Постановка задачи и краевые условия

Постановка задачи и краевые условия [c.182]

Решение уравнения (9.1) дается методами математической физики. При этом в зависимости от постановки задачи и краевых условии применяют различные методы решения. Рассмотрим наиболее простые случаи одномерной нестационарной теплопроводности без внутренних источников теплоты [c.426]

Этот курс, вероятно, должен быть годовым. В нем должны найти отражение вывод основных уравнений механики сплошной среды, физические допуш ения и возмож ные упрош ения моделей, постановки начальных и краевых условий, корректность этих постановок. Здесь же целесообразно изложить некоторые основные аналитические под ходы, используемые для анализа задач основные идеи асимптотических методов, ме тодов теории подобия и размерности, некоторых других аналитических конструкций, о которых шла речь в разделе 2. [c.26]

Первая группа методов характеризуется тем, что точные дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи путем введения рабочих гипотез, основанных на физических соображениях и результатах эксперимента, заменяют приближенными. Одновременно упрощают и краевые условия, которые ставят в интегральной форме для определенных участков контура (например, вместо напряжений принимают усилия) или в локальной форме для отдельных линий сечения контура (например, в методе начальных функций, см. главу Vni). При указанной постановке задач, как правило, не удовлетворяются уравнения неразрывности деформаций. Применение этих методов к техническим задачам встречается в первых девяти главах настоящей книги. [c.8]

Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243]

Теория подобия и моделирования рассматривается как база научной постановки опытов и обобщения экспериментальных данных. Из анализа дифференциальных уравнений, характеризующих общие функциональные связи между основными факторами, и условий однозначности, включающих характеристики геометрии, физических свойств и краевые условия (начальные и граничные), получаем предпосылки к экспериментально-теоретическому изучению процессов. В решении поставленных задач приходится встречаться с различными по сложности явлениями. В некоторых случаях теоретическое решение задач позволяет получить общие качественные связи параметров, например в определении коэффициента трения при решении контактно-гидродинамической задачи. При анализе же весьма сложного процесса изнашивания твердых тел или твердосмазочных покрытий в настоящее время не удается получить достаточно общих математических описаний явлений. В связи с этим различается подход к проблеме трения и износа тел, работающих в масляной среде и всухую (с твердо-смазывающими покрытиями или из самосмазывающихся материалов). Теория подобия базируется на следующих основных теоремах [c.160]

При постановке конкретной физической задачи кроме придания явного вида оператору L в (1.1) это уравнение должно быть дополнено краевыми (граничными и начальными) условиями. Граничные условия определяются физической постановкой задачи и отражают ограничение размеров исследуемой области, а также ее изоляцию от остального пространства. Они могут иметь разнообразный характер. В частности, линейные граничные условия, используемые в задачах теплопроводности и диффузии, можно записать для самого общего случая в виде [c.10]

Постановка задачи. Уравнения движения и краевые условия [c.176]

Для выведенной системы необходимо сформулировать дополнительные условия, соответствующие постановке краевой задачи. Если краевые условия детерминированные, то их можно записать через функцию среднего прогиба ф (х), как в детерминированной задаче. Например, для загруженного края Q = р, М = т (на контуре L), где поперечная сила Q и момент М выражаются через Ф (л ). Для функции vj k, х), которая характеризует флуктуации прогиба, на контуре поставим нулевые условия. [c.187]

Приведем получающееся в этом случае решение краевой задачи (7.50) при этом в целях простоты примем первоначальную упрощенную постановку задачи и вместо граничного условия при х = d будем требовать выполнения следующего условия на бесконечности [c.404]

Постановка задачи и реализация метода однородных решений. Пусть в прямоугольной системе координат (ж, у) (рис. 5.10) упругое тело занимает область х R y), О h. Предполагаем, что на грани у = О заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений, а штамп с плоской подошвой внедряется симметрично относительно оси в грань у = h ш величину 6. Соответствующую краевую задачу для уравнения Ламе можно симметрично продолжить в область у < 0. В этом случае получаем эквивалентную задачу (см. рис. 5.11 на стр. 208) о внедрении двух штампов в грани у — h упругого тела, занимающего область ж R y), у h, считаем R y) четной функцией. Таким образом, приходим к исследованию краевой задачи для уравнения Ламе при следующих граничных условиях [c.198]

