Преобразования функций и тензоры

Преобразования функций и тензоры. Пусть функции ф и ф связаны каким-либо линейным преобразованием, например, интегральным или дифференциальным [c.50]

Тензорная функция над тензором Q. Предполагаются заданными функций psk — fsh qmr,), причем qmn — компоненты тензора, и известно, что элементы матрицы /s,vll таки<е подчинены закону преобразования (1.3.6) компонент тензора. Этим определяется тензорная функция Р = F Q) над тензором Q. [c.831]

Математически векторы и тензоры определяются с помощью закона преобразования следующим образом ). Векторы и тензоры являются системами чисел или функций, компоненты которых при переходе от системы координат к а " [c.478]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Развитие статистической теории турбулентности идёт по двум различным направлениям 1) в направлении использования моментов связи проекций скоростей различных порядков или коэффициентов корреляций и связанных с этими понятиями структурных функций или корреляционных функций, определяющих в известной мере масштабы элементов турбулентности в предположении однородности и изотропности потока, и 2) в направлении использования спектральных функций или спектрального тензора, связанных с пульсациями кинетической энергии и статистическим распределением этой энергии по волновым числам. В частных случаях спектральные функции и корреляционные функции связаны обычным преобразованием Фурье. [c.503]

Линейные определяющие соотношения. Линейные тензорные функции, связывающие тензор ранга т и тензор ранга п, являются тензором ранга (n + m), инвариантным относительно группы преобразований G, характеризующей свойства этих определяющих соотношений. [c.648]

Величина oj) должна быть объективной, поэтому функция г должна удовлетворять условию инвариантности ijj(B) = = ijj(QBQ ) для всех ортогональных преобразований Q в Ж и Это соотношение выполняется тождественно, так как, согласно уравнениям (2.3.30), величина В объективная. Таким образом, If) есть изотропная скалярная функция симметричного тензора второго порядка В. Согласно хорошо известной теореме Коши такая функция может зависеть от В только через три его главных инварианта 1 , а = 1, 2, 3 [c.129]

Для окончательного решения вопроса о допустимом виде тензора Вд(г) надо только выяснить возможный вид функций Вц г) и B v v(г). С ЭТОЙ целью рассмотрим представление (11.54) тензора Вц г) в виде преобразования Фурье спектрального тензора В случае изотропного поля и х) тензор будет изотропной [c.41]

Для замыкания системы уравнений при турбулентном режиме течения используются различные алгебраические модели коэффициентов переноса, являющиеся непосредственным обобщением двумерной модели переноса. При этом делается предположение об изотропности коэффициента турбулентной вязкости. Это значит, что турбулентная вязкость является скалярной функцией координат и составляющих тензора скоростей деформации. Направление суммарного касательного напряжения совпадает с направлением результирующего градиента скорости О с компонентами ди/д , дхю/д ). Длина пути перемешивания Прандтля является скалярной функцией и не зависит от преобразования координат /1=4=/. Обобщение гипотезы Прандтля для пространственного пограничного слоя естественно задать в виде [c.322]

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Правые части равенств (4) или (6)—формул преобразования компонентов тензора второго ранга при переходе от одной прямоугольной системы координатных осей к другой аналогичной системе представляют собой квадратичные функции (функции второй степени) относительно направляющих косинусов li, /и,,. .. [c.772]

Термодинамический потенциал Гиббса. Эта термодинамическая функция, обозначаемая через G, в которой за независимые переменные приняты компоненты тензора напряжения Т и температура 0, связана со свободной энергией преобразованием Лежандра [c.120]

Будем считать, что все рассматриваемые функции обладают гладкостью, необходимой для проведения используемых преобразований, и изменяются на временном отрезке [О, тензоры деформаций и напряжений вместе со всеми своими производными равны нулю. [c.229]

Основной принцип электрооптической модуляции в диэлектрических волноводах заключается в отводе всей или части мощности из моды ТЕ (или ТМ) на входе в моду ТМ (или ТЕ) на выходе с помощью внешнего постоянного (или низкочастотного) электрического поля. Для определенности рассмотрим следующий случай преобразования мод ТМ — ТЕ. Такое преобразование происходит из-за возмущения функции диэлектрической проницаемости s(x), производимого внешним электрическим полем через электрооптический эффект. Пусть Де есть изменение тензора диэлектрической проницаемости (х), обусловленное наличием постоянного электрического поля. В соответствии с результатами, полученными в разд. 6.4 и [c.483]

Уравнения равновесия (3.3.47) и граничные условия (3.3.44) вместе с соотношениями (3.3.5)-(3.3.10), (3.3.42), (3.3.43) представляют постановку задачи для рассматриваемого случая в преобразованном виде, не содержащем отрицательных степеней тензоров и функций, входящих в решение. [c.88]

