Вектор контравариантный

Наряду с определением вектора контравариантными компонентами существует определение вектора скалярными произведениями [c.50]

Тензор, составленный относительно ковариантных векторов, называется ковариантным, а тензор, составленный относительно контравариантных векторов — контравариантным. [c.58]

Простейшим примером такого тензора является тензор преобразования координатных систем. Пусть одна система координат определяется тройкой взаимно ортогональных ковариантных векторов Xi, Xj, Xg, другая — тройкой взаимно ортогональных векторов контравариантных xj, х , Хд. Известно, что преобразование первой системы координат во вторую осуществляется по равенствам [c.58]

Для определения деформаций физических объемов и площадок удобными являются векторы контравариантного базиса и кон- [c.72]

В криволинейных координатах необходимо различать два вида векторов контравариантные и ковариантные. [c.125]

В этом случае определения для контравариантных и ковариант-ных компонент вектора а суть соответственно [c.18]

Контравариантные и ковариантные компоненты, определяемые уравнениями (1-2.5) и (1-2.6), можно получить также как скалярные произведения вектора а и базисных векторов [c.19]

При изменении координатной системы меняются также ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Изменение координат определяется системой трех соотношений типа [c.19]

Следуя иному подходу, во многих книгах по векторному и тензорному анализу (линейная алгебра) используют свойства преобразований, выраженные уравнениями (1-2.10) и (1-2.11), для определения упорядоченных систем чисел, называемых соответственно контравариантными и ковариантным векторами. [c.19]

Действия над векторами, которые определяются независимо от введения компонент, имеют также определения — дубликаты в терминах компонент. Например, сумма двух векторов, наглядно определяемая правилом параллелограмма, дается в терминах компонент (ковариантных или контравариантных) следующим правилом [c.19]

Чтобы сделать это, мы должны немного отклониться и показать, что дифференциалы координат dx суть контравариантные компоненты вектора dX, характеризующего различие между точкой с координатами х - + и точкой с координатами x . [c.30]

Сравнивая (1-4.2) с (1-2.10), замечаем, что величины dx должны быть контравариантными компонентами некоторого вектора. Чтобы найти этот неизвестный вектор, мы можем выбрать декартову систему, так что сразу станет ясно, что этим вектором является dX. [c.31]

Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31]

Вспоминая, что dx — контравариантные компоненты вектора dX, и сравнивая уравнение (1-4.6) с уравнением (1-2.7), находим [c.31]

Для координатных систем, не являющихся ортогональными, также можно говорить о физических компонентах при условии, что выбран векторный базис, составленный безразмерными векторами единичной длины. Однако в этом случае выбор неоднозначен. Можно взять векторы единичной длины, имеющие те же самые направления, что и векторы естественного базиса. В качестве альтернативы можно выбрать также векторы, имеющие направления векторов дуального базиса. В соответствии с этим мы определяем физически контравариантные компоненты или физически ковариантные компоненты векторов. Аналогичные замечания можно высказать и в отношении тензоров. Мы не будем использовать каких-либо компонент такого типа. [c.81]

Поскольку у и равны нулю, а вектор естественного базиса в направлении г имеет единичную длину, уравнения (3-6.13) можно также интерпретировать как соотношения, определяющие контравариантные компоненты скорости. Таким образом, можно записать [c.125]

Косоугольные координаты. Контравариантные и ковариантные компоненты векторов [c.49]

Компоненты а, аналитически определяющие вектор, называются контравариантными компонентами вектора. [c.49]

Коэффициенты преобразования а), являются контравариантными компонентами векторов нового координатного базиса в старой системе координат. Коэффициенты обратного преобразования являются контравариантными компонентами вектора е в новой системе. [c.51]

Покажем теперь, что между контравариантными и ковариант-ными компонентами вектора существуют линейные зависимости, которые устанавливают между ними взаимно однозначное соответствие. Рассмотрим сначала равенство (1.43с) и, пользуясь им, найдем ковариантные компоненты вектора на основании формул (1.44). Получим [c.52]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Рассмотрим теперь коэффициенты преобразования и Р кова-риантных и контравариантных компонент векторов. [c.92]

Чтобы найти коэффициенты р], рассмотрим формулы преобразования компонент контравариантного вектора dxK Имеем [c.92]

Теперь рассмотрим дифференциал контравариантного вектора da.=d (a ) = e da -)- a de . (b) [c.93]

Выражения (11.60а) и (П.бОЬ) вместе с формулами (11.63) и (11.64) определяют контравариантные и ковариантные компоненты абсолютных дифференциалов переменного вектора а. [c.94]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Контравариантные компоненты вектора скорости (11.66) называются также обобщенными скоростями. [c.95]

