Исходные уравнения и граничные условия

Заметим, что напряжения нам пока неизвестны и, следовательно, остается неясным, удовлетворяют Ли они условиям, при которых преобразование Фурье допустимо (см. выше). Поэтому после выполнения всех операций и получения окончательных формул следует проверить, подчиняются ли они исходным уравнениям и граничным условиям. Наряду с изображениями напряжений введем изображения компонентов внешней нагрузки [c.352]

ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ [c.86]

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному. [c.224]

Тогда для получения исходного приближения, согласно (9) и (10), получим следующую систему дифференциальных уравнений и граничных условий [c.140]

Определив указанным образом исходное приближение, запишем дифференциальные уравнения и граничные условия для определения следующего, первого приближения [см. равенства (12)], т. е. функций [c.141]

Большой интерес к вариационным формулировкам задач деформирования многослойных оболочечных конструкций объясняется в первую очередь тем, что на основе исходных гипотез, применяя формальные математические приемы, можно избежать трудоемкого этапа составления уравнений равновесия статическим методом и приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к одномерной или двумерной задаче. При этом соответствующие разрешающие уравнения и граничные условия строго соответствуют исходным допущениям и определяются единственным образом. Кроме того, вариационные формулировки являются основой для эффективных приближенных методов расчета, которые позволяют получить на выбранном классе аппроксимирующих функций наилучшие в энергетическом смысле приближенные решения. [c.71]

Подстановкой результата в исходное выражение, например, проверка того, удовлетворяет ли решение дифференциальному уравнению и граничным условиям [c.238]

Из уравнения (3.84) получаются дифференциальные уравнения и граничные условия в напряжениях, которые вместе с граничными условиями в перемещениях (3.81) образуют замкнутую краевую задачу на собственные значения. В.еличина К является собственным значением этой краевой задачи. Следовательно, критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом если минимальное собственное значение положительно, то исходная конфигурация устойчива. [c.98]

При составлении системы уравнений, определяющей напряженно-деформированное состояние армированного пластика при поперечном нагружении, используется ряд исходных гипотез и граничных условий. Основным является требование совместности деформирования всех элементарных слоев, из которого следует условие постоянства напряжений в каждом элементарном слое в направлении нагружения и равновесие между напряжениями в компонентах пластика в остальных двух направлениях. В качестве закона деформирования отдельных компонентов используется обобщенный закон Гука. Совместное решение уравнений, соответствующих названным условиям, в результате интегрального перехода к средним напряжениям и деформациям всего пластика дает возможность определить коэффициенты Пуассона в плоскости армирования vm и в плоскости, перпендикулярной направлению армирования vxi, а также модуль поперечной упругости Задача сводится к аналитическому решению [12], однако аналитические зависимости получаются очень громоздкими. В результате ряда преобразований получаем [c.48]

Действительно, например, если бы часть исходных данных была получена строго, то естественно было бы включить эту часть работы в математический этап, при этом граница между этапом постановки и решения просто передвинулась. В связи с этим к постановке задачи неприменимо понятие строгие методы . Аналогично и для проверки полученных результатов. Поскольку постановка задачи - процесс интуитивный, то и окончательные результаты всегда являются в той или иной степени неопределенными. Кроме того, результаты можно проверить сравнением их с результатами опыта и эксперимента, всегда имеющими погрешности, либо с результатами других расчетов, а при отсутствии этих данных - полагаясь на знания и здравый смысл. Во всех этих случаях какое-либо строгое логическое подтверждение полученных результатов принципиально невозможно, и решение считается верным, если квалифицированные специалисты ему верят на основании своего опыта и априорного знания результатов решения других близких задач. Поэтому само разделение методов на приближенные и строгие применимо лишь для этапа математического решения после того, как выбраны расчетная модель, основные уравнения и граничные условия. [c.5]

Выберем следующие единицы измерения расстояния - d скорости -V = T x/d температуры - 0 концентрации - ( 3/у)0 давления р" - PoV v/i/. Поскольку в исходном уравнении состояния (1.2) по существу отброшены все члены порядка О(е ), будем пренебрегать слагаемыми порядка 0(е ) во всех уравнениях. Тогда определяющие уравнения и граничные условия принимают вид [c.71]

