Постановка задачи, уравнения и краевые условия

Постановка задачи, уравнения и краевые условия [c.153]

Первая группа методов характеризуется тем, что точные дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи путем введения рабочих гипотез, основанных на физических соображениях и результатах эксперимента, заменяют приближенными. Одновременно упрощают и краевые условия, которые ставят в интегральной форме для определенных участков контура (например, вместо напряжений принимают усилия) или в локальной форме для отдельных линий сечения контура (например, в методе начальных функций, см. главу Vni). При указанной постановке задач, как правило, не удовлетворяются уравнения неразрывности деформаций. Применение этих методов к техническим задачам встречается в первых девяти главах настоящей книги. [c.8]

Общее решение этого уравнения (если оно существует) содержит п произвольных постоянных, для выбора которых необходимо задать п дополнительных условий. По способу задания этих дополнительных условий все задачи делятся на два класса задачу Коши и краевую задачу. При постановке задачи Коши все п дополнительных условий задаются при одном значении аргумента. Без ограничения общности можно считать, что они имеют следующий вид при х -- х -. [c.96]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

Теория подобия и моделирования рассматривается как база научной постановки опытов и обобщения экспериментальных данных. Из анализа дифференциальных уравнений, характеризующих общие функциональные связи между основными факторами, и условий однозначности, включающих характеристики геометрии, физических свойств и краевые условия (начальные и граничные), получаем предпосылки к экспериментально-теоретическому изучению процессов. В решении поставленных задач приходится встречаться с различными по сложности явлениями. В некоторых случаях теоретическое решение задач позволяет получить общие качественные связи параметров, например в определении коэффициента трения при решении контактно-гидродинамической задачи. При анализе же весьма сложного процесса изнашивания твердых тел или твердосмазочных покрытий в настоящее время не удается получить достаточно общих математических описаний явлений. В связи с этим различается подход к проблеме трения и износа тел, работающих в масляной среде и всухую (с твердо-смазывающими покрытиями или из самосмазывающихся материалов). Теория подобия базируется на следующих основных теоремах [c.160]

Уравнения (6-56) — (6-59) совместно с граничными условиями (6.50) и (6.51) образуют постановку статической краевой задачи механики деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. Кроме того, напряжения и перемещения на поверхности раздела элементов структуры удовлетворяют условиям контакта, а постановка задачи может быть дополнена условиями адгезионного разрушения. [c.122]

Обоснование схемы. Достаточно обсудить только выполнимость п. (1). Он эквивалентен решению полной безмоментной краевой задачи для консольной оболочки, обсужденной в 18.38, 18.39. Эта задача при любых достаточно гладких свободных членах уравнений и граничных условий имеет решение либо в точной постановке (для оболочек неположительной кривизны), либо в смягченной постановке (для оболочек положительной кривизны), и следовательно, п. (1) выполним. [c.310]

Этот курс, вероятно, должен быть годовым. В нем должны найти отражение вывод основных уравнений механики сплошной среды, физические допуш ения и возмож ные упрош ения моделей, постановки начальных и краевых условий, корректность этих постановок. Здесь же целесообразно изложить некоторые основные аналитические под ходы, используемые для анализа задач основные идеи асимптотических методов, ме тодов теории подобия и размерности, некоторых других аналитических конструкций, о которых шла речь в разделе 2. [c.26]

В этом параграфе исследование устойчивости равновесия радиально сжатой круговой слоистой трансверсально изотропной пластинки выполнено без привлечения кинематических гипотез. Его основу составили уравнения теории устойчивости трехмерных упругих тел. С развернутым изложением этой теории, включающим в себя постановку задачи, вывод соответствующих линеаризованных дифференциальных уравнений и граничных условий, обсуждение аналитических и численных методов исследования сформулированных краевых задач, решение конкретных задач устойчивости, заинтересованный читатель может ознакомиться по монографиям [125, 126]. Здесь ограничимся лишь формулировкой некоторых основных уравнений трехмерной теории устойчивости упругих трансверсально изотропных тел в системе координат, нормально связанной с плоскостью изотропии. [c.151]

Пусть известны напряжения и деформации в теле в к-м состоянии и в этом состоянии в теле образуются одна или несколько полостей, вследствие чего тело переходит в п-е состояние. В случае, если задана граница полости (полостей) после деформирования, будем решать задачу в координатах текущего (п-го) состояния, а если задана граница полости до деформирования, вызванного ее образованием, то будем решать задачу в координатах к-го состояния (промежуточного состояния, предшествующего текущему). Рассмотрим сначала постановку задачи в координатах к-го состояния. Запишем уравнения и граничные условия краевой задачи для случая отсутствия массовых сил и заданного давления на граничной поверхности. [c.39]

