Движение тела вращения по плоскости. Уравнения движения

Если считать в устройстве, изображенном на рис. 9.13, в, ротор и наконечник абсолютно твердыми телами, ротор установленным в мягких опорах (см. сноску на с. 178), в колебания наконечника заданными, то исследование этого устройства в системе координат, связанной с наконечником, также сведется к рассмотрению уравнений движения тела вращения по вибрирующей плоскости (см., например, [66]). Изучая такую предельно простую модель вибродвигателя, можно описать ряд важных закономерностей его работы, в частности, получить приближенные ураннения [c.256]

Векторы, входящие в уравнения движения тела вращения, условимся разлагать на составляющие—продольную по оси симметрии тела /3 и поперечную в плоскости единичных векторов [c.417]

Уравнения движения. Определим движение тела вращения, катящегося по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости под действием снлы тяжести. [c.214]

Недавно был разработан метод осреднения , предназначенный для решения -линеаризованных уравнений движения спутника с двойным вращением, свободного от воздействия внешних тел [1 ]. В настояш,ей заметке содержится обобщение задачи с учетом влияния поля тяготения Земли. Предполагается, что спутник обращается по круговой орбите и ось его собственного вращения направлена с определенной точностью перпендикулярно плоскости орбиты. [c.93]

Этот случай интегрируемости в задаче о катании тела по неподвиж ной плоскости указан С. А. Чаплыгиным в известной работе О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости , впервые опубликованной в 1897 г. См. С. А. Чаплыгин, Исследования по динамике неголономных систем, серия Классики естествознания , Гостехиздат, 1949, стр. 9—27. Уравнения С. А. Чаплыгина отличаются от использованных здесь уравнений П. В. Воронца. [c.387]

Пусть осесимметричное движение газа представляет собой обтекание сверхзвуковым потоком некоторого тела вращения, при этом ударная волна, образующаяся перед телом, также будет телом вращения с той же осью симметрии. В меридианной плоскости эта ударная поверхность будет изображаться некоторой линией, которая, вообще говоря, будет криволинейной, но в некоторых частных случаях может быть и прямолинейной. Основные соотношения, связывающие параметры газа до и после скачка, полученные при изучении сверхзвукового плоскопараллельного течения, могут быть получены тем же способом и для ударной волны при осесимметричном движении. Поэтому при осесимметричном движении будут иметь место все уравнения получаемые из этих соотношений. Например, если поток до скачка равномерен и направлен по оси симметрии, то, согласно главе VI угол наклона 0 ударной волны в данной точке связан со скоростью набегающего потока иу и компонентами скорости газа за скачком формулой [c.367]

Начнем с рассмотрения плоского движения. Пластина, первоначально находившаяся в покое, закреплена в точке С, а ее центр тяжести Ох расположен под точкой С на одной вертикали с ней. Пусть телу в некоторой точке А, принадлежащей прямой СОх, сообщается горизонтальный ударный импульс V, расположенный в плоскости пластин. Допустим, что СА = а. Пусть р V. О — компоненты ударного импульса реакции в неподвижной точке С, а а> — угловая скорость вращения тела вокруг С, которую оно имеет непосредственно после удара. Уравнения движения, так же как и в п. ПО, будут иметь следующий вид [c.109]

Примем неподвижную ось за ось г, а плоскость хг проведем через центр тяжести тела Пусть Х, К, 2 — компоненты ударного импульса, т), — координаты какой-либо точки на его линии действия, Мк — момент инерции тела относительно неподвижной оси. Теперь мы должны найти давление на ось вращения и, приравнивая его нулю, установить те условия, которым должен удовлетворять центр удара. Преобразования будут такими же, как и в пп. ИЗ и 117, и мы их не повторяем. Полагая у =- О ш опуская ударные импульсы сил давления на ось, так как они по предположению должны равняться нулю, получим шесть уравнений движения (см п. ИЗ). [c.109]

