Некоторые задачи небесной механики

Остановимся на рассмотрении последнего слагаемого правой части уравнения (IV.44), содержащего время t вне знака тригонометрической функции. Такого рода выражения называются секулярными или вековыми членами. Это название связано с некоторыми задачами небесной механики. Последнее слагаемое в правой части равенства (IV.44) неограниченно возрастает по абсолютной величине с увеличением времени t. Выражение (IV.44) показывает, что [c.344]

Теория движения материальных систем и точек с переменной массой была разработана И. В. Мещерским между 1893 и 1904 гг. ). Впервые теория И. В. Мещерского была применена к некоторым задачам небесной механики. В частности, были проведены исследования влияния на движение планет увеличения их массы, количества движения и кинетического момента, вызванного падением метеоритов на их поверхность. [c.482]

Некоторые задачи небесной механики [c.47]

Указанные работы, продолжающие исследования Ляпунова ), имеют важное теоретическое и практическое значение. С теоретической точки зрения они показывают возможность находить решения по крайней мере некоторых задач небесной механики в виде рядов, сходимость которых строго устанавливается при помощи безупречных математических доказательств, и этим самым открывают путь для развития новой небесной механики, надлежащим образом обоснованной математически. С практической стороны эти исследования дают возможность строить точные аналитические теории движения конкретных небесных тел и пополняют таким образом наши сведения о свойствах движения малых тел Солнечной системы. [c.355]

С о ч и л и н а А. С., О накоплении ошибок при численном интегрировании в некоторых задачах небесной механики, Бюлл. 11н-та теор. астрон., VII, Л 4 [c.507]

С ТОЙ же самой характеристической функцией Н. На этом мы закончим изложение общей теории канонических уравнений и в следующих параграфах рассмотрим приложение разобранных методов к некоторым задачам небесной механики. [c.416]

При решении некоторых задач небесной механики, например в теории движения Луны, используются различные специальные системы координат (цилиндрическая система координат координаты Якоби, в которых положение точки относится к центру инерции всех предыдущих точек 7711, Шг,. .., различные системы вращающихся [c.11]

Первая попытка строгого математического решения этого вопроса для некоторых частных случаев задач небесной механики была предпринята французским математиком Пуанкаре. [c.12]

Задачи небесной механики тел с непрерывно изменяющейся массой были рассмотрены Ф. Бесселем в 30-х гг. XIX века в связи с его исследованиями движения комет. При несоответствии наблюдений с расчетами кометных орбит, Бессель обратил внимание на то, что некоторые кометы при приближении к Солнцу извергают заметное количество вещества в сторону последнего. Бессель высказал предположение, что неточности вычисления кометных орбит могут объясняться, в частности, и неучетом извержения кометного вещества. [c.37]

Дальнейший интерес к задачам небесной механики тел переменной массы в 20-х гг. XX века был связан с космогоническими исследованиями, а именно с проблемой эволюции звезд, и в частности двойных звезд. Решая космогонические задачи, связанные с вековой убылью масс. Джинс выдвинул отмеченную выше гипотезу (1.26) об интенсивности излучения массы звездами и провел некоторые расчеты для задачи двух тел с убывающими массами. При этом он исходил из традиционной постановки задачи динамики тела (точки), записывая уравнение движения в виде [c.43]

Хотя исходной предпосылкой этого обширного цикла работ было намерение изучать свойства движений малых тел Солнечной системы — астероидов и комет,— но в результате эти исследования, так же, впрочем, как и некоторые другие работы московской группы, были мало связаны с конкретными задачами небесной механики и относились скорее к области математических или теоретико-механических исследований. [c.344]

Как задачи небесной механики, так и задачи теории колебаний существенно нелинейны. Но в то время как динамические системы небесной механики являются так называемыми консервативными, в частности, гамильтоновыми системами, динамические системы теории колебаний заведомо не являются такими системами. Для того чтобы отчетливо уяснить это различие, укажем, не давая точных определений, некоторые характерные особенности консервативных систем. [c.128]

Как развитие аналогии, указанной в предыдущем параграфе, рассмотрим движение материальных точек, взаимодействующих по закону ньютоновского притяжения (точнее, его аналогу) на пространствах постоянной кривизны, в качестве которых мы выберем компактные двумерную и трехмерную сферы и "З (кстати, А. Эйнштейн предлагал использовать как статическую модель реального мира). Хотя почти все изложенные результаты справедливы и для (некомпактного) пространства Лобачевского, мы не приводим их здесь подробно, ориентируясь лишь на приложения к динамике шарового волчка. В силу отсутствия группы преобразований Галилея такая небесная механика обладает некоторыми отличиями от плоской. Например, задача двух тел здесь не тождественна задаче о центральном поле. Более того, первая задача оказывается неинтегрируемой в отличие от второй. Тем не менее часть интегрируемых задач небесной механики плоского пространства (задача Кеплера, двух центров) обобщается и для искривленного пространства, а значит порождает интегрируемые шаровые волчки. [c.336]