Уравнения равновесия, соотношения Коши и краевые условия идентичны соответствующим уравнениям классической теории упругости [20]. Если рассматривать как компоненты тензора напряжений, то немедленно получим постановку задачи деформационной теории пластичности [14]. [c.539]

Постановки краевых задач. Задачи для волнового уравнения с начальными и краевыми условиями обычно в литературе называются смешанными задачами (см., например, [83]). В дальнейшем будем пользоваться следующей терминологией краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в Qi p с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями при х = О и ж = / одного рода, а смешанной краевой задачей будем называть задачу для волнового уравнения в Qu с начальными (или финальными) условиями и краевыми условиями при х = О и х = I разных родов. [c.24]

Проанализируем выдвигаемую нами общую постановку задачи и дадим предварительную оценку ее значимости. Для этого найдем общее число искомых величин и сравним его с числом уравнений, находящихся в нашем распоряжении, и числом краевых условий. Начальные условия всегда можно согласовать с постановкой задачи. [c.45]

Локальные соотношения, определяющие движение сплошной среды, содержат уравнения движения, имеющие универсальный характер, и краевые условия, связанные с конкретной постановкой задачи. При этом, если часть краевых условий, соответствующая кинематическим огра- [c.12]

В задаче указаны краевые условия по поперечной координате и начальные данные. Вопрос о постановке граничных условий вниз по потоку требует дополнительных исследований. С этой целью проведем линейный анализ интегродифференциального уравнения (4.3). Полагая /с = О и у О, ищем решение в виде [c.108]

Полная постановка краевых задач включает, как и в предыдущем примере, граничные условия (и, если нужно, условия на бесконечности) и начальные условия, определяющие начальные скорости в начальный момент времени [c.45]

Общее решение этого уравнения (если оно существует) содержит п произвольных постоянных, для выбора которых необходимо задать п дополнительных условий. По способу задания этих дополнительных условий все задачи делятся на два класса задачу Коши и краевую задачу. При постановке задачи Коши все п дополнительных условий задаются при одном значении аргумента. Без ограничения общности можно считать, что они имеют следующий вид при х -- х -. [c.96]

Это условие совпадает с ранее установленным условием разрешимости самой краевой задачи Неймана N (7.3) и, естественно, должно автоматически выполняться по постановке задачи. Решение же интегрального уравнения включает частное решение неоднородного уравнения и собственную функцию, определение которой не представляет особого интереса при решении краевых задач, поскольку наличие ее в выражении для потенциала сводится к появлению лишь аддитивной постоянной, присутствующей в решении по постановке задачи. [c.101]

К сожалению, для общей постановки пространственных начально-граничных задач теории упругости в настоящий момент отсутствуют исчерпывающие результаты, относящиеся к вопросу о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих существование и единственность решения в зависимости от класса допускаемых краевых условий и ограничений на граничную поверхность. Однако существуют и иные (неклассические, обобщенные) постановки задач теории упругости, определяемые тем математическим аппаратом, который применяется для их решения ). [c.243]

Не составляет труда сформулировать задачи динамики, статики, теории колебаний в случае, когда возникают некоторые принципиальные усложнения например, когда тело ограничено несколькими поверхностями, на которых заданы условия разного типа на одной группе поверхностей — смещения, а на остальных— напряжения, или же когда тело составлено из различных участков, каждый из которых заполнен средой со своими значениями постоянных Ламе. В этом случае разыскивается решение для каждой из областей и для полной постановки задачи привлекаются условия на поверхностях, вдоль которых среды сопрягаются. На этих поверхностях обязательно должны выполняться условия непрерывности нормальной компоненты смещений и вектора напряжений (относительно нормали к поверхности). При необходимости дальнейшей конкретизации краевых условий исходят из тех или иных соображений технологического характера. [c.250]