Проиллюстрируем составление уравнений Лагранжа 2-го рода на следующем простом примере (рис. 4.11). Система состоит из повозки массы пц, которая может перемещаться на двух одинаковых катках, по горизонтальной плоскости. Массы катков равны радиусы —Гз, моменты инерции относительно оси вращения — /., (мы уже указывали на то, что понадобится знание простейших характеристик и мер движения абсолютно твердого тела). К повозке прикреплен точечный маятник массы подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити длины I. Предположим, что катки не могут скользить по плоскости и что трение в точке подвеса маятника и в осях катков отсутствует. Система находится в однородном поле тяжести. [c.213]

Третье уравнение (теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек в относитель 10м движении по отношению к центру инерции, записанная для случая вращения твердого тела вокруг подвижной оси, движущейся поступательно) описывает относительное вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр инерции С твердого тела перпендикулярно к неподвижной плоскости. [c.252]

Дифференциальное уравнение вращения составим, применив теорему об изменении момента количеств движения относительно центра масс ( 120). В случае плоского движения твердого тела относительным движением по отношению к центру масс является вращение тела с его угловой скоростью со вокруг оси 2, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр масс С. Поэтому вектор К в выражении (81) 120 определяется равенством [c.259]

Из уравнения (6) видно, что если покоящееся тело приведено в движение импульсивной парой (X, [х, v), то начальная ось вращения будет направлена по диаметру эллипсоида инерции, сопряженному с плоскостью пары ( 30). [c.106]

Когда говорят о нестационарном пограничном слое, то обычно имеют в виду либо пограничный слой, образующийся при возникновении движения из СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ, либо пограничный СЛОЙ, возникающий при периодическом движении. При движении, возникающем из состояния покоя, тело и жидкость ДО определенного момента времени находятся в состоянии покоя, а затем либо тело начинает двигаться в покоящейся жидкости, либо жидкость начинает набегать на покоящееся тело. При таком разгоне тела или жидкости в непосредственной близости от стенки образуется сначала очень тонкий пограничный СЛОЙ, в котором скорость течения быстро изменяется от скорости тела до скорости внешнего течения. При разгоне тела в свободном потоке непосредственно после начала движения во всем пространстве, за исключением очень ТОНКОГО пограничного слоя около тела, возникает потенциальное течение, т. е. течение без вращения частиц. Затем, по мере продолжения разгона, толщина пограничного слоя увеличивается, в связи с чем встает важный вопрос об определении того момента времени, когда в пограничном слое впервые начинается возвратное течение, влекущее за собой отрыв пограничного слоя. В 1 главы V мы привели точные решения уравнений Навье — Стокса для двух нестационарных течений, а именно для течения вблизи стенки, внезапно начавшей двигаться в своей собственной плоскости, а также для течения в трубе, внезапно возникшего из состояния покоя. Оба эти случая могут служить примерами разгонного течения с образованием нестационарного пограничного слоя. [c.378]

Если рассматривать вращение жидкости как вращение твердого тела с угловой скоростью со вокруг некоторой мгновенной оси, то можно взять площадку в плоскости, перпендикулярной оси вращения (угол 0 = 0), радиусом г с центром на оси вращения и определить циркуляцию вдоль этой окружности. При этом поступательной скоростью движения рассматриваемого объема жидкости можно пренебречь. Циркуляция скорости по уравнению (XX,52) равна [c.420]

Влияние вращения Земли на движение тел вдоль земной поверхности. Рассмотрим материальную точку, движущуюся на поверхности Земли по совершенно гладкой горизонтальной плоскости. Для учета того, как влияет на рассматриваемое движение вращение Земли, составим уравнение относительного движения (5) в осях Oxyz (см. рис. 378). Принимая во внимание, что сила по-прежнему входит в силу тяжести Р, получим [c.447]

