Упрощение системы Навье-Стокса

Упрощение системы Навье-Стокса [c.19]

Произведем упрощение уравнений Навье —Стокса (2.29, 2.30), имея в виду получить уравнения для исследования пограничного слоя. Сделаем это для простого случая плоского течения жидкости вдоль поверхности малой кривизны. Пусть контур тела совпадает с осью X, тогда система уравнений, описывающая движение жидкости, имеет вид [c.105]

Упрощенные уравнения Навье-Стокса. В аэродинамических приложениях интерес представляют системы уравнений вязкого газа, полученные из (1.9) в результате пренебрежения теми или иными членами. Основа-шем для этого часто является малость параметра Ке", где число Рейнольдса Ке вычислено по некоторым характерным значениям р,, и р, — соответственно плотности, скорости, длины и коэффициента вязкости. В дальнейшем будут рассматриваться более общие уравнения, чем уравнения пограничного слоя, полученные в результате пренебрежения в (1.9) членами порядка <9(Ке ) и выше. Это не означает, однако, что компактные аппроксимации не могут быть использованы для решения уравнений пограничного слоя. [c.131]

Для вязких течений через каналы и сопла с искривленными стенками, локальные радиусы продольной кривизны которых сравнимы с локальными поперечными размерами канала, получены упрощенные уравнения Навье - Стокса, которые имеют эллиптический тип в дозвуковых областях течения и гиперболический тип - в сверхзвуковых. Для полученной системы уравнений разработан новый численный метод эволюционного типа по продольной координате с глобальными итерациями поля направлений линий тока и поля продольного градиента давления. Эффективность метода иллюстрируется на примере решения прямой задачи сопла Лаваля для течения воздуха при числах Рейнольдса Ке и 10 в конических соплах с кривизной горла = 1,0 и 1,6 - кривизна, отнесенная к обратной величине радиуса критического сечения сопла). Для расчета расхода и тяги сопла с точностью 0,01% достаточно двух итераций. [c.61]

Упрощение системы уравнений Навье - Стокса. Точность упрощения уравнений Навье - Стокса во многом зависит от выбора системы координат. Если для описания внутренних течений используются декартовы (или цилиндрические) координаты, то это накладывает сильное ограничение на применимость упрощенных моделей. В частности, модель узкого канала, выведенная в декартовой системе координат, оказывается применимой для углов наклона стенок канала к оси, не превышающих 10°. [c.62]

Гиперболическое приближение для внутренних течений. Рассмотрим стационарное ламинарное течение вязкого теплопроводного совершенного газа в плоском или осесимметричном сопле Лаваля. Система безразмерных упрощенных уравнений Навье-Стокса в адаптированной ортогональной системе координат ( , Г ) [20] относительно естественных переменных имеет вид [c.33]

В теории нестационарных течений есть еще много невыясненных вопросов. В виду пока непреодолимой сложности решения полной системы нестационарных уравнений Навье-Стокса нет законченной теории колеблющихся течений. Поэтому теория таких процессов, как правило, базируется на упрощенных моделях, достоверность которых проверяется экспериментально. [c.4]

Уравнения пограничного слоя для этого наиболее общего случая лучше всего вывести в системе ортогональных координат, построенных около данной поверхности (рис. 105). Свойства этой ортогональной системы координат, необходимые для упрощения и сокращений равенств Навье — Стокса и уравнения неразрывности, даны в прилол ении. Уравнения пограничного слоя получают вид [c.300]

ВО всем пространстве. Сравнивая уравнение (7.18) для функции тока с аналогичным уравнением, полученным из системы (4.10) полных дифференциальных уравнений Навье — Стокса, мы видим, что в результате упрощений, сделанных при выводе уравнений пограничного слоя, порядок дифференциального уравнения для функции тока понизился с четвертого до третьего. [c.131]