Учитывая постановку краевой задачи для нулевого приближения [соотношения (3.1.108)-(3.1.116)], а также уравнения и граничные условия для первого приближения, можно записать постановку задачи для нулевого и первого приближений в общем виде следующим образом [c.63]

Уравнения равновесия, соотношения Коши и краевые условия идентичны соответствующим уравнениям классической теории упругости [20]. Если рассматривать как компоненты тензора напряжений, то немедленно получим постановку задачи деформационной теории пластичности [14]. [c.539]

Постановки краевых задач. Задачи для волнового уравнения с начальными и краевыми условиями обычно в литературе называются смешанными задачами (см., например, [83]). В дальнейшем будем пользоваться следующей терминологией краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в Qi p с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями при х = О и ж = / одного рода, а смешанной краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в Qu с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями при х = О и х = I разных родов. [c.24]

Локальные соотношения, определяющие движение сплошной среды, содержат уравнения движения, имеющие универсальный характер, и краевые условия, связанные с конкретной постановкой задачи. При этом, если часть краевых условий, соответствующая кинематическим огра- [c.12]

Отметим, что постановка задачи профилирования с граничными условиями на априори известной линии тока L является не единственно возможной. Так, в ряде работ распределение некоторых параметров задается на неизвестной образующей искомого канала Например, такой подход использован в [30] для профилирования дозвуковых сопел, где решается краевая задача для уравнения Чаплыгина в плоскости годографа С помощью этого метода удается построить короткие безударные и безотрывные сопла. Однако [c.40]

Решение уравнения (9.1) дается методами математической физики. При этом в зависимости от постановки задачи и краевых условии применяют различные методы решения. Рассмотрим наиболее простые случаи одномерной нестационарной теплопроводности без внутренних источников теплоты [c.426]

Совокупность уравнений и условий (1.185) — (1.189) представляет собой полную постановку начально-краевой задачи для линейно-упругого тела. [c.40]

Это условие совпадает с ранее установленным условием разрешимости самой краевой задачи Неймана N (7.3) и, естественно, должно автоматически выполняться по постановке задачи. Решение же интегрального уравнения включает частное решение неоднородного уравнения и собственную функцию, определение которой не представляет особого интереса при решении краевых задач, поскольку наличие ее в выражении для потенциала сводится к появлению лишь аддитивной постоянной, присутствующей в решении по постановке задачи. [c.101]

Как отмечалось в 2, уравнения (2.3) и (2.5) обладают эквивалентными спектральными свойствами. Сопоставим их в плане численной реализации. В первом случае (уравнение (2.3)) краевое условие задано по постановке задачи, а во вто- [c.586]

При переходе от дифференциальной краевой задачи к сеточной нужно аппроксимировать не только внешние граничные условия, входящие в постановку краевой задачи, но и внутренние граничные условия, вытекающие из системы дифференциальных уравнений. Наиболее естественным способом аппроксимации внутренних граничных условий является замена соответствующих характеристических соотношений их сеточными аналогами. На практике часто применяют и другие способы. В частности, вместо характеристических соотношений используют некоторые из уравнений основной системы. Эти уравнения аппроксимируют с помощью явной схемы уголок , имеющей первый порядок аппроксимации, или с помощью неявной схемы прямоугольник второго порядка точности (см. п. 3 3.2, пример 6). Заметим, что в последнем случае трудности при решении уравнений для искомых функций на верхнем слое не возникают, так как в соседнем с границей узле все неизвестные могут быть определены по основной явной схеме. [c.99]

Дополнительные трудности возникают, когда угловые коэффициенты характеристических направлений меняют знак внутри расчетной области. Рассмотрим случай, когда по-прежнему и + + а 0, и—а<0, но и меняет знак внутри области при х—х, а именно и<0 при х<х, и>0 при х>х. В соответствии с правилом постановки краевой задачи для гиперболических уравнений внешних граничных условий будет на единицу меньше. Воспользоваться внутренним краевым условием для уравнения (3.78) нельзя, так как односторонняя прогонка для уравнения (3.81), очевидно, неустойчива либо на отрезке [хо, х ], либо на отрезке [х, Хм]. [c.104]

Настоящая книга посвящена построению теории ползучести неоднородно-стареющих тел. Она состоит из шести глав. В гл. 1 приводится интегральная форма основных определяющих соотношений между напряжениями и деформациями, т. е. уравнений состояния дается постановка и формулируются условия, которые определяют решения краевых задач теории ползучести для наращиваемых тел, подверженных старению. Исследуется структура ядер ползучести и релаксации, которые отражают наиболее характерные особенности деформирования стареющих материалов во времени. Доказывается ограниченность и асимптотическая устойчивость решения краевой задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел с односторонними связями. [c.9]

