Преобразование компонент тензора

Уравнения преобразования компонент тензоров от одной системы координат к другой аналогичны соответствующим уравнениям для компонент векторов (см. уравнения (1-2.10) и (1-2.11)). [c.25]

Введенные выше мультипликативные тензоры (1.37) и (1.38) можно рассматривать как результат обобщенного действия умножения векторов а и Ь. Очевидно, это действие умножения не коммутативно. Применяя формулы (1.39) или (1.40) преобразования компонент тензора, легко убедиться в том, что сумма компонент Тц [c.47]

Замечание. Формулы (1.91а), (1.91Ь) и аналогичные можно получить н другим способом, не обращаясь к формулам преобразования компонент тензора. Можно применить формулы I [c.79]

Из сравнения с предыдущим равенством получим формулу преобразования компонент тензора L [c.117]

Величины называются физическими проекциями вектора а. Обозначим теперь тензор второго ранга в прямолинейных прямоугольных координатах Xi через pih, физические проекции этого тензора в криволинейных ортогональных координатах через Рх , а его контравариантные компоненты через тогда по формулам преобразования компонентов тензора (1.10) будем иметь [c.18]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ [c.15]

Итак, деформация тела в целом представляет собою результат наложения бесконечно большого числа чистых сдвигов для всех возможных систем скольжения гер. Чтобы вычислить эту деформацию, перейдем к составляющим тензора деформации относительно фиксированных осей а ,- по формулам преобразования компонент тензора второго ранга ( 7.1). Принимая направления га и Р за направления 1 и 2 новой системы координат, мы должны принять все еу равными нулю, кроме вц = Тогда [c.560]

Рассмотрим теперь условия симметрии для тензора связи третьего порядка. Формулы преобразования компонентов тензора третьего порядка при переходе от одной системы координат к другой имеют вид [c.133]

На основании формул преобразования компонент тензора при переходе от декартовой системы координат X, у к декартовой системе координат, повернутой в каждой точке А плоскости 2 относительно х, у на угол [c.502]

Сразу ясно, что соотношения (19а) и (196) представляют собой обычные формулы преобразования компонент тензоров соответственно второго и четвертого ранга, определяемых формулами (15) таким образом, мы установили, что [c.420]

Критерий максимальной деформации, записанный в виде (146), представляет собой вырожденный случай общей тензорно-полиномиальной формулировки (10) коэффициенты, входящие в развернутую форму условия (146), подчиняются обычным правилам преобразования компонент тензоров. (20) [c.420]

Критерий максимального напряжения представляет собой вырожденный случай тензорно-полиномиального критерия (56) в напряжениях, и коэффициенты соответствующего выражения подчиняются закону преобразования компонент тензора. (33) [c.430]

Правые части равенств (4) или (6)—формул преобразования компонентов тензора второго ранга при переходе от одной прямоугольной системы координатных осей к другой аналогичной системе представляют собой квадратичные функции (функции второй степени) относительно направляющих косинусов li, /и,,. .. [c.772]

Правая часть этого равенства представляет собой функцию нулевой степени относительно направляющих косинусов 1 , mi,. .., Итак, ранг тензора совпадает со степенью относительно направляющих косинусов Lx, nil, . 3. функции, представляющей собой правую часть формул преобразования компонентов тензора при переходе от одной системы ортогональных координатных осей к другой аналогичной системе. [c.772]

Преобразование компонент тензоров напряжений и деформаций к новым осям в общем случае осуществляется по известным формулам [311 [c.18]

Согласно (1.65) получили закон преобразования компонент тензора второго ранга. Следовательно (IV.4) — матрица компонент симметричного тензора второго ранга, называемого тензором напряжений Т . Матрица (IV.7) его контравариантных компонент также симметричная, т. е. [c.117]

Такое преобразование компонентов тензора деформации возможно, [c.43]

Подобным же образом получим формулы преобразования компонент тензора [c.875]

Вязкоупругие свойства для произвольных направлений, не совпадающих с направлением осей симметрии материала, определяются при этом обычными (приведенными выше) формулами преобразования компонент тензора четвертого ранга при повороте системы декартовых координат, причем некоторые упругие постоянные заменяются в этих формулах интегральными операторами. [c.55]

Эта формула следует из закона преобразования компонент тензора второго ранга при повороте осей координат. Для некоторых ортотропных материалов (стеклопластиков) формула (3.30) подтверждена экспериментальными данными в [17]. [c.237]

Величины определяющие напряженное состояние в точке Р, зависят от выбора координат. Сейчас мы получим закон преобразования компонент тензора напряжений. Образуем бесконечно [c.85]

С этой целью воспользуемся законом преобразования компонент тензора второго ранга к новым осям [ 4.8] [c.83]

Из (1.6), (1.7) получаем формулу преобразования компонент тензора при изменении базиса [c.8]

