Полюсы S-матрицы

Движение полюсов S-матрицы. Исследуем теперь движение нулей функции г к) при изменении углового момента I. При каждом фиксированном значении I уравнение [c.359]

Траектории Редже. Кривые, описываемые полюсами Редже на плоскости комплексного углового момента при изменении энергии, называются траекториями Редже. Траектории Редже позволяют нам установить связь между различными связанными состояниями и резонансами при разных значениях I, подобную получаемой из рассмотрения траекторий, по которым движутся полюсы S-матрицы на -плоскости при изменении I. Как будет показано в следующем параграфе, при отрицательных энергиях полюсы Редже в области Re / > — Vo должны лежать на действительной оси I. Когда полюс проходит через точку, соответствующую целому значению I, S обращается в бесконечность и возникает связанное состояние. (Мы считаем, что потенциал ведет себя [c.377]

Недавно появилась интересная работа [255], в которой рассматривается распределение полюсов S-матрицы в случае экранированного кулоновского потенциала в пределе больших радиусов экранирования. В этой работе показано, что предельное распределение полюсов не совпадает с распределением полюсов кулоновской S-матрицы, определяемым выражением (14.42). В настоящее время не ясно, в какой степени это зависит от характера экранирования. Экранированный кулоновский потенциал рассматривался также в работах [286, 392]. [c.408]

Движение резонансных полюсов. Посмотрим теперь, как движется резонансный полюс S-матрицы при непрерывном изменении гамильтониана. Прежде всего необходимо понять, что вследствие выполнения условия симметрии (17.21) S-матрица должна иметь несколько полюсов, расположенных симметрично относительно мнимых осей всех к, если только она вообще имеет полюсы, не находящиеся на мнимых осях к. [c.483]

КРАТНЫЕ ПОЛЮСЫ S-МАТРИЦЫ [c.554]

Предельным случаем близко расположенных резонансов является случай кратных полюсов. В то время как полюсы S-матрицы, соответствующие связанным состояниям, должны быть простыми, не существует никаких общих запретов на появление кратных полюсов в комплексной плоскости, соответствующих резонансам. Первый наблюдаемый эффект, обусловленный появлением кратных полюсов, состоял бы в том, что изменилась бы форма соответ- [c.554]

В конкретных вычислениях Гейзенберг использует приближенное выражение для ф-ции Грина, к-рое содержит кратный, полюс. Такие кратные полюса изучались в нерелятивистской модели теории поля, разработанной Ли 1,4] [6], где также возникают состояния с отрицательными нормами. Анализ показывает, что кратные полюса не препятствуют вероятностной интерпретации теории, но только как теории S-матрицы, Однако не удалось показать, что отрицательные нормы не появятся в к,-л. из возможных связанных состояний. [c.208]

Таким образом, при k — ko- ikx элемент S-матрицы имеет полюс, расположенный вблизи действительной оси в нижней полуплоскости комплексного переменного к. Отсюда следует, что так же, как в формуле (11.54), вблизи точки к = ко [c.296]

Пример, в котором все эти приближения хорошо оправдываются экспериментально, дает нам дейтрон. Однако не следует забывать, что изложенные приближенные методы основаны на ряде предположений, которые выполняются отнюдь не всегда. Одним из предположений является, в частности, гипотеза о том, что элемент S-матрицы допускает аналитическое продолжение в комплексную А-плоскость и что, кроме полюса связанного состояния, не существует других близко расположенных сингулярностей. Как мы увидим в гл. 12, это, конечно, не всегда так. [c.297]

На втором листе, в области внутри параболы, элемент S-матрицы всюду регулярен, за исключением тех точек, в которых он имеет полюсы. Допустим, что такой полюс имеется в точке к = к — iki в нижней полуплоскости к и расположен вблизи действительной оси. Тогда элемент S-матрицы в окрестности такого полюса должен иметь вид [c.328]

Здесь следует за.метить, что полученные выше общие результаты для обрезанных потенциалов не позволяют сделать какие бы то ни было выводы о ситуации, имеющей место в случае, когда радиус, на котором производится обрезание потенциала, устремляется в бесконечность (т. е. когда радиус действия потенциала обращается в бесконечность). Поясним это более подробно. Мы должны ожидать, что в общем случае структура особенностей S-матрицы при любом заданном потенциале с бесконечным радиусом действия должна существенно отличаться от структуры ее особенностей при соответствующем обрезанном потенциале в пределе, когда радиус, на котором производится обрезание, стремится к бесконечности. Действительно, для потенциала с конечным радиусом действия R не может быть полюсов у функции Поста, каким бы большим ни был радиус R. Однако функция Поста, соответствующая обрезанному потенциалу, радиус действия которого устремлен к бесконечности, обычно имеет полюсы в нижней полуплоскости, причем фактически в общем случае их имеется даже бесконечное множество. Можно ожидать, что подобная ситуация имеет место не только для резко обрезаемых потенциалов, но также и в более общем случае. Например, сказанное в равной мере относится к случаю экранированного кулоновского поля, когда радиус экранирования неограниченно возрастает [2551. Математическая причина такого положения заключается в том, что операции предельных переходов оо и —>- оо неравномерны и их нельзя менять местами. [c.338]