Методы решения задач подобного рода рассматриваются в специальной науке — математической физике и в данном кратком курсе не приводятся. Правильность решения можно проверить его подстановкой в исходное уравнение, а также в начальные и граничные условия. [c.112]

Исходные уравнения задачи и граничные условия, в том числе и неоднородные, удовлетворяются в отдельных точках или по от дельным линиям. [c.9]

В математической формулировке задач тепло- и массо-обмена может содержаться малый (или большой) параметр. Этот параметр может входить в уравнения или граничные условия. Обычно появление малого параметра может быть использовано для упрощения исходной задачи [6]. В гидродинамике известен ряд течений, которые благодаря наличию малого параметра описываются упрощенной системой уравнений [c.298]

Как было показано, решение задач теории упругости сводится к некоторым типовым краевым задачам для систем уравнений с частными производными. Фактическое построение решений этих уравнений с заданными начальными и граничными условиями даже при современном уровне развития математических методов и вычислительной техники не всегда оказывается осуществимым. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть вопрос о возможности такого изменения краевых условий, чтобы модифицированная задача оказалась более доступной для решения, чем исходная, а различие в результатах было пренебрежимо малым (по крайней мере в значительной части [c.257]

Выражение (2.103) удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению (2.96) при любых значениях постоянных j, j, С3 и k. Чтобы выражение (2.103) было решением рассматриваемой задачи, его следует подчинить начальным и граничным условиям. С учетом условий симметрии (2.99) находим [c.180]

Метод разделения переменных основан на подборе частных решений, удовлетворяющих уравнению (2.26) и граничным условиям. Линейная комбинация этих решений должна отвечать начальным условиям. Решение исходного уравнения представляется в виде произведения двух новых неизвестных функций, одна из которых (р зависит только от времени, а другая ф — только 01 координат. Подставив эти функции в уравнение (2.26), получим ф ф = == фУ ф, или после разделения переменных [c.85]

С использованием приведенных здесь уравнений и алгоритма составлена программа расчета на ЭВМ. Обычно нестандартную часть программы, зависящую от величин, характеризующих геометрию конструкции, механические свойства материалов, нагрузку, температуру и граничные условия, необходимо программировать при решении каждой конкретной задачи. В этой программе при использовании некоторого заданного в определенном порядке числового материала, описывающего исходные данные, автоматически программируются необходимые нестандартные блоки и решается задача. [c.78]

В последнее время автором совместно с Г. Л. Поляком [Л. 88, 350] был предложен метод исследования и расчета радиационного теплообмена, получивший название тензорного приближения. В основе этого метода лежат тензорные представления вектора потока излучения, используемые и рассматриваемые в ряде работ 1[Л. 22, 26, 27, 68, 87, 346] при анализе процессов радиационного переноса в ослабляющих средах. Основные уравнения тензорного приближения получаются из исходного уравнения переноса излучения (3-18) и граничных условий к нему (3-20). [c.166]

В предыдущих главах были рассмотрены дифференциальные методы расчета и исследования радиационного теплообмена. Эти методы основаны на интегрировании исходного уравнения переноса излучения (3-18) и граничных условий к нему (3-20), в результате чего получаются те или иные дифференциальные уравнения, содержащие в качестве неизвестных различные виды объем-188 [c.188]

Все данные вводятся и организуются в списки и массивы. Подготовка и ввод исходных данных рассмотрены выше. При вводе вычисляются некоторые параметры, такие, как число степеней свободы в узле системы, количество загружений н т. д. После ввода данных выполняется диагностика, с помош.ью которой могут быть обнаружены некоторые формальные ошибки. Далее вычисляются параметры матрицы жесткости ансамбля — порядок, ширина ленты и выстраивается массив профиля этой матрицы (массив номеров строк, с которых начинается ненулевая часть каждого столбца). При этом анализируется весь список конечных элементов и граничных условий. После получения параметров выполняются расчеты, связанные с планированием памяти для последующего вычислительного процесса. Целью планирования является выбор размера блоков при записи матрицы жесткости ансамбля элементов (МЖА) на магнитную ленту так, чтобы скорость решения системы уравнений была максимальной. Так как МЖА не помещается в оперативную память, то ее разбивают на фазы. При планировании определяется размер оперативной памяти для фаз МЖА во [c.202]