Возьмем на плоской фигуре S произвольную точку Oi (полюс) и примем ее за начало поступательно движущейся подвижной системы координат OiXiyi (рис. 67). Таким образом, эти оси не нарисованы на теле, а имеют с телом одну общую точку - полюс О . Можно представить себе, что в точке 0 шарнир (прямоугольник осей свободно надет на палец-ось Oj) и плоская фигура при своем движении поворачиваются под осями и О1У1, которые остаются соответственно параллельными неподвижным осям Ох и Оу. Если плоскую фигуру S мысленно скрепить с подвижными осями, то она будет двигаться вместе с ними поступательно. Переносным движением плоской фигуры в своей плоскости является поступательное движение, которое характеризуется движением одной точки тела, например полюса Oi, Xoi = Xqi У01 = > oi (0-Отрезок OiM за время t поворачивается вместе с фигурой вокруг полюса (по отношению к подвижным осям) на некоторый угол ф. Относительным движением плоской фигуры в своей плоскости является вращение вокруг полюса О , что характеризуется зависимостью ф = ф(г). Уравнениями или законом олоско-параллельного движения тела называют уравнения [c.88]

После этого, проектируя уравнение (46) на стереонодальные оси, получим для движения тяжелого твердого тела вращения, катящегося по горизонтальной плоскости, следующие уравнения [c.218]

Волчок на горизонтальной плоскости. Вопрос о движении волчка по горизонтальной плоскости представляет собой задачу о движении весомого твёрдого тела, являющегося телом вращения в динамическом смысле ( 252), в том предположении, что одна из точек тела, лежащ 1х на оса симметрии, движется по горизонтальной плоскости., Пусть эта плоскость взята за плоскость Оху, а ось Oz направлена вертикально кверху (фиг. И9) динамическую ось симметрии примем за ось ОС на ней по условию лежит центр масс С тела. Тогда, если расстояние от центра масс С до точки опоры К волчка на плоскости Оху мы назовём /, а угол между направлениями осей Oz и ОС попреж-нему обозначим 9, то уравнением связи, наложенной на движущееся тело, будет [c.583]

Эти общие соображения С. А. Довбыш применил к известной задаче о вращении несимметричного твердого тела с неподвижной точкой в слабом однородном поле силы тяжести. Малым параметром здесь служит произведение массы тела на расстояние от центра масс до точки подвеса. Факторизацией по группе вращений вокруг вертикали задача сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Фиксируя еще положительное значение постоянной интеграла энергии и применяя метод Уиттекера изоэнергетической редукции, уравнения движения можно привести к гамильтоновым уравнениям с 3/2 степенями свободы и периодическим по новой переменной времени гамильтонианом рассмотренного выше типа (все детали можно найти в книге [83]). В этой задаче диаграмма сепаратрис невозмущенной задачи Эйлера (в несимметричном случае) имеет вид, изображенный на рис. 29 (точки и 2з совпадают, так как фазовым пространством системы является цилиндр, а не плоскость). Особенностью этой задачи является совпадение характеристических чисел для гиперболических положений равновесия и 2. Выделим сепатрисы Г1, Гг и Гз, как показано на рис. 29. [c.290]

Установим связь между отклонениями размерных параметров относительного движения и точностью обработки детали. Пусть точка М (вершина инструмента) движется в системе координат Ед в соответствии с заданным относительным движением, тогда в системе Ед она опишет винтовую линию (рис. 1.35, а). Следовательно, в каждой секущей плоскости будет один след пересечения винтовой линией этой плоскости. С помощью выведенных уравнений относительного движения (1.6) можно рассчитать радиус-вектор Гдр вершиной которого является точка пересечения винтовой линии с плоскостью N1. Таким образом, геометрически процесс образования поверхности детали можно представить в виде изменения по величине и направлению радиуса-вектора Гд. Любую деталь типа тела вращения можно представить как совокупность бесчисленного множества профилей поперечных сечений, лежащих в плоскостях, секущих деталь перпендикулярно оси ОдХд (рис. 1.35,6). Поэтому, установив влияние отклонений параметров относительного движения на точность обработки детали в поперечном сечении, можно определить их влияние на точность обработки детали в целом. Рассмотрим образование профиля детали в поперечном сечении. Для этого спроектируем Гд на секу-щую плоскость N1 (рис. 1.36, а) и обозначим его проекцию через г . [c.93]