Для каждого фиксированного момента времени t пространственный и материальный текущий базисы определены для разных (пространственной и материальной), но мгновенно совпадающих точек. При отождествлении материальных точек с соответствующими пространственными точками текущей конфигурации материальные и пространственные координаты соответствуют двум равноправным системам координат. Компоненты тензоров при переходе от пространственного базиса к материальному текущему базису пересчитываются по обычным законам тензорного преобразования. В общем случае материальный отсчетный базис определен в другой (отсчетной) конфигурации, поэтому преобразования компонент тензоров, определенных в материальном от-счетном базисе, к компонентам, определенным в двух других базисах, происходят по другим (не имеющим тензорного характера) правилам. Исключениями являются случаи [c.22]

Упражнение П1.6. С помощью (П1.20) и (П1.21), используя закон преобразования компонент тензора (П1.26), доказать инвариантность величин Ii, I2, Ь. [c.247]

Отсюда с помощью формул преобразования компонент тензора моментов инерции [c.631]

Задача 1.7. Преобразование компонент тензора. [c.60]

Подстановка выражений (1.5) в (1.7) приводит к закону преобразования компонент тензора [c.8]

Учитывая выражения (3.52), а также формулы преобразования компонент тензоров и векторов при повороте системы координат на угол if), получаем соотношения для составляющих тензора напряжений [c.67]

Выражения (3.42) получаем следующим образом а) через Ф, Ч , имеющие вид (3.40), определяем о , Оее, Огн по формулам (2.18) б) подставляем эти выражения в формулы преобразования компонент тензора напряжений при повороте координатных осей [c.93]

Следствие. Рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат Oxyz. Допустим, что в результате преобразования эта система координат переходит в новую систему Ouvw. На основании формул преобразования компонент тензора имеем [c.78]

В вышеприведенных рассуждениях мы применяли векторный язык, ведя разговор о тензорах. Для простоты и краткости в дальнб11шем мы будем часто пользоваться и векторной символикой, обозначая через в напряженное состояние, а через г — распределение скоростей деформаций. Однако нужно помнить, что любые векторные операции для векторов о и е совершенно незаконны, их нельзя, например, преобразовывать к другим осям координат, формулы преобразования компонент тензора и вектора различны. [c.483]

Две оставшиеся компоненсы Е ч з , характеризующие влияние поперечных к плоскости 2 3 касательных напряжений на деформации в ней, зависят от угла поворота осей ф, что потребовало к свойству осевой симметрии материала добавить приставку квази . Между компонентами Е и "П, относящимися к координатным плоскостям 1 2 и 13, должен существовать взаимный переход их значении при угле поворота, меньшем чем л/2. Так как ось 1 является осью симметрии третьего порядка (упругие свойства материала при повороте вокруг нее на 120° сохраняются), угол между компонентами Е и т) равен я/6. Дейст вительно, преобразованием компонент тензора податливости нетрудно убедиться, что [c.193]

Критерий Мизеса — Хилла, записанный в тензорно-поли-номиальной форме, можно записать в произвольной системе отсчета при помощи обычных правил преобразования компонент тензоров. (436) [c.435]

Яз. Аналогично, в равенствах (1) преобразования компонентов тензора первого ранга (вектора) при переходе от одной системы ортогональных осей к другой системе, правые части представляют собой линейные функции (функции первой степени) относительно направляющих косинусов /i, т ,. ... з- Учитывая неизменность числа а, определяющего тензор нулевого ранга (скаляр) в любой системе координат, формулу преобразования для скаляра при ререходе от одной системы ортогональных осей к другой, аналогичной, можно представить в виде [c.772]

Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой системы осей дается формулами (1.3.6). Их можно получить также, исходя из зависимости Коши (1.4.5). Совместим N с единичным вектором тогда k s проекции на старые оси квазивектора — напряжения на площадке с нормалью — по (1.4.6) будут [c.28]

При повороте системы координат от х, к х коэффициешы изменяются по закону (П1.26) преобразования компонент тензора второго ранга Та. При этом вид уравнения (П1.68) не изменяется [c.251]

Плоские вращения структурного элемента. Пусть Лapvб — компоненты тензора эффективных жесткостей структурного элемента в локальной системе координат 1, 2, 3 и пусть относительно системы координат х, у, ) структурный элемент повернут в плоскости х, у) на угол ср. Тогда в соответствии с законом преобразования компонент тензора четвертого ранга [68, 75] эффективные жесткости структурного элемента Ацы в глобальной системе координат композита выражаются в виде [c.34]

Для нахождения сдвиговых коэффициентов aik, g k, Щк, pik, q k, rriik вводится новая система координат х , х, поворотом осей x , Xk на положительный угол ф вокруг оси Xj до совпадения оси х с направлением V, вдоль которого действует напряжение а , и получены константы Fik, Bik, Dik, kuk, h k, tiik. Выразим компоненты тензора напряжений, отнесенные к старой системе координат, через напряжение, совпадающее по направлению с осью л . Если ф = 45°, то согласно правилу преобразования компонентов тензора при переходе от одной системы координат к другой = Okilnlik (здесь действует правило суммирования), где — компоненты тензора напряжений в новой системе координат, 1ц, Ijk — направляющие косинусы, ац — Okk = = = /1 — Оц == а Ik = О я Sv) S// —-- Sv, Sik = [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...