Построение математической модели таких теплотехнических объектов, как теплообменники с однофазным или двухфазным теплоносителем, может быть осуществлено с учетом распределенности параметров [42, 43]. Исходные уравнения в частных производных (уравнения сохранения энергии, сплошности, движения) решаются с учетом уравнений состояния, граничных условий и некоторых упрощающих допущений. Решение в области изображений по Лапласу позволяет получить выражения передаточных функций распределенной системы. Коэффициенты этих передаточных функций определяются с использованием теплофизических характеристик теплообменника. [c.466]

Исходным дифференциальным уравнением для этой задачи по-прежнему является уравнение (4-37). Остаются справедливыми также уравнение (10-2) и граничные условия для температуры. Так как для уравнения движения были получены автомодельные решения, следует ожидать, что такие решения могут быть найдены и для уравнения энергии. С помощью указанной выше подстановки преобразуем уравнение энергии в обыкновенное дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению (10-4), но с заменой числа Рг на Pr(m + 1). Решением этого уравнения является уравнение (10-8), в котором также вместо числа Рг используется Рт(т + ). Функция t, представляет собой решение соответствующей динамической задачи для обтекания клиновидных тел (гл. 7). Некоторые результаты расчета теплообмена, проведенного Эккертом [Л. 1], представлены в табл. 10-2. [c.252]

В том случае, когда физическое явление изучено настолько, что представляется возможным дать его математическую формулировку, можно произвести масштабные преобразования имеющихся уравнений (с граничными и начальными условиями) и найти соответствующие критерии подобия. Существенным при этом является тот факт, что для получения критериев подобия не обязательно иметь решение составленных уравнений, достаточно располагать исходными уравнениями в дифференциальной, интегральной или конечной форме, присоединив к ним начальные и граничные условия. Метод анализа уравнений, следовательно, предполагает знание значительного объема информации, относящейся к изучаемому объекту. [c.51]

Метод 2. В гл. 12 будет показано, что наличие нелинейностей в исходном дифференциальном уравнении при формулировке МГЭ можно преодолеть посредством модификации члена Q в уравнении (9.11), отвечающего действию внутренних источников. Таким образом, в самом общем алгоритме решения задач диффузии, учитывающем возможность изменения со временем и граничных условий, и интенсивностей внутренних источников, которые к тому же определяются только в результате решения связанных систем дифференциальных уравнений (как в теории консолидации или термоупругости), удобнее следующий процесс пошагового изменения времени. [c.257]

Разгрузка фиксируется в случае, когда интенсивность напряжений, вычисленная на текущем шаге, становится меньше текущего предела текучести. Накопление результатов производится на последней итерации шага, если не назначены дополнительные корректирующие итерации. Корректирующая итерация осуществляется после накопления результатов без увеличения нагрузки, поэтому она уточняет уравнения равновесия для новой конфигурации и граничные условия. Одновременно уточняются и уравнения состояния по диаграмме деформирования. Свойства материалов в зависимости от температуры задаются в виде таблиц для определенных фиксированных температур. Для каждого материала назначаются свои температурные узлы. Для промежуточных значений температур свойства вычисляются с помощью линейной или квадратичной интерполяции. Если свойства материала не зависят от температуры, исходная информация сокращается и для конкретного материала производится просто выборка свойств из соответствующей таблицы. Диаграмма деформирования Oi (е ) задается поточечно для различных температур. Интенсивность напряжений для промежуточной температуры и интенсивности деформации вычисляются интерполированием. Следует отметить, что диаграмма деформирования определяется на основании опытов на растяжение или сжатие образцов при соответствующих температурах. При этом полученные результаты должны быть приведены к соответствующим мерам деформации и напряжения. [c.99]