К 1, п. 3. Формула (12.85) для вычета элемента S-матрицы в полюсе, соответствующем связанному состоянию, получена Крамерсом [502], как это было отмечено в работе Иоста [448], н независимо от него Меллером [610] и Гейзенбергом [374]. Более подробный вывод соотношения (12.84) имеется в работе Меллера [610] см. также работы Тер-Хаара [829] и Иоста [447] [c.369]

Такн.м образом, член в (13.2), возникающий от п-то полюса, дает следующий вклад в элемент S-матрицы [c.377]

Ниже, в 2, будет показано, что Im а > 0. Поэтому ширина резонанса в (13.15) положительна, если с ростом энергии полюс движется вправо, и отрицательна, если он движется влево. Поскольку ширина Г должна быть положительной, чтобы фаза S-матрицы увеличивалась вблизи Eg, то к истинным резонансам приводят только полюсы, движущиеся вправо на /-плоскости. При движении влево от целого значения I самое большее происходит обратное прохождение сдвига фазы через значение V2Л. [c.377]

Прежде чем приступить к доказательству некоторых важных свойств полюсов Редже, рассмотрим кратко вопрос о единственности интерполяции физических элементов S-матрицы с целочисленными моментами Si. [c.378]

Допустим, что S-матрица S (/, к) имеет только конечное число полюсов Редже, одинаковое при всех к. Совместимо ли такое предположение со всеми известными общими свойствами функции S (/, к) Если нет, то какое свойство нарушается [c.386]

Показать, что если S-матрица имеет двукратный полюс, то резонансная кривая может состоять из двух пиков. [c.466]

Как мы уже видели, нефизические листы римановой поверхности, на которые можно перейти посредством аналитического продолжения за различные разрезы, имеют важное значение для описания резонансов. Конечно, на нефизических листах возможны все виды сингулярностей, если только относительно сил взаимодействия не делается особых предположений, которые не определяются физическими соображениями. Тем не менее для простоты мы пренебрегаем такими усложнениями. К тому же следует сказать, что пока мы ограничиваемся рассмотрением упрош,енной задачи с конечным числом каналов, поведение S-матрицы на других листах римановой поверхности вследствие свойства унитарности не может быть намного хуже ее поведения на физическом листе. Это непосредственно видно из соотношения (17.42). Если потребовать, чтобы диагональные матрицы были регулярными всюду на физическом листе (за исключением полюсов, соответствующих связанным состояниям), то определитель А не должен иметь сингулярностей на других листах. В результате из соотношения (17.42) следует, что диагональные элементы S-матрицы на других листах должны быть мероморфными функциями. Единственными сингулярностями их могут быть полюсы, соответствующие нулям определителя А. Из (17.51а) вытекает, что недиагональные элементы могут иметь, кроме того, точки ветвления. [c.482]

Рассмотрим трехканальную задачу (все угловые моменты для которой равны нулю). Будем считать, что канал 1 открыт, канал 3 закрыт и канал 2 открыт, но мы находимся вблизи порога этого канала. Допустим, что канал 3 не связан с каналами I, 2 и что в нем имеется связанное состояние. Тогда S-матрица должна иметь полюс, расположенный на физическом листе канала 3, т. е. на положительной мнимой полуоси кз, и этот полюс имеется как на верхних, так и на нижних берегах разрезов, начинающихся от порогов [c.483]

Выше считалось, что межчастичные силы обладают хорошим поведением. Это условие исключает из рассмотрения кулоновские силы. Легко понять, почему кулоновский потенциал притяжения приводит к существенным усложнениям в области порогов. В конечном счете каждый угловой момент создает бесконечно много связанных состояний, энергии которых сосредоточены в точке = 0. Это означает, что здесь каждый элемент S-матрицы имеет точку сгущения полюсов. Будем рассматривать S-матрицу как функцию и энергии Е, [c.495]