В этой главе рассматривается простейшая ограниченная задача небесной механики — задача о движении материальной точки, притягиваемой (или отталкиваемой) несколькими неподвижными точечными центрами. Сама материальная точка не оказывает на эти центры никакого действия и называется, по этой причине, пассивно действующей. Каждый нз неподвижных центров обладает некоторой конечной массой, но не оказывает никакого действия на все другие неподвижные точечные массы. Сила, с которой каждый неподвижный точечный центр действует на свободную, пассивно действующую материальную точку, предполагается направленной по прямой, соединяющей обе точки. По величине эта сила предполагается пропорциональной произведению масс этих точек и некоторой функции от расстояния между ними. В более общем случае эта сила может также зависеть от первых двух производных по времени от упомянутого расстояния. [c.181]

Для аналитического исследования устойчивости какого-либо движения механической системы необходимо иметь аналитическое решение уравнений движения. Такая возможность в задачах небесной механики представляется весьма редко и вообще только в случаях, когда уравнения движения при помощи некоторых преобразований могут быть приведены к уравнениям, допускающим решения, в которых все неизвестные имеют постоянные значения. [c.240]

Как было выяснено в предыдущем параграфе, основной задачей небесной механики является задача о движении системы, состоящей из некоторого конечного числа материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. [c.328]

Прямоугольные декартовские координаты (абсолютные или относительные) в ряде случаев оказываются по тем или иным причинам неудобными для применения в некоторых конкретных задачах небесной механики и тогда их заменяют какими-либо другими, более подходящими переменными. [c.363]

Задачи небесной механики. Большая часть задач небесной механики сводится к решению диференциальных уравнений, которые в большинстве задач очень сложны вследствие наличия большого числа зависимых переменных. Анализ бесконечно малых большей частью рассматривает уравнения, в которых имеется лишь одна независимая и одна зависимая переменная, и переход к совместным уравнениям с несколькими переменными, требующий интерпретации в связи с физическими проблемами и механическими принципами, обычно делается не без некоторого затруднения. Настоящая глава будет посвящена формулированию и решению некоторых видов задач, в которых. математические процессы тесно связаны с изложенными в математических руководствах. Это послужит как бы мостом между методами, применяемыми в работе с анализом бесконечно малых, и элементарными диференциальными уравнениями и методами, которые характерны для механических и астрономических проблем. [c.44]

Случай, когда Н не содержит времени. В задачах небесной механики переменные а, и обычно оказываются неудобными, и поэтому, пользуясь теоремами о преобразовании канонических уравнений, их заменяют какими-нибудь другими более подходящими и также каноническими переменными. Ниже мы рассмотрим некоторые системы этих переменных, а сейчас разберем случай, когда характеристическая функция Я не содержит явно времени. В этом случае уравнение (94) можно заменить следующим [c.415]

По просьбе кафедр теоретической механики различных втузов третье издание дополнено некоторыми вопросами, интересными для их специальностей. Расширена кинематика плоского движения (мгновенный центр ускорений, план ускорений), дополнена геометрия масс, динамика переменной массы, добавлены элементы небесной механики, несколько углублены теория гироскопа, теория малых колебаний, теория потенциала. Добавлено 19 задач, с подробным решением внесены некоторые мелкие исправления и изменения. [c.3]

Ес.яи по существу поставленной задачи необходимо изучить движение каждой точки системы в отдельности, то полное интегрирование уравнений движения системы точек, приводящее к определению координат точек системы в зависимости от времени, неизбежно. Таковы, например, задачи о движении двух, трех или нескольких тяготеющих друг к другу тел в небесной механике. В других случаях оказывается достаточным определить изменение некоторых суммарных мер движения системы в целом (количества движения, момента количества движения, кинетической энергии) в зависимости от суммарных мер действия сил (главный вектор и главный момент приложенных сил, работа сил, потенциальная энергия). [c.104]

Сокольский А.Г. Исследоание устойчивости стационарных, периодических и условно-периодических регпений гамильтоновых систем в некоторых задачах небесной механики Автореф. дисс.. .. докт. физ.-наук. — М. МАИ им. С. Орджоникидзе, 1981. [c.129]

Маркеев А. П. Исследование движения в некоторых задачах небесной механики. Кандидатская диссертация. Московский физико-технический институт, 1969. [c.306]

В системе (31) некоторые угловые переменные (h, Q я,) включены в вектор медленных переменных х, хотя классические разложения небесной механики указывают на то, что X, Y являются 2л-периодичпыми по Ла. Поэтому наиболее привычное разложение возмущающей функции R, для задач небесной механики записывается в форме [7] [c.139]