Как в этом, так и в предыдуш их двух параграфах мы наметили основные пути того, как строится теория термических автоколебаний. Мы обраш али внимание на то, что эта теория основана на линеаризации уравнений гидродинамики и условий сохранения массы, энергии и импульса на теплоподводе как сами исходные уравнения для возмущений, так и граничные условия на теплоподводе при го- [c.492]

Много сил было затрачено (см., например, [2]) на развитие теорий гравитационных волн в приближениях более высоких порядков, основанных на исходном уравнении (1) и граничных условиях (2). Простые линейные теории являются общепринятыми главную задачу представляет, по-видимому, учет нелинейных членов, хотя важны также эффекты переменной глубины и др. Заметим, однако, что основное уравнение линейно, и можно по-прежнему применять вторую формулу Грина, но с нелинейными граничными условиями на поверхности, положение которой неизвестно. Тем не менее при этом возникает некоторая определенная и однозначная задача. В отличие от обычных случаев электростатики, стационарной теплопроводности и др., которые описываются уравнением Лапласа и где предполагается, что все возмущения исчезают [c.25]

Существуют два основных подхода к рассмотрению временных эффектов. Один из них заключается в том, чтобы учитывать время явно, таким же образом, как и пространственные координаты, и производить численное интегрирование по отрезку времени так же, как и по геометрической границе тела. Такой метод применялся в работе [1]. Другой подход, более широко используемый в методе ГИУ, состоит в исключении времени из числа независимых переменных путем применения преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям в частных производных и граничным условиям. (Обсуждению такого подхода посвящается эта статья.) Этим способом параболические и гиперболические дифференциальные уравнения, как правило, могут быть сведены к более удобным эллиптическим уравнениям, которые решаются в пространстве преобразований методом ГИУ для [c.30]

Подставляя (2) и (5.1) в систему уравнений (7.1)-(7.5), можно убедиться, что для волн, распространяющихся в плоскости ху гексагональных пьезокристаллов с плоским вдоль оси г фазовым фронтом, система исходных уравнений (и граничных условий) распадается на две несвязанные системы. Одна из них описывает непьезоактивные волны, поляризованные в плоскости ху, и совпадает с уравнениями для изотропных сред. Вторая система уравнений, описывающая пьезоактивные сдвиговые вол- [c.221]

Исходную систему уравнений и граничные условия приведем к безразмерному виду. С этой целью все размерные величины, входящие в математическое описание явления, отнесем к соответствующим масщтабным величинам. После несложных преобразований уравнения энергии, движения и неразрывности будут иметь вид [c.68]

Табл. 14.3 содержит исходные уравнения с граничными условиями, формулы преобразования и автомодельные решения для линейного и осесимметричного источников. Для замыкания уравнений использованы теории Прандтля, Тейлора, Прандтля Трубчикова и Рейхардта. Расчетные зависимости, полученные для источников, применимы при определении параметров течения в основном участке струи конечных размеров. [c.210]

Что касается характеристических функций для каналов Т 2 вх(0 2вых(0 и jT2bx(0T l вых(0. ТО ОНИ тривиальным образом получаются из соответствующих характеристических функций для каналов вх (О вых (О и Ti вх(0 2вых(/). соответственно. Действительно, если в исходной системе уравнений произвести замену переменной х по формуле х = 1 — х, а также произвести формальную перестановку параметров Т1->-Г2, Т2->-->Ti, 1 2, 2-> 011, то уравнения (4.3.8), (4.3.9) и граничные условия (4.3.3), примут вид [c.181]

Конечно-разностное представление дифференциального уравнения Фурье и граничных условий сводит решение задачи теплопроводности к расчету температур в конечном числе точек — узлов сетки (рис. 1.11). Чтобы дискретизованная задача была близка к исходной, необходимо сделать сетку достаточно частой. Поэтому число неизвестных (т. е. значений температур в узлах) оказывается большим, и решение задачи требует использования ЭВМ. Конечно-разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности можно получить, записывая закон сохранения энергии для контрольного объема, содержащего внутренний узел К, L (заштрихован на рис. 1.11). [c.31]