Для того чтобы увидеть, к каким формам линии могут приводить кратные полюсы, рассмотрим, например, двойной полюс. Пусть разложение для амплитуды рассеяния (или для S-матрицы) имеет вид [c.555]

Допустим, что S-.матрица имеет трехкратный полюс вблизи действительной оси. Какова форма линии резонанса Какой вид имеет закон распада [c.556]

Р = Рм, согласно (34), s — s (0). В действительности толщина стенки здесь иа 3—5% меньше исходной. Если / M 8s(0), в области контакта оболочки с тороидной поверхностью матрицы радиусом возникает местное утонение стенкн, достигающее 10— 15%. В полюсе оболочки (х=0, [c.190]

Как мы только что видели, полюсы S-матрицы играют особую роль. Если на потенциал наложить достаточно сильные требования, чтобы все полюсы функции 5 на физическом листе определялись только нулями функции f, то эти полюсы обозначают связанные состояния. Полюсы на втором листе функции 5, если они расположены достаточно близко к положительной действительной полуоси, могут интерпретироваться как наблюдаемые резонансы. Оставшиеся полюсы функции 5 на втором листе, если они находятся на отрицательной действительной полуоси, иногда называют виртуальными, или же антисвязанными, состояниями. Согласно (12.74), каждому полюсу 5 на втором листе соответствует свой нуль функции S на первом листе. Поэтому, вообще говоря, лшжно ограничиться изучением функции S, заданной только на физическом листе, обращая при этом, конечно, внимание и на ее полюсы, и на нули. Допуская, что константа взаимодействия у может принимать комплексные значения, видим, что нули функции f являются характеристическими значениями ядра радиального уравнения Липпмана — Швингера и, следовательно, они определяют свойства сходимости борновского ряда для S. [c.332]

Резонансные полюсы. Чтобы легче понять особенности неупругих, или абсорптивных процессов, которые более детально рассмотрены ниже, рассмотрим пару комплексных полюсов S-матрицы, расположенных не точно симметрично относительно мнимой оси /г-плоскости, т. е. рассмотрим S-матрицу вида [c.336]

Представление о движении полюсов функции S, по траекториям на к-пло-скости или на -поверхности при непрерывном изменении I физически весьма привлекательно. Если различные связанные состояния и резонансы расположены на одной траектории, то мы можем считать, что они все обусловлены одной причиной . Например, мы можем начать с глубоко лежащего связанного s-состояния (если такое ил1еется) и увеличивать I. Если при этом полюс S-матрицы остается на первом листе, даже когда / = 1, то возникает связанное р-состояние. Таким образом, можно сказать, что оба связанных состояния в действительности являются следствиями одной и той же причины, а именно они связаны с движениями одного полюса по -поверхности. [c.361]

Далее, как было показано в гл. 12, из свойства (20.26) вытекает, что существует S-матрица, аналитическая всюду в полосе шириной /С, расположенной выше действительной оси k, за исключением полюсов на мнимой оси, соответствующих связанным состояниям. Поэтому необходимым условием существования единственного в смысле выполнения асимптотики (20.26) потенциала является требование того, чтобы S-матрица была аналитической всюду в полосе, расположенной выше действительной оси и охватывающей все связанные состояния, за исключением точек, соответствующих последним. Таким образом, все связанные состояния соответствуют полюсам S-матрицы и лишних полюсов нет. Достаточные критерии существования такого единственного потенциала в настоящее время не известны ). [c.566]

Далее, условие унитарности S-матрицы позволяет установить, где Im F заведомо отлична от нуля. В каждом канале (а) инвариантная амплитуда ЛГ(а) как ф-ция s имеет полюсы, соответствующие возможным одночастичным состояниям, и ( физический ) разрез, соответствующий многочастнчным состояниям в этом канале. Характеристики этих особенностей — вычеты в полюсах и скачки на физич. разрезах — могут быть определены через матричные элементы S-матрицы с помощью той же унитарности. Напр., т. н. абсорбционная часть амплитуды (т. е. скачок амплитуды на физич. разрезе) равна [c.8]

Аналитичность. Из спектральной теории операторов известно, что = Е — Я) 1 является аналитической операторной функцией Е, регулярной всюду в плоскости с правым разрезом, за исключением точек, соответствующих связанным состояниям. Спрашивается, почему же тогда S не регулярна с необходимостью там, где регулярна I/ Это различное поведение и 5 на физическом листе обусловливается тем, что матричные элементы 5 вычисляются для зависящих от энергии волновых функций, которые при комплексных значениях энергии не дгогут быть нормируемыми. Именно это обстоятельство ответственно за возможное отсутствие регулярности функции S там, где функция. V i регулярна, а равно и за возможное появление кратных полюсов у S в точках, в которых функция должна иметь только простые полюсы. Более того, поскольку соответствующий матричный элемент от вычета функции У может обращаться в нуль, то функция S к) необязательно должна иметь полюсы в точках полюсов для Поэтому исследование д как операторной функции Е намного проще исследования S-матрицы. В случае можно привлечь общий и хорошо разработанный операторный формализм S-матрицу же удобнее исследовать методами, которые используются в настоящей главе. [c.328]