Операторы усреднения, определенные в 1.3, 1.4, могут быть объединены в некоторую достаточно общую схему, пригод- лую прежде всего для задач небесной механики. Для этого введем т 4- г-мерный вектор-столбец R х, у, ц.), компоненты [c.141]

И. Д. Моисееву принадлежит и общий обзор развития понятия устойчивости, в котором систематизированы различные определения устойчивости, и обзор качественной небесной механики и большая монография по истории теории устойчивости Он занимался также устойчивостью за ограниченный промежуток врёмени при наличии возмущающих сил ( техническая устойчивость ) и исследовал на такую устойчивость некоторые линейные системы дифференциальных уравнений из теории автоматического регулирования. В других работах Моисеев изучал орбитальную устойчивость, имеющую особое значение в задачах небесной механики. [c.131]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума . Анализ содержания научных статей по динамике полета, опубликованных за последние 20—25 лет, убеждает нас в том, что методы вариационного исчисления не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия возможных движений, определяемых дифференциальными уравнениями механики, более узкие классы движений, для которых некоторые (обычно интегральные) характеристики будут оптимальными в ряде случаев они дают возможность детального аналитического исследования, так как для некоторых экстремальных режимов уравнения движения интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения для оптимальных движений можно находить во многих трудных задачах, когда системы исходных уравнений являются нелинейными. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач Зо-пускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и в задачах динамики ракет и самолетов играют роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики . [c.35]

В конце XIX века задачи небесной механики тел переменной массы привлекли внимание астрономов независимо от теории движения комет. Оказалось, что систематическим увеличением массы небесных тел за счет выпадения метеоритов и космической пыли можно объяснить некоторые погрешности в их движении и, в частности, в движении Луны (часть векового ускорения долготы Луны). Эта идея была высказана в 1866 г. швейцарским физиком Ш. Дюфуром, а затем в 1884 г. австрийским астрономом Т. Оппольцером. [c.40]

Тем не менее задача о взаимосвязном поступательновращательном движении благодаря строгости общей постановки представляет существенный теоретический интерес и исследование этой задачи может в дальнейшем пригодиться для развития и уточнения некоторых теорий небесной механики, например теории движения Луны. Представляют интерес, конечно, и различные оценки эффектов взаимосвязности поступательного и вращательного движений для искусственных спутников Земли. [c.145]

В опубликованных за последние 20 лет статьях по динамике полета аэропланов и ракет методы вариационного исчисления нашли широкую область приложений- При помощи вариационного исчисления мы выявляем такие классы движений, при реализации которых некоторые интегральные характеристики будут наилучшими (например, время полета до цели — минимально дальность полета при заданном запасе топлива — максимальна). Более того, в ряде нелинейных динамических задач методы вариационного исчисления позволяют получить простые аналитические зависимости ( опорные решения), так как для оптимальных режимов полета уравнения движения интегрируются в конечном виде. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач допускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и играют в задачах динамики ракет и самолетов роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики [25]. [c.15]

Сам Ляпунов уже рассматривал некоторые приложения своей теории к задачам небесной механики (задача об устойчивости кеплеровых движений в системе двух и трех тел), но оказалось, что такие задачи могут быть просто решены только по первому приближению, а дальнейшее продвижение оказывается здесь недоступным. [c.332]

В силу указанных причин главные усилия теоретической группы ГАИШ оказались направленными, с одной стороны, на разыскание таких задач небесной механики, в которых вопрос об устойчивости некоторых частных решений можно было разрешить при помощи общих методов Ляпунова, а с другой стороны, на общетеоретические исследования в области теории устойчивости. [c.344]

Мы закончим рассмотрение ограниченных задач небесной механики изложением некоторых результатов, относящихся к так называемой задачеФату. [c.304]

