Тензор закон их преобразования

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Основой аналитического определения тензоров является установление определенного закона преобразования их компонент при преобразованиях систем координат. Как и для векторов, этот закон [c.43]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

В механике деформируемого тела рассматривают физические величины (векторы и тензоры), не зависящие от выбора системы координат, но иногда их удобнее изучать в некоторых специально выбранных системах координат. Векторы и тензоры в каждой из систем координат задаются совокупностью величин, называемых компонентами вектора или тензора. Если эти компоненты заданы в одной системе координат, то они определены и в любой другой системе, ибо определение вектора и тензора включает и закон преобразования их компонент при переходе от одной системы координат (базиса) к другой. Одним из важнейших достоинств векторного исчисления является.то, что уравнения, характеризующие состояние механической системы (уравнения равновесия или движения,) можно формулировать в инвариантной форме по отношению к координатным системам. [c.7]

Закон преобразования характеристики какого-либо свойства при повороте осей координат (и ранг соответствующего тензора) может быть выведен исходя из теоретических соображений. Сопоставление геометрического изображения этого закона в виде фигуры (поверхности анизотропии) с экспериментальными данными может служить проверкой правильности исходных допущений, лежащих в основе вывода об их применимости к исследуемому материалу. [c.9]

Реономные свойства анизотропных тел существенно зависят от ориентации. Для их описания при самом общем подходе могут быть применены, например, соотношения теории термовязкоупругости анизотропных сред, полученные в [10]. Связь между напряжениями и деформациями, записанная в интегральном виде, определяется некоторыми интегральными операторами. Для этих операторов справедливы те же законы преобразования и симметрии, что и для тензора упругости. [c.55]

Подставим в эти соотношения вместо их выражения по формулам (3.1.9). Результат подстановки, имеющий вид суммы линейных и нелинейных слагаемых, преобразуем, разбивая всю совокупность нелинейных членов на две группы. К первой группе отнесем те нелинейные слагаемые, которые соответствуют классической части" + zrj в законе (3.1.9) распределения перемещений по толщине пакета слоев, ко второй группе — все остальные нелинейные слагаемые, содержащие поправку к классическому закону. В результате этого преобразования выражения для компонент тензора тангенциальных деформаций примут вид [c.46]

Поскольку коэффициенты преобразования Лоренца являются константами, их можно внести под знак производной, так что вывод интегральных законов сохранения для тензоров всех трех видов не связан с какими-либо затруднениями в отличие от общей теории относительности с ее проблемой сохранения энергии-импульса и т. д. Поэтому можно вывести интегральный закон сохранения, соответствующий уравнению (22.75), и, меняя свободные индексы дифференцируемого выражения, перенести полученные результаты на остальные случаи. [c.122]

Если законы природы формулируются в виде 1фвариант-ных уравнений между 5-тензорами, то их градиентная инвариантность очевидна, поскольку группа градиентных преобразований является подгруппой общих преобразований пяти координат. При переходе к четырехмерной записи уравнений и выделения координаты действия следует следить за тем, чтобы градиентная ковариантность сохранялась. Выведем общие формулы преобразования 5-тензоров при градиентных преобразованиях (1,41). [c.26]

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47]

Соотношения (6.10) носят название обобщенного закона Гука для анизотропного упругого тела. Коэффициент ii,mn образуют тензор упругих констант. Их всего восемьдесят одна. Действительно, пусть преобразование координат дается формулой x i = lijxj. Тогда в новых осях x i компоненты тензора напряжений а ц найдутся по формуле [c.114]

Закон преобразования компонент тензора напряжений при повороте декартовой системы осей дается формулами (1.3.6). Их можно получить также, исходя из зависимости Коши (1.4.5). Совместим N с единичным вектором тогда k s проекции на старые оси квазивектора — напряжения на площадке с нормалью — по (1.4.6) будут [c.28]

Если тот же единичный объем среды движется со скоростью V относительно некоторой системы координат наблюдателя (эйлерово пространство), то движение заряда представляет ток век-торы ], Е, В,. .., определенные в этом пространстве, отличаются от Е, В, . .. в той же физической точке среды, т. е. по их природе векторы электромагнитного поля ], Е, В,. .. при переходе ог неподвижной к подвижной системе координат преобразуются по особым законам, отличным от преобразований векторов, ранее рассмотренных, Понятно, что все преобразования в системах координат (декартовых, криволинейных), неподвижных одна относительно другой, сохраняются для ], Е, В,. .. такими же, как и для обычных векторов и тензоров. Эти особенности электромагнитных полей связаны с различием физических законов классической механики и теории относительности, определяемым параметром =v (отношение скорости движения к скорости света). [c.262]

СПИНОР — многокомпонентная математич. величипа, особым образом (отличным, напр., от способа преобразования тензора) преобразующаяся при изменении системы координат. В квантовой механике С. введены для описания спина частиц (откуда и происходит их название). Простейший С. —С. первого ранга — пара комплексных чисел (ц, = 1, 2), преобразующаяся по закону [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...