В теории механических колебаний балок из композиционных материалов, а также других конструкций можно выделить два основных направления (они обсуждаются в работах [34, 1 ]) метод эффективных модулей и метод эффективных жесткостей. Согласно первому методу композиционный материал в задачах динамики рассматривается как однородный и ортотроппый (свойства такого условного материала соответствуют исходному материалу), а согласно второму — по упругим постоянным волокон и связующего и геометрическим параметрам находят эффективные жесткости . Эти методы приводят к различным уравнениям движения. и граничным условиям. Значение метода эффективных жесткостей заключается в возможности описывать волновую дисперсию, кроме того, он более эффективен в задачах о распространении волн. Проблема распространения волн в композиционных материалах здесь не обсуждается. Отметим только, что она рассмотрена в работах [40, 6, 16, 82]. В задачах динамики конструкций из композиционных материалов метод эффективных жесткостей получил более широкое распространение. Для балок из слоистых композиционных материалов наиболее эффективна разновидность метода, которая изложена в работе [77] и описана ниже.. [c.138]

Полнота описания явления, корректность исходной теоретической модели должны сочетаться с правильностью математической формулировки задачи. При этом следует иметь в виду, что физическое решение может существовать и найдено на основе эксперимента, в то время как исходное математическое описание не позволяет получить решения. Если существует решение задачи в первичных переменных, то обобщенное решение может быть получено. В связи с возможностью описания системы в обобщенных безразмерных переменных, базируясь на методе подобия и анализе размерностей, можно получить критериальное уравнение, состоящее из обобщенных характеристик рассматриваемой системы. При описании системы критериальными уравнениями как бы уменьшается число параметров, независимых координат, решение обладает большой общностью. Получение критериев подобия, основанных на методе подобия, предполагает использование математического описания объекта. Исходные дифференщ -альные уравнения, характеризующие процесс, содержат более глубокую информацию по сравнению с той, которую получаем из анализа размерностей ответственных величин. Исследование процесса методом подобия включает получение безразмерных характеристик (критериев подобия) и вывод критериального уравнения. Аналитический вывод критериального уравнения возможен, когда исходное уравнение имеет точное решение. Во всех других случаях формирование критериальных уравнений осуществляется на базе специальных экспериментальных исследований (или дрз -ой дополнительной информации). Критериальная зависимость должна учитьшать критерии, полученные из анализа как основных уравнений, так и граничных условий. [c.165]

Другой класс приближенных теорий слоистых композитов представляет попытки обобщения обсужденных выше теорий и базируется на предположении о том, что компоненты перемещений — линейные функции координаты z (по толщине) в пределах каждого слоя. При такой формализации перемещения являются кусочнонепрерывными функциями. К теориям, построенным на этом подходе, относятся так называемые теории эффективной жесткости, разработанные Саном и др. [27, 28]. Сан и Уитни [29] рассмотрели различные теории этого класса и показали, что при условии непрерывности перемещений на всех поверхностях раздела число уравнений поля зависит от числа слоев N только в том случае, когда игнорируется непрерывность напряжений на поверхностях раздела. Иначе говоря, число уравнений поля является фиксированным и зависит только от общности исходного предположения, согласно которому учитывается или отбрасывается линейно зависящий от z член для поперечного перемещения и . Следовательно, число уравнений поля постоянно для всех слоистых композитов. Поскольку такое же утверждение можно сделать в отношении числа граничных условий на кромке, недостаток упомянутых вьпие теорий с непрерывным полем перемещений, касающийся равновесия подобластей, относится и к теориям данного класса. Однако эти теории дают более реалистическое определение эффективных характеристик слоистого композита, что служит поводом для их разработки. Допущение кусочно-линейного поля перемещений вместе с условием н> = w x, j) приводят к теории Сриниваса [30], в которой число уравнений поля и граничных условий на кромке зависит от числа сло№ в композите. Поэтому условиям непрерывно- [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...