Важность существования корреляции между различными амплитудами рассеяния парциальных волн можно оценить, обращаясь к дисперсионным соотношениям для полной амплитуды рассеяния. Допустим, что потенциал экспоненциально убывает на бесконечности. В гл. 10, 3, п. 2 мы видели, что в этом случае амплитуда рассеяния вперед является аналитической функцией от Е, регулярной на физическом листе всюду, за исключением простых полюсов, соответствующих связанным состояниям. Следовательно, она должна удовлетворять некоторому дисперсионному соотношению. Но эта же самая амплитуда является суммой амплитуд парциальных волн, каждая из которых может иметь и в общем случае имеет, бесконечное множество сингулярностей на физическом листе. Поэтому должна иметь место очень сильная корреляция между положениями точек сингулярностей различных элементов S-матрицы и значениями вычетов в них, чтобы в амплитуде рассеяния вперед эти сингулярности взаимно скомпенсировались. Более того, поскольку дисперсионное соотношение существует также и в случае, когда передаваемый импульс не равен нулю, то сингулярности должны также компенсировать друг друга и в амплитудах рассеяния по любому направлению (вплоть до некоторого конечного значения передаваемого импульса). Это, очевидно, означает, что сингулярности должны сильно зависеть друг от друга. [c.355]

Тот факт, что каждый элемент S-матрицы в случае потенциала конечного радиуса действия имеет бесконечно много полюсов, был установлен Эмбле [406] и независимо Роллником [715]. Более общее доказательство, приведенное здесь, а также последующие рассуждения относительно распределения полюсов, когда потенциал имеет конечный радиус действия, принадлежат Редже [706]. Распространение результатов на случай потенциалов, убывающих быстрее экспоненты, но не обращающихся в пуль тождественно, дано в работе [746]. [c.370]

Когда д = О, система (2,3) приобретает всю энергию, т. е. Е является ее энергией. Если в этой точке функция g имеет полюс, то он же будет содержаться и в S-матрице изолированной системы (2,3). Следовательно, эта система имеет связанное состояние. (Мы считаем, что силы обладают достаточно хорошим поведением, так что все необходимые аналитические продолжения оправданы.) Таким образом, для выбранной параметризации при энергиях, равных энергиям связанных состояний системы (2,3), трехчастичная S-матрица имеет точки ветвления. Конечно, они являются как раз порогами новых каналов, которые определяются возбуждениями системы (2,3). Пными словами, у системы (2,3), переведенной на определенный возбужденный уровень, имеются минимальные значения энергии, но еще из-за относительного движения 1 и (2,3) остается и некоторая кинетическая энергия. Это и описывается несвязной диаграммой фиг. 17.7 — она ответственна за точки ветвления, возникающие при энергиях, равных энергиям связанных состояний системы (2,3). [c.488]

Последнее обстоятельство лежит в основе следующего метода построения решения, отвечающего заданным начальным условиЯхМ в случае бесконечной цепочки. Уравнение (М.37) есть конечно-разностное уравнение 2-го порядка, аналогичное стационарному уравнению Шредингера для частицы в потенциале последний определяется функциями q2n и р2п- Тем самым задание этого потенциала (например, в начальный момент времени) позволяет определить данные рассеяния , связанные с асимптотическим поведением ф , т. е. S-матрицу, ее полюсы и вычеты в них. Если асимптотики на бесконечности п- оо имеют вид [c.325]

Мы знаем, что с, > О и в общем случае с,, (зависящее от всех д, кроме д .) положительно. Но может существовать точка q, в которой обращается в нуль, и тогда наши выводы относительно дг-Движения, сделанные на основании уравнений (18.3.1), могут претерпеть изменения. В качестве примера рассмотрим случай, когда имеет вид (Зг — Что) Фп где фг (дь Я2, -т 9п) -<4 > 0. При этом каждый элемент u s г-йстроки матрицы и имеет, вообще говоря, простой полюс в точке д о (это следует из уравнений (18.2.2)). Функция fr (дг) уже не является непрерывной и имеет простой полюс в точке д о- Уравнение (18.3.1) записывается теперь так [c.334]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...