Решение неоднородной краевой задачи для уравнений Ламе при условиях (5.98) построим с помощью преобразования Ханкеля. Выражения для перемещений и компонент тензора напряжений выпишем в виде G — модуль сдвига материала, Jn x) (п = О, 1) — функции Бесселя) [c.214]

Собственно справедливость формулы (20) при любых ортогональных преобразованиях репера, определяемого матрицей А, и оправдывает название матрицы У тензором. В частности, из формулы (20) следует, что для любых векторов х, у е скалярная функция - билинейная форма [c.176]

Из соотношений (12.12) и (12.14) следует, что для решения задачи теории упругости не требуется знания тензора функций напряжений, а достаточно иметь выражения его дивергенции и первого инварианта. Этот вектор и скаляр, однако, не независимы друг от друга, а связаны соотношением, которое получим, вычислив дивергенцию тензоров в правой и левой частях соотношения (12.11). Применив формулы преобразования [c.60]

Особенно полезна такая форма I лагранжева и эйлерова тензоров конечных деформаций, когда эти тензоры представлены в виде функций градиентов перемещения. Тогда, если дх дХ, из (3.24) подставить в (3.37), то после некоторых простых алгебраических преобразований лагранжев тензор конечных деформаций примет вид [c.119]

Из этого выражения следует, что девять функций S.j преобразуются по законам преобразования ковариантных компонент симметричного тензора второго ранга при повороте системы координат с метрическим тензором g. и базисом (е[ 2 з) эти же функции являются ковариантны-ми компонентами тензора и в системе координат с базисом (е,, 63), где метрическим тензором являются величины Используя диадные обозначения, тензор в начальной конфигурации можно записать в виде Eq = а в конечной области V — в виде E = , 6 6 [c.65]

Здесь Gij] l и К1щ — тензоры четвертого ранга. Величины Gijkl образуют тензор упругих податливостей, а функции Кцх1 представляют собой ядра ползучести. Б общем случае число независимых компонент тензора упругих модулей и тензора ядер ползучести] не превосходит 21. При наличии в теле плоскостей симметрии и осей симметрии различного порядка число независимых компонент тензоров и Gij l сокращается. В случае изотропной среды тензоры и не изменяются при преобразованиях симметрии и поворота системы координат. Из общего вида изотропного тензора четвертого ранга вытекает, что [c.18]

Для того чтобы найти зфашнения движения частей твердого тела, нужно знать объемные и поверхностные силы, действующие на эти части в процессе деформирования. Внешние силы должны быть заданы. Объемные силы могут быть найдены, коль скоро известна внутренняя энергия деформированного тела (поскольку в дальнейшем нас будут интересовать адиабатические процессы). Относительно внутренней энергии можно сказать, что она должна быть инвариантна относптельпо преобразования координат. С другой стороны, внутренняя энергия является функцией компонент тензора деформаций ), поэтому для выполнения условия инвариантности необходимо, чтобы внутренняя энергия завйсела от инвариантов тензора деформации (8.6) [c.294]

Эти законы преобразования нспользовалцсь в старой литературе для.определения векторных н тензорных полей. Например, возможно такое определение числовые функции и называются компонентами относительно систем координат х и х тензора четвертого порядка (дважды, контравариант-ного и дважды ковариантного), если они связаны между собой следующими равенствами [c.517]

Вернемся теперь к формуле (68) и предположим, что величины = gsr являются произвольными функциями координат xi). Спрашивается, можно ли найти такое преобразование координат (67), чтобы выражение для ds приняло вид (66) сразу во всем пространстве Ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен. Требуемое преобразование существует не для любых тензоров (grs), а лишь для тех из них, для которых обращается в нуль некоторый вспомогательный тензор, называемый тензором кривизны. Этот тензор, в частности, равен нулю для цилиндрической поверхностгг (71) и отличен от нуля для поверхности сферы (72). В общем случае возможно тольг.о локальное преобразование (68) к виду (66). [c.476]

Системы функций 1т(х ), У]п(х ), 1р(х ), Ра(х ) обрззуют полные системы фундаментальных функций,удовлетворяющие нулевым граничным условиям и подчиненные [191 следующим требованиям 1) функции ограничены по модулю 2) модуль функции убывает с ростом ее индекса 3) функции простые. Подставляя (1.3.68) в общее решение (1,3.56). после алгебраических преобразований получим выражения ко топент корректирующего тензора [c.45]

Представление напряжений через функции Максвелла неинвариантно, так как при преобразовании координат тензор, ранее диагональный, уже не останется таковым. Неинвариантно и представление Морера. Инвариантное представление тензора [c.26]

В первое слагаемое входят известные, неварьируемые величины оно не нуждается в дальнейших преобразованиях. Чтобы избавиться от перемещений во втором слагаемом, выразим вектор напряжений f + e°-n через компоненты тензора функций напряжений Ф у и некоторые функции (а, Р=1, 2) от их нормальных производных в системе координат, связанной с поверх- [c.56]

