможных перемещений 5ф1 и 6ф2. После подстановки в эти уравнения значений сил и моментов сил инерции, выраженных через угловые ускорения тел, а также угловых перемещений тел, выраженных через приращения углов 5ср1 и 5ф2, выражения получаются весьма громоздкими. Приводить их автору не хочется. Наиболее рациональным методом решения подобных задач является использование уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.147]

К классическим проблемам в теплоэнергетике можно вполне отнести задачу определения оптимального распределения регенеративных отборов и выбора оптимальных параметров промперегрева с целью достижения максимальной тепловой экономичности турбоустановки, т. е. минимума удельного расхода тепла. Для упрощенных тепловых схем заданная задача решается аналитически. В работе В. Я. Рыжкина [Л. 35] широко используются комбинированные методы. С использованием метода Лагранжа для учета ограничений вида равенства получены системы алгебраических уравиений, удов-летворяюш,их условиям оптимальности распределения. Для численного решения этих систем применяется ЭВМ. [c.59]

Трудность решения задач динамики материальных систем с одной степенью свободы заключается, между прочим, и в удачном выборе соответствующей общей теоремы динамики. В случаях систем с несколькими степенями свободы решение задач значительно усложняется, так как при этом требуется совместное применение некоторых общих теорем и других соотношений динамики, выбор которых обычно представляет значительные трудности, В подобных случаях наиболее удобно использование уравнений Лагранжа, являющееся универсальным мето- [c.486]

Были найдены новые решения для некоторых классических задач динамики машин. Так, В. В. Гутьяр развил метод Н. И. Мерцалова подбора маховых масс, использовав для этого уравнения Лагранжа. И. И. Артоболевский дал решение задачи о подборе маховых масс с помощью диаграммы приведенных моментов на основе использования уравнений Лагранжа. [c.217]

Из п. 61 ИЗВССТ1Ю, что каждый минор (п — 1)-го порядка детерминанта Лагранжа также содержит этот корень, и поэтому решение, даваемое формулами п. 266, не годится. В связи с этим в п. 273 будет показано, что амплитуда реше1шя не зависит от I и что сами произвольные постоянные входят другим образом. Это можно будет легко выяснить нри использовании решения второго типа. (См. также п. 281.) [c.242]

Большинство (до 90 %) задач анализа работы КШМ можно решить, считая динамическую систему пресса системой с сосредоточенными параметрами. Для этого случая ММ КШМ должна быть представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, отражающих существенные, с точки зрения проектировщика, свойства машины, для решения которых можно использовать один из известных методов интегрирования. Наиболее распространенный способ получения (синтеза) ММ в таком виде основан на использовании уравнения Лагранжа II рода. Он отличается трудоемкостью разработки ММ, резко возрастающей по мере отражения в модели большего числа свойств объекта, трудоемкостью модификации модели, неизбежной при поиске структурного варианта объекта проектирования, а также плохой обозримостью соответствия элементов ММ элементам объекта проектирования. [c.490]

Полученные выше при решении подавляющего большинства задач динамики системы уравнений могут быть непосредственно выведены с помощью уравнений Лагранжа. Если по условию задачи требуется найти силы реакций связей, то, определив с помощью уравнений Лагранжа ускорения точек системы, применяют принцип освобождаемости от связей к соотве тствующей массе системы с последующим использованием одной из общих теорем динамики либо метода кинетостатики. [c.473]

Для решения таких задач эффективным является применение интегралыных форм уравнений количества движения и момента количества движения. Методика их использования проиллюстрирована ка конкретных примерах в гл. 6, 7 н др. в данном параграфе приведены уравнения количества движения и момента количества движения в общей форме, удобной для практического применения. Закон количества движения сформулирован в гл. 3, где в общей форме получено соответствующее уравнение (3.8). Оно, однако, малоудобно для практического применения из-за необходимости вычислять объемный интеграл, требующий знания закона распределения скоростей в этом объеме. Более удобную форму уравнения количества движения можно получить, если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию по методу Эйлера. [c.110]

Большое значение в гидроаэродинамике имеют частные решения дифференциальных уравнений. такие, как интегралы Громеки, Лагранжа, Эйлера, Бернулли. Правильное понимание физического смысла этих интегралов позволяет успещно Ярименять и четко представлять пределы их оправданного использования. [c.74]

Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций V переменных i, Ж2,..., t и изучением свойств самих этих функций и их производных, функции V будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. п. 225). [c.515]

Использование метода Рэлея — Ритца в сочетании с методом множителей Лагранжа. В описанной выше схеме метода Рэлея— Ритца геометрическим граничным условиям задачи удовлетворяла каждая координатная функция (.к). Но при выборе аппроксимирующих функций можно потребовать, чтобы часть граничных условий была удовлетворена не каждой функцией ряда (2.68), а их суммой. В некоторых случаях такой путь решения удобнее. [c.68]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

Выше были приведены прямые методы определения параметров вынужденных колебаний многомассовых систем любой сложности, основанные на решении системы линейных алгебраических уравнений, в свою очередь, вытекающих из уравнений механики Лагранжа-Даламбера. Однако они не являются единственно возможными. Более 40 лет существуют и доныне применяются другие методы, основанные на геометрических построениях, простых табличных вычислениях или специальных алгоритмах, основанных на использовании цепных дробей [1], [4], [10], [11], [13]. Чтобы дать о них представление и сравнить их с прямыми методами, кратко приведем здесь один из наиболее простых табличных методов, предложенный в 1921 г. М. Толле [14]. [c.71]

Как в этот период, так и после первого издания своего трактата Лагранж занимался небесной механикой и получил в этой области немало важных результатов по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих двин<ение тел Солнечной системы. В Аналитическую механику включены многие замечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю нашей науки даже без них, благодаря оригинальности системы изложения и единству метода, использованного ее автором. В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является овершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи . И с законным удовлетворением Лагранж добавил к этому Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего . Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (аналитической) механики. [c.200]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

Таким образом, для определения давления на передней кромке ЦСТ в областях взаимного влияния циклов достаточно просуммировать давление на кромке, вычисленное в основной задаче с использованием равномерно пригодного решения и нелинейного интеграла Коши-Лагранжа, и возмугцения давления, привносимые в данную точку остальными циклами, вычисленные на основе линейного решения. [c.669]

Принцип минимума полной мощности Журдена и принцип минимума полной энергии Лагранжа и есть различные формы выражения принципа возможных изменений деформированного состояния. Использованию этих принципов для решения задач обработки металлов давлением посвящена монография И, Я- Тарковского. [c.320]

В статье [5.20] приведен пример оценкя погрешности для этой же задачи, решенной с помощью функционалов Лагранжа и Кастильяно методом конечных элементов с использованием ста-тико-геометрнческой аналогии. [c.203]

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дана постановка задачи. Б разд. 1.3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, основанный на введении функций напряжений с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее распространенных подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты. В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные численные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер напряжений. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пласти-пы произвольным числом ребер переменного сечения. Закон изменения сечения ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах не меняются по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей Лля приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется а примере. В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...