Рассмотрим теперь случай, когда на поверхности S задана температура r(s), известная из постановки задачи, а на поверхности L температура равна нулю. Найдем в этом случае решение системы уравнений (3.19)-(3.23). Эта задача также является полностью определенной в смысле краевых условий и конкретно поставленной. В результате решения определим распределение [c.84]

Для описания процессов тепло- и массообмена в ЦТТ необходимо записать системы дифференциальных уравнений для каждой фазы и конкретизировать задачу постановкой краевых условий. Краевые условия характеризуют значение искомых функций или их производных при граничных пространственных и временных значениях независимых переменных (т, х, у, г). [c.93]

Основное уравнение (1-9) относится к бесконечно малому элементу температурного поля и, взятое само по себе, ничего не говорит о развитии теплопроводности во всем пространстве и за все время, в течение которого протекает процесс. Для получения полной картины, отражающей качественные и количественные признаки конкретного случая, нужно математически поставить эту задачу, после чего найти частное решение основного уравнения. При ее постановке необходимо фиксировать определенную геометрическую форму теплопроводящего тела, его физические свойства (коэффициенты теплопроводности и температуропроводности) и, кроме того, задать так называемые краевые условия. В состав краевых условий входят начальное распределение температуры (временное краевое условие) и условия на границах (пространственные краевые условия). Перечисленные условия в совокупности определяют только одно явление и в этом смысле могут быть также названы условиями единственности. Задача, решаемая с их помощью, называется краевой или предельной задачей. [c.21]

При постановке конкретной физической задачи кроме придания явного вида оператору L в (1.1) это уравнение должно быть дополнено краевыми (граничными и начальными) условиями. Граничные условия определяются физической постановкой задачи и отражают ограничение размеров исследуемой области, а также ее изоляцию от остального пространства. Они могут иметь разнообразный характер. В частности, линейные граничные условия, используемые в задачах теплопроводности и диффузии, можно записать для самого общего случая в виде [c.10]

Как и (1.1) при постановке основной задачи, уравнение (1.25) в сопряженной задаче для каждого конкретного случая должно быть дополнено соответствующими краевыми условиями, при этом необходимо требовать выполнения соотношения (1.26) для дифференциальных операторов Z и L+ с учетом таких условий к основному и сопряженному уравнениям. Иными словами, гранич- [c.16]

В данной постановке задачи решение дифференциального уравнения теплопроводности согласовать со всеми краевыми условиями затруднительно. Поэтому разлагаем совокупность заданных краевых условий на две группы и для каждой группы будем находить решение, удовлетворяющее краевым условиям. Пусть такими решениями будут функции [c.115]

Математическая постановка краевых задач МСС состоит в записи замкнутой относительно неизвестных параметров движения сплошной среды системы уравнений и краевых условий для этих параметров, обусловливающих это движение. Результатом реализащш математической постановки является решение краевой задачи МСС, удовлетворяющее замкнутой системе уравнений и краевым условиям. [c.19]

В соответствии с определением в п. 1.1.4 математическая постановка краевых задач МСС включает запись замкнутого множества уравнений и краевых условий. Для вьшолношя первой части постановки задачи необходимо сначала установить перечень независимых параметров, которые определяют НДС деформируемого тела. В эйлеровых координатах такими параметрами являются лагранжевы координаты [c.130]

Постановка задачи, основные уравнения и краевые условия. В дне полубесконечного кругового цилиндра имеется отверстие радиуса а, центр которого совпадает с центром основания цилиндра радиуса h. В отсутствие отверстия несжимаемая идеальная жидкость равномерно вращается, как твердое тело, с угловой скоростью SI = onst. [c.91]

Система уравнений, включающая в себя дифуравнение теплопроводности (2.12) и уравнения, описывающие краевые условия (2.13). ..(2.16), называется математической постановкой задачи. [c.12]

Рассмотрим задачу расчета нестационарного одномерного температурного поля в неограниченной пластине толш,иной /. В пластине распределен источник теплоты, имеющий объемную плотность мощности q,Ax). Поверхность пластины х О теплоизолирована, а на поверхности х ------ I происходит теплообмен со средой по закону Ньютона. Начальное распределение температуры равномерное, и эта температура отлична от температуры среды. При такой постановке задачи уравнение теплопроводности и краевые условия имеют вид 1311 [c.51]

Приведенные выше задачи для течений с взаимодействием, обладаюш ие свойством передачи возмуш ений вверх по потоку, отличаются от обычных тем, что при этой постановке распределение давления в пограничном слое не оказывается заданным заранее, а определяется при совместном интегрировании уравнений невязкого потока и пограничного слоя. Таким образом, именно механизм взаимодействия и со-ответствуюш ие краевые условия обеспечивают возможность частичной передачи информации вверх по потоку. [c.34]