Обычно рассматривают скорость и ускорение как контравариантные векторы. [c.95]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Из этого видно, что проекции а,(, вектора а на оси местного координатного базиса связаны с контравариантными компонентами вектора соотношениями [c.96]

В уравнениях (IV.5а) Р — контравариантные компоненты вектора силы. [c.320]

При параллельном переносе вектора из некоторой точки в соседнюю абсолютное изменение вектора равно нулю. Обозначим изменения контравариантных компонент вектора при параллельном переносе с1а . Тогда, согласно формуле (П.бОа), получим [c.388]

Базис Са далее называется неголономным, а базис е , определенный формулами (Ь), — голономным. Контравариантные компоненты вектора дг в неголономной локальной системе отнесения определяются формулами [c.152]

Приращения контравариантных и ковариантных компонент вектора при его параллельном переносе определяются формулами (IV. 157) и (IV. 158) первого тома [c.174]

Основой построения дифференциальных форм, инвариантных относительно преобразований координат х , определенных равенствами (11.389), является вектор элементарного перемещения 6г. Полное количество его компонент равно 2 V. Первые N компонент — контравариантные 6г = (/= 1, 2,. .. [c.389]

Предположим, что метрика выбрана ). Тогда можно найти все контра-вариантные или ковариантные компоненты вектора бг на основании соотношений 24 первого тома. Вычисления, связанные с этим определением, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений с 2Л1 неизвестными. Предположим, что это вычисление выполнено. Пусть найдены контравариантные компоненты вектора бг Ьг> = ЬхК Предположим, что форма [c.389]

Обозначая контравариантные компоненты вектора г через (1х получаем [c.501]

С другой стороны, если известна система из трех чисел, преобразующаяся при изменении координатной системы согласно (1-2.10) или (1-2.11), то существует некоторый вектор, контравариантные или ковариантные компоненты которого задаются этой системой. [c.19]

Сопряженные векторы. В теории линейных векторных пространств большое значение имеют понятия контра-вариантного и ковариантного векторов и соответствующих проекций. Эти векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются по-разному. Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя ограничиться лишь одним типом векторов (контравариантным или кова-риантным), потому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории-анализ инвариантов преобразований. Обычно контравариант-ные и ковариантные величины различаются положением обозначающих их индексов. Например, е -ковариант-ный вектор, е -контравариантный вектор. Эти векторы принадлежат различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как операция умножения между ковариантным и контравариантным векторами, что и обеспечивает инвариантность этого произведения. [c.132]

Компоненты произвольного вектора в базисе, дуальном естественному, называются ко вариантными. Различие между ковариан-тными и контравариантными компонентами имеет смысл только по отношению к существованию какой-либо координатной системы. Если два взаимно дуальных базиса выбраны независимо от акой бы то ни было системы координат, не существует способа оказать предпочтение одному перед другим, и компонентам вектора в каждом из базисов не могут быть присвоены различные наименования. [c.18]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

Величины а являются контравариантными компонентами вектора а в новой системе координат. Из сравнения формул (1.50а) и (1.49) видно, что прямое преобразование коитравариантных компонент осуществляется при посредстве коэффициентов р обратного преобразования векторов координатного базиса. Этим объясняется возникновение термина контравариантный . [c.51]

Весьма существенным является сочетание действия умножения с действием свертывания. С частными случаями этого действия мы встречались выше. Рассмотрим это действие подробнее, вводя как множитель метрический тензор. Простейшие случаи применения этого комбинированного действия определены формулами (1.53) и (1.55). Из этих формул видно, что, применяя действия умножения на метрический тензор и свертывания к вектору, можно поднять индекс компоненты вверх, превратив ковариантиые компоненты в контравариантные, или, наоборот, опустить этот индекс вниз. Это действие поднимания или опускания индексов, являющееся результатом комбинированного действия умножения и свертывания, можно распространить на произвольные мультипликативные тензоры. [c.58]

В правой части равенства (IV. 147) стоит сумма произведений компонент йх коитравариантного вектора на величины Ууй - Эта сумма может быть тензором, а именно вектором с контравариантными компонентами только тогда, когда величины являются компонентами смешанного тензора второго ранга ). В левой части равенства (IV. 147) стоят компоненты коитравариантного вектора ( а). Поэтому можно рассматривать сумму, стоящую в правой части равенства (IV. 147), как результат действия свертывания, выполненного над вектором н смешанным тензором Ja ( 24). [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...