Исследуем предельный случай, когда в упругом теле имеется разрез, к сторонам которого приложены напряжения. Рассмотрим совокупность вложенных друг в друга гладких поверхностей, стягивающихся к разрезу. Распространим каким-либо непрерывным образом краевое условие, заданное на разрезе, на эти поверхности и решим совокупность полученных таким образом краевых задач (для внешности каждой поверхности). Решение в каждом случае будет иметь конечную энергию. Будем поэтому решение для пространства с разрезом рассматривать как предел построенной совокупности решений, каждое из которых имеет конечную энергию. Если же и в пределе энергия окажется конечной, то представляется целесообразным это условие включать в постановку задачи для тела с разрезом (при ее непосредственном решении). [c.252]

Выше была дана постановка различных гранично-начальных задач теории упругости, высказаны соображения о разрешимости и получены теоремы единственности. Остается открытым лишь вопрос о корректности поставленных задач. Дело в том, что вся вводимая в постановку за чачи информация — форма граничной поверхности, конкретные значения краевых и начальных условий — есть величины, определяемые, в конечном счете, из эксперимента. Поэтому построение решения имеет смысл осуществлять только в том случае, если малое (в определенном смысле) изменение исходных данных приведет к малому изменению решения. [c.253]

Перейдем теперь к задаче изгиба стержня и, как ранее, будем рассматривать стержень достаточно большой длины. Пусть ось 2 ориентирована уже не произвольно, а проходит через центр тяжести основания, оси х а у направим пока произвольно. В дальнейшем эти оси выбираем совпадающими с главными осями. Как и в задаче кручения, будем предполагать, что боковая поверхность свободна от нагрузок, т. е. выполняются условия (3.1). Полагаем также, что на основаниях внешние напряжения статически эквивалентны моменту М (ось которого параллельна оси у (рис. 16)). Поставленная таким образом задача называется задачей изгиба стержня моментом в постановке Сен-Венана (здесь по-прежнему речь идет лишь об интегральном удовлетворении краевых условий на основаниях). В данном случае удобно исходить из первоначального представления напряженного состояния, а потом уже определять смещения. [c.270]

Большой теоретический и практический интерес представляет приближенная постановка указанной задачи, когда толщина 2/1 мала по сравнению с каким-либо характерным линейным размером тела. При этом оказывается излишней точная постановка и, следовательно, точное выполнение краевых условий на боковой поверхности. Потребуем лишь равенства нулю проекции на ось 2 усредненных внешних сил, а также моментов на оси X я у (что приводит к постановке краевых условий в смысле Сен-Венана). [c.275]

О постановке задач плоского напряженного состояния уже говорилось выше. Задачи же плоской деформации возникают при рассмотрении тел, ограниченных цилиндрической поверхностью, когда краевые условия на цилиндрической части постоянны вдоль образующей, причем компонента (7гv равна нулю. Если тело (цилиндр или пространство с цилиндрической полостью) ограничено, то на плоских сторонах могут быть заданы условия смешанного типа, а именно, нормальные перемещения и касательные компоненты напряжений равны нулю. Если же попытаться подобрать на этих поверхностях соответствующие напряжения 0г, то следует первоначально решить задачу плоской деформации бесконечного цилиндра и, получив значения Ог (согласно (4.3)), задать их как краевые условия. Само собой разумеется, что касательные компоненты напряжений по-прежнему обращаются в нуль. [c.277]

Постановка краевых условий в смещениях и напряжениях ПОЛНОСТЬЮ совпадает с постановкой в общей пространственной задаче с учетом того, что нормаль к боковой поверхности перпендикулярна оси Z (что приводит к упрощению формул (1.17) ГЛ. И). [c.278]