Уравнения (279) имеют точно форму уравнений Лагранжа, но Н теперь содержит также члены первой степени относительно скоростей. Движения не могут происходить точно в обратном порядке. Маятник, с которым соединен вращающийся волчок, имеет (как мы это уже видели в 22) для колебаний, при которых его центр тяжести движется по кругу, разные периоды колебаний для одного и для другого направлении обращения, в то время как волчок вращается в одну и ту же сторону. Совершенно аналогично этому потенциал электрических токов, если имеются постоянные магниты, содержит члены, линейные относительно сил тока или скоростей. От этого обстоятельства зависит электромагнитное вращение плоскости поляризации света. Эта поразительная аналогия, разумеется, не служит доказательством того, что при только что упомянутых физических явлениях действительно играют роль скрытые вращательные движения. Но эта аналогия может быть самым естественным образом объяснена этой гипотезой и указывает во всяком случае на то, что сравнительное изучение обоих родов явлений обещает объяснение дальнейших фактов. Движение твердого тела, рассматриваемое в описанном примере, является, между прочим, чистым моноциклом, если силы 9I и имеют как раз такие значения, что А иС меняются очень медленно в сравнении с В, в противном случае это — смешанный моноцикл. [c.495]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Невозмущенное вращение спутника относительно центра масс описывается уравнениями Эйлера — Пу-ансо. Геометрически это движение можно интерпретировать как качение трехосного эллипсоида инерции тела вокруг вектора кинетического момента по неподвижной плоскости, перпендикулярной к этому вектору [1]. [c.175]

Дифференциальное уравнение вращатель-ного движения твердого тела около неподвижной оси. Положение твердого тела, которое может вращать ся около неподвижной оси, определяется углом поворота (р-некоторой плоскости, неизменно связанной с твердым телом, по отношению к неподвижной плоскости (фиг. 178). Пусть осью вращения тела является ось Ог реакции двух закрепленных точек оси вращения /5 и В обозначим -> -> через NA и Практически закрепление оси осуществляется при помощи подшипников и подпятников. [c.405]

В предельном случае плоской пластинки виды колебаний распадаются на два главных класса один из них соответствует деформациям без удлинений со смещениями, нормальными к плоскости пластинки, второй — деформациям, сопровождаемым удлинениями, когда смещения параллельны плоскости пластиики [см. 314, d), е) и 333]. Случай неограниченной пластинки конечной толщины рассматривал Релей ), исходя из общих уравнений колебания упругого тела и прилагая метод, родственный описанному в 214, Здесь могут быть продольные колебания, когда смещения параллельны плоскости пластиики колебания этого класса распадаются на два подкласса к первому относятся такие, в которых средняя плоскость не испытывает деформации, ко второму относятся колебания, в которых смещения аналогичны касательным смещениям в замкнутой тонкой сферической оболочке. Возможны также колебания второго класса, при которых смещение имеет как нормальный к плоскости пластинки компонент, так и компонент, лежащий в этой плоскости если пластинка тонка, то первый компонент будет мал по сравнению со вторым. Нормальный компонент смещения исчезает на средней плоскости, а нормальный компонент вращения исчезает всюду, так что эти колебания аналогичны колебаниям второго класса в замкнутой тонкой сферической оболочке. Имеется далее ёще класс колебаний изгиба, когда смещение имеет и норушльный и касательный компоненты, причем последний мал по сравнению с нормальным в случае, если пластинка тонка. Касательный компонент исчезает на средней плос сости, так что деформацию приближенно можно считать не имеющей удлинения. При этих колебаниях линейные элементы, которыг вначале были нормальны к средней плоскости, в течение всего движения остаются прямолинейными и нормальными к той же плоскости. Частота колебания приблизительно пропорциональна толщине пластинки. Подобные колебания без удлинений в замкнутой тонкой сферической оболочке невозможны. [c.577]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...