Рассмотренные в 1.2 и 2.2 задачи относились к течениям сжатия и разре-жения на плоской пластине. Однако весьма общая и простая форма закона подобия для течений со свободным взаимодействием, относительно простая форма уравне-ний и краевых условий и, наконец, то обстоятельство, что получаемые результаты уже в первом приближении имеют удовлетворительную точность при не слишком больших амплитудах возмущений, являются точными в пределе и приводят к четко-му представлению о вкладе различных физических эффектов, стимулируют развитие приложений теории к более широкому классу течений. Для некоторых из этих течений (обтекание угла, близкого к тг, область взаимодействия ударной волны с пограничным слоем) получены численные решения. Для других приведена лишь постановка задач, уравнения, краевые условия и соображения о характере течения. [c.52]

Эта система двух уравнений в частных производных содержит две искомые функции и х, у), v (х, у), для решения которой необходимо поставить соответствующие постановке конкретной задачи краевые условия. Такой путь решения называется реишнием в перемещениях. Другой путь решения, когда искомыми являются усилия Nx, Ny, Nxtj, называется решением в усилиях и состоит в следующем. Два уравнения равновесия (17.23) содержат три искомые функции Nx, Ny, Nxy, поэтому система уравнений (17.23) дополняется еще одним — уравнением совместности деформации. Исключим из линеаризованных выражений для деформации (16.14) функ- [c.411]

Развитие аэротермохимии стимулировали проблемы, воз никающие в современной технике, в частности проблема тепловой защиты аппаратов, работающих при весьма высо ких температурах. Действительно, при входе летательных аппаратов в атмосферу температура за ударной волной на внешней границе пограничного слоя достигает 10 000 К н более. В этом случае эффективная тепловая защита может быть осуществлена только при условии частичного разрушения материала поверхности. Процесс абляции вещества теплозащитного покрытия оказывается весьма сложным. Этот процесс может быть связан с оплавлением и с испарением жидкой пленки, сублимацией, поверхностным горением, механической и тепловой эрозией обтекаемой поверхности. Строгая математическая постановка упомянутых задач приводит к необходимости решать нелинейные уравнения гиперзвукового пограничного слоя или вязкого ударного слоя с краевыми условиями на подвижных поверхностях, которых, вообще говоря, может быть несколько. [c.3]

Система дифференциальных уравнений (14.3) — (14.6) совместно с условиями однозначности (14.7) — (14.9) представляет собой формулировку краевой задачи конвективного теплообмена. Следует отметить, что вследствие больщих математических трудностей общее решение системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена получить не удается. Поэтому с целью поиска возможных путей решения поставленной задачи проанализируем структуру предполагаемой функциональной зависимости для температурного поля. На основе постановки краевой задачи можно утверждать, что поле скорости и поле давления есть результат решения уравнений гидродинамики — уравнений (14.4) — (14.6), ибо рассматривается несжимаемая жидкость, физические свойства которой не зависят от температуры. Например, значение вектора скорости в какой-либо точке рассматриваемой области определяется координатами этой точки, коэффициентами дифференциальных уравнений и параметрами, входящими в граничные условия [c.319]

Теоретической основой постановки экспериментальных исследований для многочисленных механизмов, работающих в масляной среде, является контактно-гидродинамическая теория смазки. Контактно-гидродинамический режим смазки является типичным для условий работы зубчатых и фрикционных передач, подшипников, катков и других механизмов. Основная задача теории заключается в определении контактных напряжений, геометрии смазочного слоя и температур при совместном рассмотрении уравнений, описывающих течение смазки, упругую деформацию тел и тепловые процессы, протекающие в смазке и твердых телах. Течение смазки в зазоре описывается уравнениями, характеризующими количество движения, сплошность, сохранение энергии и состояние. Деформация тел определяется основными уравнениями теории упругости. Температурные зависимости находятся из энергетического уравнения с использованием соответствующих краевых условий. Плоская контактно-гидродинамическая задача теории смазки решалась с учетом следующих допущений деформация ци-лидров рассматривалась как деформация полуплоскостей упругие деформации от поверхностного сдвига считались малыми для анализа течения смазки использовалось уравнение Рейнольдса при вязкости смазки, явля- [c.165]

Постановка задачи требует также формулировки краевых условий. Если начальное распределение температур неравномерно, то это должно быть отражено безразмерными параметрами, которые конструируются на основе соответствующей аналитической зависимости. Если при граничных условиях первого рода задаваемая температура на поверхностях тела является функцией места и времени, то также возникнут новые безразмерные аргументы, которые надо будет приобщить к полученным ранее из уравнения Фурье. Однако и при отсутствии такого типа усложений, но при задании граничных условий третьего рода, возникает новый безразмерный аргумент, специфический для этой, практически важнейшей, постановки задачи. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...