Особенность геометрии смазочного слоя -малая толщина по координате 2 по сравнению с протяженностью в двух других направлениях- приводит к существенному упрощению как системы уравнений Навье - Стокса, так и уравнений энергии. Технически это достигается переходом к безразмерным величинам и пренебрежением членами порядка относительного зазора и выше по сравнению с единицей (для подшипника скольжения это отношение равно разности радиусов внутренней поверхности подшипника и вала к радиусу подшипника). [c.190]

После этих упрощений система уравнения Навье - Стокса преобразуется в систему уравнений Рейнольдса [c.190]

Другой способ упрощения уравнений движения вязкой жидкости предложен Прандтлем и основан на использовании понятия пограничного слоя. Для плоского течения в декартовой системе координат уравнения Навье-Стокса приобретают вид [c.20]

Системы уравнений, являющиеся настолько сильными упрощениями системы уравнений Навье — Стокса, что прп этом меняется тип уравнений. [c.446]

Не столь радикальные упрощения системы уравнений Навье — Стокса. [c.446]

Отметим, что уравнение конвективной диффузии, поскольку процесс переноса массы протекает в потоке, должно быть дополнено уравнениями движения Навье-Стокса и неразрывности потока. Кроме того, перенос вещества приводит к изменению состава фаз и, следовательно, к изменению их физических свойств. Поэтому систему дифференциальных уравнений, описывающих конвективный массоперенос, следует дополнить также уравнениями, отражающими зависимость физических свойств фазы от ее состава. Расчет такой системы уравнений представляет большие трудности, и аналитическое рещение этой системы уравнений оказывается практически целесообразным только в тех случаях, когда возможны существенные ее упрощения. Поэтому часто для рещения этой задачи используют методы теории подобия. [c.21]

Для настоящей модели выберем криволинейные ортогональные координаты [26], адаптированные к форме стенки канала, которые известны до решения основной газодинамической задачи и могут быть разрешены для любого сечения. Упрощенную систему уравнений будем выводить, взяв за основу полные уравнения Навье - Стокса, записанные в этой адаптированной системе координат. [c.63]

Расщепление продольного градиента давления. Для построения адекватного неэллиптического приближения уравнений Навье-Стокса необходимо определить механизмы передачи информации вверх по потоку. Известно, что при умеренных и больших числах Рейнольдса основной механизм такой передачи в безотрывных течениях, ограниченных достаточно гладкими стенками, - акустический, связанный с продольным градиентом давления. Из характеристического анализа упрощенной системы уравнений в пределах невязкого и полностью вязкого течений выяснено, что за передачу информации вверх по потоку через дозвуковые области ответственна лишь "эллиптическая" часть продольного градиента давления [5, 12, 13]. Расщепление продольного градиента давления в соответствующем уравнении импульса на гиперболическую и эллиптическую составляющие впервые предложено в [24] [c.32]

В методах сращивания предпринимаются попытки численно срастить решения в областях, в которых приняты различные предположения для упрощения системы уравнений Навье — Стокса. Например, расчет течения в ближнем следе за снарядом можно проводить по теории течения невязкой жидкости (метод характеристик) для внешнего течения, по теории пограничного слоя оторвавшегося сдвигового слоя и, возможно, по уравнениям несжимаемой жидкости в области возвратного течения. Не говоря уже об очевидном усложнении программирования, в подобных методах имеются принципиальные трудности, связанные с условиями стыковки решений, которые должны быть удовлетворены (или, наоборот, выборочно опущены) поперек границ, с итерационным положением и описанием границ между областями (например, может ли линия тока, отделяющая область возвратного течения, аппроксимироваться кривой второго порядка, начинается ли она в вершине острого угла на поверхности тела ), с устойчивостью глобальных итераций при сращивании. Несмотря на все эти трудности, было опубликовано некоторое число работ, содержащих хорошие численные решения, полученные методами сращивания. [c.463]

Упрощение системы Навье-Стокса обычно диктуется следующей простой идеей желательно построить уравнения, которые описьшали бы течения, содержащие области как с существенной, так и несущественной вязкостью, но допускающие более экономичные алгоритмы, чем алгоритмы для полных уравнений Навье-Стокса. Обоснование различных упрощений тесно связано со спецификой решаемой задачи. Например, при обтекании затупленного тела потоком слабо разреженно го газа, когда еще справедливы уравнения механики сплошной среды, можно использовать уравнения, в которых выброшены члены порядка 0(Яе ) и выше [56]. [c.131]