Далее оказывается, что усредненная система имеет устойчивое положение равновесия, соответствующее движению всех планет в одной плоскости а одну сторону по круговым орбитам. Движение планет, соответствующее малым колебаниям в линеаризованной около этого равновесия усредненной системе, называется лагранжевым движением. Оно имеет простую геометрическую интерпретацию. Вектор, направленный из фокуса в перигелий планеты и имеющий длину, пропорциональную ее эксцентриситету (вектор Лапласа), в проекции на основную плоскость системы координат является суммой п—1 равномерно вращаюшлхся векторов. Набор угловых скоростей этих векторов одинаков для всех планет. Вектор, направленный по линии пересечения плоскости орбиты планеты с основной плоскостью (линии узлов) и пропорциональный по длине наклонению планеты, является суммой п—2 равномерно вращающихся векторов". Если в некоторый момент времени эксцентриситеты и наклонения достаточно малы, то в усредненной системе они останутся малыми и во все время движения. В частности, оказываются невозможными столкновения планет и уходы на бесконечность. Это утверждение называется теоремой Лагранжа — Лапласа об устойчивости Солнечной системы. С момента доказательства теоремы (1784 г.) центральная математическая задача небесной механики состояла в том, чтобы перенести этот вывод об устойчивости с усредненной системы на точную. На этом пути возникли многие разделы теории динамических систем, в том числе теория возмущений и эргодическая теория. Сейчас решение рассматриваемой задачи значительно продвинуто. Оказывается, при достаточно малых массах планет большая доля области фазового пространства, соответствующей не-зозмущенном движению в одну сторону по кеплеровским эллипсам малых эксцентриситетов и наклонений, заполнена условно-периодическими движениями, близкими к лагранжевым (см. 3). Таким образом, устойчивость имеет место для большинства начальных условий. При начальных условиях из исключительного множества эволюция больших полуосей если и происходит, то очень медленно — ее средняя скорость экспо- [c.186]

Кроме материалов летней украинской математической школы в Ка-цивели (июль 1971 года), далее широко использован русский вариант доклада [35], а также результаты, с которыми я ознакомился сравнительно недавно. Часть 1 содержит обзор некоторых направлений качественных исследований в задачах небесной механики. Часть 2 является наглядным введением в символическую динамику я старался, чтобы технические детали возможно меньше заслоняли здесь существо дела. В части 3 я хотел показать, каким образом методы символической динамики могут оказаться полезными уже в простейших задачах теории нелинейных колебаний и что они позволяют сделать применительно к задачам, рассмотренных в части 1. Я приношу искреннюю благодарность организаторам школы, пригласившим меня прочитать эти лекции и проявившим незаурядное терпение, дожидаясь, пока они окажутся иаписанными. [c.17]

Так как строгое лштематическое решение проблемы п тел, которое было бы пригодно для конкретных астрономических задач, пока не существует, приходится рассматривать отдельно различные задачи небесной механики, используя при этом некоторые специальные особенности солнечной системы. [c.5]

Стохастическое поведение консервативных гамильтоновых систем известно из работы [136), где показано, что неинтегрируемость некоторой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы приводит к возникновению хаоса. Обзор проблемы хаоса в гамильтоновых системах дан в [200]. в которой проведено интенсивное сопоставление старых и новых взглядов на вопросы интегрируемости. Учитывая некоторую аналогию между задачами небесной механики и движением точечных вихрей, можно предположить, что и в последнем случае будет иметь место хаотическое поведение. Поэтому усилия многих современных исследователей направлены на выяснение вопросов как, где и почему хаотическое поведение входит в динамику точечных вихрей В исследованиях [ 55, 93 ) рассмотрены типичные задачи этого класса. Важной особенностью хаотического движения в задачах вихревой динамики на плоскости является то, что хаос здесь возникает из полных уравнений движения Эйлера, сведенных к гамильтоновой форме, а не в результате модовых (галеркинских) аппроксимаций. Использование таких аппроксимаций является ахиллесовой пятой многих работ по изучению перехода к турбулентности. В частности, если в задаче Лоренца использовать большее число базисных функций, т.е. учесть следующие гармоники полей скорости и температуры, то полученная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений уже не обладает <саттракторными свойствами. [c.158]

Перенесение начала в Солнце. Нам ничего неизвестно об абсолютных движениях плаиет, потому что наблюдения дают сведения лишь об их относительных положениях или об их положениях относительно Солнца. Правда, известно, что солнечная система движется по направлению к созвездию Геркулеса, но надо помнить, что это движение происходит лишь по отношению к некоторым звездам. Задача небесной механики состоит в определении относительных положений членов солнечной системы или в частности в определении положений планет по отношению к Солнцу. Для этой цели удобно перенести начало в Солнце и преобразовать соответствующим образом диференциальные уравнения. [c.241]

Материальной точкой называют геометрическую точку, обладающую массой. Так, при решении некоторых задач механики формой и размерами реальных тел пренебрегают, считая нх материальными точками Напрн.мер, при изучении движения небесных тел астрономы учитывают только массу этих тел и расстояние между ними, а форму и размеры самих тел не принимают во внимание. [c.6]

И. В. Мещерский рассмотрел также большое количество частных задач о движении точки переменной массы, например, восходящее движение ракеты и вертикальное движение аэростата. Специальному исследованию он подверг движения точки переменной маосы под действием центральной силы, заложив тем самым основания небесной механики тел переменной массы. Он изучал также и некоторые проблемы комет. Мехцерский впервые сформулировал и так называемые обратные задачи, когда по заданным внешним силам и траектории определяется закон изменения массы. [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...