Рассмотренные в 1.2 и 2.2 задачи относились к течениям сжатия и разре-жения на плоской пластине. Однако весьма общая и простая форма закона подобия для течений со свободным взаимодействием, относительно простая форма уравне-ний и краевых условий и, наконец, то обстоятельство, что получаемые результаты уже в первом приближении имеют удовлетворительную точность при не слишком больших амплитудах возмущений, являются точными в пределе и приводят к четко-му представлению о вкладе различных физических эффектов, стимулируют развитие приложений теории к более широкому классу течений. Для некоторых из этих течений (обтекание угла, близкого к тг, область взаимодействия ударной волны с пограничным слоем) получены численные решения. Для других приведена лишь постановка задач, уравнения, краевые условия и соображения о характере течения. [c.52]

По своему математическому содержанию задачи определения программ управления, решаемые при заданных начальных и концевых условиях наведення, относятся к классу краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, какими являются уравнения движения. Поэтому начальные и концевые условия наведения будем объединять общим термином краевых условий. В зависимости ог постановки задачи наведення краевые условия могут относиться к [c.274]

Рассмотрим задачу расчета нестационарного одномерного температурного поля в неограниченной пластине толш,иной /. В пластине распределен источник теплоты, имеющий объемную плотность мощности q,Ax). Поверхность пластины х О теплоизолирована, а на поверхности х ------ I происходит теплообмен со средой по закону Ньютона. Начальное распределение температуры равномерное, и эта температура отлична от температуры среды. При такой постановке задачи уравнение теплопроводности и краевые условия имеют вид 1311 [c.51]

Математическая постановка краевых задач МСС состоит в записи замкнутой относительно неизвестных параметров движения сплошной среды системы уравнений и краевых условий для этих параметров, обусловливающих это движение. Результатом реализащш математической постановки является решение краевой задачи МСС, удовлетворяющее замкнутой системе уравнений и краевым условиям. [c.19]

В соответствии с определением в п. 1.1.4 математическая постановка краевых задач МСС включает запись замкнутого множества уравнений и краевых условий. Для вьшолношя первой части постановки задачи необходимо сначала установить перечень независимых параметров, которые определяют НДС деформируемого тела. В эйлеровых координатах такими параметрами являются лагранжевы координаты [c.130]

Приведенные выше задачи для течений с взаимодействием, обладаюш ие свойством передачи возмуш ений вверх по потоку, отличаются от обычных тем, что при этой постановке распределение давления в пограничном слое не оказывается заданным заранее, а определяется при совместном интегрировании уравнений невязкого потока и пограничного слоя. Таким образом, именно механизм взаимодействия и со-ответствуюш ие краевые условия обеспечивают возможность частичной передачи информации вверх по потоку. [c.34]

Постановка задачи, основные уравнения и краевые условия. В дне полубесконечного кругового цилиндра имеется отверстие радиуса а, центр которого совпадает с центром основания цилиндра радиуса h. В отсутствие отверстия несжимаемая идеальная жидкость равномерно вращается, как твердое тело, с угловой скоростью SI = onst. [c.91]

Остановимся на так называемом альтернирующем методе, предложенном Шварцем (см., например, [69]). Этот метод заключается в последовательном решении задач для любой области, ограниченной лишь одной поверхностью. Рассмотрим для простоты пример области, ограниченной (для принятой выше индексации) поверхностями 5о и 51. Первоначально решается, например, задача для области Оа при заданном на поверхности краевом условии и при этом определяется значение функции (или ее нормальной производной) на поверхности 51. После этого решается краевая задача для области 5Г при краевом условии, равном разности между заданным по постановке задачи условием и определенными значениями на первом этапе решения. Далее находятся значения на поверхности 5о, доставляемые эти решения, и т. д. Доказана сходимость метода Шварца. [c.106]

Так же как и в методе Ритца, выбираем последовательность координатных функций ф (п==1, 2,. ..), которые в соответствии с постановкой задачи имеют непрерывные производные до определенного порядка в замкнутой области и удовлетворяют краевым условиям. Представим решение в виде ряда [c.153]

Перейдем к постановке краевых условий. Поскольку сама задача рассматривается в приближенной постановке, то и в приближенной постановке должны быть заданы краевые условия. Силовые факторы должны определяться ранее введенными силовыми характеристиками М , Мпх и Qn на калсдой образующей боковой поверхности. Вводятся также усредненные по толщине [c.282]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...