Лагранжа детерминант

МОЖНО преобразовать так, что элементами детерминанта будут фундаментальные скобки Лагранжа. Доказать таким путем, что =. 1. (Из интегрального инварианта ] можно видеть, что D всегда равно -f 1.) [c.298]

Интегралы Д. Бернулли и Лагранжа относятся к области потенциальных течений, когда детерминанте уравнении (ХХ.4), характеризующий вихревые компоненты движения, обращается в нуль, т. е. в этом случае следует пользоваться уравнением (ХХ.8). Интеграл уравнения (ХХ.8) получается в следующем виде [c.434]

Образуем из детерминанта Лагранжа минор, получаемый в результате вычеркивания первой строки и первого столбца. Затем нз этого минора можно выделить второй минор и т. д. Таким образом, получаем ряд функций от р , степени которых постепенно уменьшаются от п до 1. Так построенные детерминанты обозначим через Д, Д1, Дз,. .. Детерминант Д не изменится, если справа к нему добавить столбец, состоящий из нулей, а снизу строку, состоящую из нулей, и поставить единицу в свободный угол. Поэтому можно считать, что Д = 1. [c.63]

Окаймленный детерминант. Окаймим детерминант Лагранжа справа н [c.65]

Рассмотрим в качестве примера детерминант Лагранжа, служащий для нахождения периодов малых колебаний системы около положения равновесия (п. 57). Предположим, что определяющее уравнение имеет два равных корня. Тогда на основе результатов п. 266 можно ожидать, что каждая нз координат системы будет содержать член вида А 60 Поэтому амплитуда колебания будет содержать время I. [c.242]

Так как iJ) (р) = О представляет здесь детерминант Лагранжа (п. 425), это эквивалентно утверждению, что все корни детерминанта Лагранжа действительны. [c.333]

Анализируя метод Лагранжа нахождения колебаний системы, видим, что весь процесс зависит от решения некоторого определяющего уравнения. Даже устойчивость или неустойчивость равновесия зависят от характера его корней. Еслн это уравненне можно решить, то сразу же становятся очевидными характер движения н периоды колебаний (если движение имеет колебательный характер). Если это уравнение нельзя решить, то можно разложить входящий в него детерминант и исследовать его корни методами, даваемыми в теории алгебраических уравнений. Однако иногда можно достичь тон же самой цели без разложения детерминанта в его наиболее простой форме, которая была указана в т. I, гл. IX затем мы рассмотримте изменения, которые следует внести при окаймлении детерминанта какими-либо величинами. [c.62]

Если составить детерминант Лагранжа, то будет видно, что его миноры не могут обратиться в нуль, если не выполняются равенства Ац — 12M1J - -С22/Л22 каждое из этих отношений равно —р . Следовательно, если эти условия lie выполняются, то не может быть двух равных корней. [c.65]

Наконец, построим последовательность из п 1 детерминантов Л, А, А",. .., оканчивающуюся постоянной. Каждый детерминант из этой последовательности получается из предыдущего в результате его окаймления произвольными величинами с нулями вблизи нижнего правого угла, так что все эти детерминанты симметричны. Поступая, как и в п. 64, можно смотреть иа эту систему детерминантов как на предельные случаи других детерминантов, имеющих форму детерминанта Лагранжа, а степени когорых последовательно возрастают на единицу по сравнению со степенью Д. Последний из ннх, являясь в пределе постоянной, будет иметь все свои корпи бесконечно большими по величине. Сопоставляя этой второй системе детерминантов систему, образуемую (как описано в п. 58) в результате вычеркивания строк и столбцов, получаем некоторую полпую последовательность детерминантов, которая разделяется детерминантом А на две системы. Онн начинаются детерминанто.м, равным единице, и оканчиваются детерминантом, все корни которого (в пределе) являются бесконечно большими по величине. В силу теоремы из п. 58 отсюда следует, что при переходе от р а. р" = в полной последовательности не может произойти потерн числа перемен знака, потому что у последнего детерминанта не может быть корней, которые лежали бы между постоянными величинами а и р. Однако еслн между этими пределами имеется к корней уравнения Д - О, то в первой системе детерминантов должно быть потеряно к перемен Знака. Следовательно, сколько перемен знака приобретается во второй системе детерминантов, столько же теряется в первой системе. В итоге заключаем, что если при изменении р от р-— а. до = Р в последовательности А, А, А", имеет место накопление к перемен знака, то между этими пределами уравнение А --= О имеет ровно к корней. [c.66]

Соотношения между коэффициентами L, М,. .. экспоненциальных выражений ддя х, у,. .. нетрудно получить, если вспомнить, что строки фундаментального детерминанта но-существу гфедставляют собой уравнение движения. Возьмем какую-либо одну строку и умножим первый элемент на L, второй на тЙ и т. д. и приравняем их сумму нулю. Если число коордннат равно п, то таким путем получим п — 1 независимых уравнений для определения L, М,. .. Поэтому будем иметь одну произвольную постоянную для каждого значения X. Следовательно, число произвольных постоянных всего будет вдвое больше числа координат, как и для уравнений Лагранжа в гл. П все другие постоянные определяются только что построенными уравнениями. Произвольные постоянные определяются начальными значениями координат и их скоростей. [c.95]

Из п. 61 ИЗВССТ1Ю, что каждый минор (п — 1)-го порядка детерминанта Лагранжа также содержит этот корень, и поэтому решение, даваемое формулами п. 266, не годится. В связи с этим в п. 273 будет показано, что амплитуда реше1шя не зависит от I и что сами произвольные постоянные входят другим образом. Это можно будет легко выяснить нри использовании решения второго типа. (См. также п. 281.) [c.242]

Обращаясь к уравнениям движеиия из п. 310, заметим, что фундаментальный детерминант, а именно А (б), содержит только четные степени 5. Этот детерминант, конечно, совпадает с детерминанто.м Лагранжа, который рассматривался в гл. II. Из гл. II или из пп. 315 и 319 этой главы следует, что все корни уравнения А (б) == О имеют вид р —-. Поэтому любая координата представляется выражением вида [c.268]

В начале этой главы был рассмотрен вопрос об устойчивости пяти точек Лагранжа в ограниченной задаче трех тел. Что будет с частицей, находящейся в точке Лагранжа, если ее координаты и скорости получат малые приращения Будет ли она колебаться около точки Лагранжа или быстро уйдет от нее Точку Лагранжа в этих случаях называют соответственно устойчивой или неустойчивой. Для того чтобы ответить на вопрос, устойчиво или неустойчиво решение Лагранжа, мы линеаризовывали уравнения в вариациях, решали их и анализировали корни характеристического детерминанта. [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...