Об упрощении уравнений Навье-Стокса. При решении стационарных задач эллиптический характер уравнений Навье-Стокса, а также большой объем вычислений, связанный с присутствием в них тензора вязких напряжений (особенно значительный в криволинейной системе координат в пространственном случае), заставляют искать пути использования более простых уравнений, описывающих основные характерные черты течений. Как уже отмечалось, одна из возможностей упрощения состоит в наличии преимущественного направления распространения возмущений. Таким свойством обладает целый ряд течений при достаточно больших числах Рейнольдса например, в ударном слое за отошедшей ударной волной, около удлинетых тел, в каналах и соплах при сверхзвуковых скоростях ядра потока и т.д. [c.174]

По-видимому, одним из первых опытов упрощения уравнений Навье-Стокса является применение системы, содержащей все члены уравнений Эйлера, пограничного слоя, а также ряд других членов из полной системы, для исследования вязкого течения между телом и отошедшей ударной волной [56]. В настоящее время существует большое число пуб) икаций, посвященных этому вопросу, обзор которых не является целью этой к1шги. [c.174]

Схема с коррекцией давления. Как и в случае сжимаемого газа, в некоторых задачах о стационарных течениях несжимаемой жидкости иногда оказьшается полезным вьщеление преимущественного направления потока с последующим использованием маршевых или итерационно-маршевых алгоритмов. Основой их применения является упрощение уравнений Навье—Стокса, приводящее к тому, что исходная система приобретает свойства параболических уравнений, в которых роль времеш играет пространственная координата. Маршевый принцип может позволить существенно увеличить число узлов вдоль этой координаты, что особенно важно в случае пространственных задач. [c.206]

Для описания течения низкотемпературной плазмы дальнего гиперзвукового осесимметричного следа используется система упрощенных уравнений Навье - Стокса для многокомпонентной смеси газов параболического типа, справедливость которой для сверхзвуковых областей дальнего следа обосновывается в [1-4]. Она дополняется отмеченными выше релаксационными уравнениями типа Ландау - Теллера для энергии колебательных степеней свободы молекул N1, О2, а также уравнением энергии для электронов [7-9]. При расчете коэффициентов переноса ламинарного течения используются формулы Уилке, Мейсона и Саксена, а для турбулентных коэффициентов - зависимости, приведенные в [1]. Критерий [3] используется для оценки расстояния до точки перехода за тонкими телами, которые рассматриваются далее. До этой точки течение считается ламинарным, а после - полностью турбулентным. [c.155]

Итерационно-маршевый метод решения упрощенных уравнений Навье-Стокса эллиптико-гиперболического типа. Для оценки точности гиперболического приближения уравнений Навье-Стокса для внутренних и внешних течений оно сравнивалось с исходными газодинамическими моделями, основанными на системах уравнений (2.1)-(2.5) и (3.1 >-(3.5) эллиптико-гиперболического типа. Для интегрирования таких систем уравнений имеются эффективные итерационно-маршевые методы, устойчивые во всем диапазоне изменения числа Маха как для внутренних течений [29, 32], так и внешних [5, 25, 39]. [c.38]

Заключение. Для описания вязких внутренних и внешних стационарных смешанных двумерных течений предложена новая система упрощенных уравнений Навье-Стокса гиперболического типа, решения которой близки к решениям систем уравнений эллиптико-гиперболического типа [32, 33]. Она получена на основе более детального по сравнению с [24] расщепления продольного градиента давления на эллиптическую и гиперболическую составляющие. На примере расчета смешанных течений в сопле Лаваля и ударном слое около обтекаемого сверхзвуковым потоком затупленного тела показано, что вклад эллиптической части уравнений полного вязкого ударного слоя [33] и эллиптико-гиперболических уравнений гладкого канала [32] в искомые функции невелик. Определяющий вклад в решение вносит гиперболическая часть системы уравнений. [c.45]