Так как формула Остроградского применима только к непрерывной функции а-би, то объем V следует разбить на подобъемы, в которых тензор а непрерывен, выполнить преобразование и сложить полученные интегралы. В результате (2) примет вид [c.91]

В предыдущем разделе мы рассматривали некоторые общие свойства мод диэлектрического волновода и, в частности, получили решения для локализованных мод, распространяющихся в волноводном слое. Волноводные моды могут быть возбуждены и распространяться вдоль оси (г) диэлектрического волновода независимо друг от друга при условии, что диэлектрическая проницаемость е(х, у) = е п (х, у) сохраняется постоянной вдоль оси z. В случае когда имеется возмущение диэлектрической проницаемости Де(г, v, z), обусловленное несочершенствами волновода, искривлением оси, наличием гофра на поверхности и т. п., собственные моды оказываются связанными между собой. Иными словами, если на входе волновода возбуждается чистая мода, то некоторая часть ее мощности может перейти в другие моды. Существует большое число экспериментов и устройств, в которых намеренно создают взаимодействие между такими модами [2—5, 7]. Два типичных примера относятся к преобразованию мод ТЕ ТМ электрооптическими методами [4, 5], с помощью акустооптического эффекта [2] или взаимодействия прямой и обратной мод из-за наличия гофра на одной из границ волновода. В данном разделе для описания такого взаимодействия мод мы используем теорию связанных мод, развитую в гл. 6. Некоторые из важных результатов можно кратко описать следующим образом. Возмущение диэлектрической постоянной представляется небольшим возмущающим членом Ле(х, у, г). Тогда тензор диэлектрической проницаемости как функция пространственных координат запишется в виде [c.459]

Преобразуем соотношения, входящие в постановку рассмотренных задач, таким образом, чтобы избежать необходимости обращения тензоров и деления на скалярные функции, входящие в решение задачи, при применении метода Ньютона-Канторовича. Это нужно сделать потому, что в результате выполнения указанных операций в правой части линеаризованных уравнений, решаемых на каждом шаге метода, появятся функции сложной структуры, которые практически невозможно будет проинтегрировать аналитически. Для выполнения таких преобразований используем теорему Гамильтона-Кэли [59]. В силу этой теоремы для произвольного неособенного тензора второго ранга Т справедливо тождество [c.87]

Итак, задача сводится к вычислению корреляционной функции флуктуаций энтропии Как и в предыдущем разделе, будем исходить из системы уравнений (9.2.24), разбив тензор вязких напряжений и поток тепла на регулярные и случайные части. В данном случае удобнее записать эти уравнения для энтропии s r t) и поля скоростей v(r, ). Поскольку стохастические уравнения (9.2.24) можно интерпретировать как уравнения Стратоновича, для перехода к новым переменным достаточно воспользоваться локальными уравнениями состояния. Полагая v =j/д и s = s( ,e ), где е = е — j /2д — плотность энергии в движущейся системе координат, в результате простых преобразований получаем / [c.252]

Материал Синьорини. Допустим в качестве материала среды выступает материал Синьорини. В этом случае используем представление упругого потенциала (1.6.4) как функцию инвариантов меры Фингера, внесем его в формулы (1.5.6) и применим обозначение для инвариантов меры Коши h = Ik G). После необходимых преобразований получим закон состояния, выражаюшдй тензор напряжений Пиола в виде (1.5.19). [c.28]

Вместо вычисления преобразования Фурье от sgn Х и i , которое требует использования теории обобщенных функций, заметим, что соотношения (7.70) — (7.72) выполняются для являющейся частным решением уравнения (7.1) (при Xl 0). Следовательно, преобразования Фурье для давления, скорости, температуры, тензора напряжений и теплового потока связаны следующими соотношениями — onst) [c.249]

Совокупность величин расположенных в виде матрицы (/) и преобразующихся в величины по формулам (а), определяет гювую величину J) называемую тензором инерции. Тензор (/) представляет собой оператор, который, действуя на некоторый вектор а, дает другой вектор Ь, проекции которого являются лилейными функциями проекций вектора а, причем матрицей линейного преобразования является матрица (/), а вектор Ь называют линейной вектор-функцией вектора а и обозначают в виде [c.381]

Для того чтобы найти преобразование тензора при поворотах системы координат, выберем жестко связанные с твердым телом системы 5 и 5", имеюш,ие обп ее начало (рис. 8.8). Выражая какую-либо скалярную функцию,- зависяп ую от компонент тензора, сначала через величины, отнесенные к системе 5, а затем через аналогичные величины, отнесенные к системе 5", можно получить закон преобразования тензора. В частности, выбирая в качестве скалярной функции кинетическую энергию ЗГ, получим [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...