Интегрирование основной системы уравнений аэротермохимии (см. гл. 5) даже с помощью современных ЭВМ представляет собой весьма сложную задачу, связанную с большими затратами машинного времени. Поэтому представля ет интерес разумное упрощение этой системы, которое аналогично известному упрощению системы уравнений Навье— Стокса для вязкой несжимаемой нереагирующей жидкости сделанному впервые Л. Прандтлем (1904). [c.371]

При условии р = onst система уравнений (4-12) — (4-15) освобождается от последнего уравнения (4-15), и остающиеся уравнения существенно упрощаются. Однако наиболее важным оказывается то обстоятельство, что механическая сторона явления перестает быть связанной с тепловой и полностью описывается с помощью уравнений сплошности и Навье-Стокса (4-13, 4-14) при внесении в них соответствующих упрощений. Таким образом, система уравнений (4-12) — (4-14) образует замкнутую подсистему уравнений (4-13) — (4-14), решение которой приводит к следующим функциональным зависимостям [c.85]

Существуют и другие упрощения системы уравнений Навье— Стокса, не меняющие, однако, тип системы уравнений столь радикально, как перечисленные выще. В том случае, когда вязкие члепы полностью преобладают над конвективными, система уравнений в переменных г]), для стационарного течения несжимаемой жидкости сводится к одному линейному бигармониче-скому уравненшо четвертого порядка, как это предлагается показать в следующем упражнении. [c.454]

В дальнейшем при построении разностных аналогов тензора напряжений будут использоваться следующие принципы а) члены со вторыми производными по I, I и f аппроксимируются неявным образом б) в зависимости от целей и специфики решаемых задач эти аппроксимации могут иметь различные порядки, некоторые варианты их приведены в гл. 1 в) члены со смешанными производными аппроксимируются явным образом, что позволяет рассматривать их разностные аналоги как известные сеточные функции. Применение явных аппроксимаций смешанных производных связано с факторизацией обращаемого оператора, позволяющей решать одномерные системы разностных уравнений. Может показаться, что такое упрощение приведет к ограничению на допустимую величину временного шага т. Однако, как показывает практический опыт, ограничения на величину г, связанные с нелинейностью уравнений Навье-Стокса, при не слишком малых числах Рейнольдса являются более сильными и аппроксимация смешанных производных не оказьтает заметного влияния на устойчивость схемы. [c.150]

Для расчета двумерных и осесимметрических течений газа широко применяется метод установления для полных уравнений Навье—Стокса. При решении пространственных задач методом установления требуются ЭВМ с большим быстродействием и объемом запоминающих устройств. Поэтому в ряде работ используются упрощенные уравнения, которые получаются из полной системы уравнений за счет пренебрежения членами, которые выражаюг диффузию завихренности вдоль потока и в поперечном направлении. При этом члены завихренности, перпендикулярные к поверхности тела и вносящие основной вклад, сохраняются. В стационар ном случае уравнения движения обладают свойствами эллиптичности. Переход к другой системе уравнений в частных производных позволяет свести задачу к более простой задаче, имеющей параболический характер. [c.103]

Параболизованные модели получают в результате упрощения системы уравнений Навье - Стокса путем исключения всех вторых и смешанных производных вдоль основного направления течения. Эти упрощения не всегда являются математически строго последовательными в уравнениях члены одного порядка малости могут быть исключены или оставлены. Таким образом, известные упрощенные модели вязких течений в каналах наряду с достоинствами имеют свои недостатки. [c.62]

Эллиптико-гиперболическая система упрощенных уравнений. Будем рассматривать стационарное ламинарное безотрывное течение вязкого газа в канале переменного сечения, имеющего гладкие стенки со значительной продольной кривизной. Кривизной оси канала пренебрегается. После записи системы уравнений Навье - Стокса в адаптированной к геометрии канала системе координат и отбрасывания в уравнениях членов порядка малости 1/Ке и O(tg20) при сохранении членов O(tg0) и их производных полученная упрощенная система уравнений для [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...