Метод нормальных форм колебаний

Классический метод нормальных форм колебаний [c.23]

Свойство нормальных форм колебаний, которое далее обсуждается, является основой для метода нормальных форм колебаний. Речь идет о том, что при любых движениях системы, описываемых уравнением (1.1) и концевыми условиями (1.2) или любой другой системой уравнений и концевых условий, перемещения при колебаниях можно всегда представить как бесконечный ряд соответствующих нормальных форм колебаний [c.26]

Теперь не представляет труда с помощью метода нормальных форм колебаний учесть линейное демпфирование. Например если требуется заменить на ( 1 -f it]) в уравнении движения, то при этом ничего в процессе решения не изменится и модуль Юнга можно заменить на его комплексный аналог на любом этапе решения, и решение (1.31) примет вид [c.27]

Связь между дискретными методами и методом нормальных форм колебаний. В общем случае реакцию системы можно описать с помощью следующего выражения [c.35]

КИН К классическому прием решения задач о вынужденных колебаниях, а именно метод нормальных форм колебаний, согласно которому функции возбуждающей силы и динамических перемещений раскладываются в ряд по формам колебаний системы без демпфирования, которые полагают известными. Согласно сказанному, имеем [c.178]

Однако если рассматривается случай, когда балка (с пренебрежимо малым демпфированием) опирается на пружины, имеющие заметное демпфирование, что имеет место в том случае, когда упругие элементы изготовляются из эластомера с комплексным модулем и коэффициентом потерь г) 0,2, то метод нормальных форм колебаний становится менее удобным. Демпфирующие силы от каждой пружины приходится вводить как внешние силы, пропорциональные перемещению в пружине и находящиеся в фазе или противофазе со скоростью перемещения в пружине. Учет этих членов связывает уравнения и делает решение путем разложения по формам недемпфированных колебаний чрезвычайно громоздким. [c.180]

Исследование влияния настроенных демпферов на динамическое поведение тонкостенных конструкций показало возможность применения изолированных настроенных демпферов из эластомеров для управления динамическими перемещениями по нескольким формам колебаний. Для таких исследований можно применить метод нормальных форм колебаний и определить влияние настроенных демпферов на поведение конструкций, состоящих из набора панелей, подкрепленных стрингерами и рамами [5.28], а также использовать метод передаточных матриц, который дает возможность оценить влияние настроенных демпферов на поведение изогнутых тонкостенных конструкций с подкреплением (рис. 5.18) [5.13]. [c.229]

Главная цель настоящего издания сделать книгу такой, чтобы она лучшим образом удовлетворяла основным требованиям сегодняшнего дня в вопросах исследований колебаний. Устаревший материал исключен, и вместе с тем подчеркнуты и расширены наиболее полезные аспекты теории. Использована матричная техника и введен метод нормальных форм колебаний для исследования динамики. Кроме того, приведены программы для вычислительных машин, необходимые при численных решениях. Цель этих изменений сделать книгу более современной и в то же время сохранить фундаментальные положения и особенности предыдущего издания. [c.12]

Матричные уравнения движения, обобщающие случай системы с двумя степенями свободы на системы с п степенями свободы, рассмотрены в гл. 4, в которой описано использование метода нормальных форм колебаний к исследованию динамических задач, а также по- [c.12]

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ С УЧЕТОМ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ [c.265]

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНИХ СИЛ [c.270]

Таким образом, третий собственный вектор равен 1, у , г = О, —1, 1 и ортогонален двум остальным собственным векторам относительно матрицы М. Подобная система собственных векторов не является единственной, но она удовлетворяет условиям ортогональности, выполнение которых необходимо для собственных векторов при использовании метода нормальных форм колебаний. [c.298]

Хотя итерационный метод позволяет находить только несколько собственных значений и собственных векторов системы, это не мешает использовать метод нормальных форм колебаний при определении динамических перемещений в системе. Если найдены форм колебаний, где < п, матрица форм (или Х ) содержит вместо п только 1 столбцов. Такая прямоугольная матрица не имеет обратной матрицы, поэтому вместо выражений, содержащих обратные матрицы, следует использовать выражения (4.44а) и (4.446), в которых имеются транспонированные матрицы Хм и Хн при этом удается определить только первых нормальных форм колебаний, тогда как влиянием остальных форм колебаний на суммарное динамическое [c.298]

Метод нормальных форм колебаний, рассмотренный в пп. 4.3— [c.302]

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с п степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52) J сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка п X п, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже, будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе. [c.306]

В п. 1.15 обсуждались численные решения для систем с одной степенью свободы, при действии возмуш,ающей силы, которые нельзя было описать аналитическими выражениями. В двух основных подходах, использовавшихся там, применялись кусочно-постоянные и кусочно-линейные интерполирующие функции. Указанные подходы здесь будут применены в методе нормальных форм колебаний при исследованиях неустановившегося поведения систем со многими степенями свободы. Как и в предыдущих параграфах, предполагаем, что имеет место пропорциональное демпфирование или демпфирование по формам колебаний. Поскольку здесь потребуется большой объем вычислений, предполагается, что методы, описываемые в данном параграфе, будут применяться с использованием ЭВМ. [c.315]

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ МЕТОДОМ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ [c.338]

Подходы, применявшиеся к решению задач, излагавшихся в предыдущих параграфах, обнаруживают известное сходство с методом нормальных форм колебаний, с помощью которого исследовались в гл. 4 системы со многими степенями свободы. Теперь применим метод нормальных форм колебаний к исследованию призматических стержней с непрерывно распределенной массой и бесконечным числом степеней свободы. Хотя метод будет сформулирован применительно к частной задаче о продольных колебаниях призматических стержней, общие положения рассматриваемого здесь метода нормальных форм колебаний можно распространить на исследование произвольных упругих тел. [c.338]

Применим теперь метод нормальных форм колебаний к исследованию вынужденных продольных динамических перемещений призматических стержней. С этой целью предположим, что на стержень (рис. 5.4) действует распределенная сила Q х, t). В этом случае [c.342]

К стержню с жестко закрепленными концами внезапно прикладывается распределенная продольная нагрузка, которая изменяется по линейному закону от нулевого значения при дг = О до значения Q при х = I. Методом нормальных форм колебаний исследовать динамические продольные перемещения этого стержня. [c.345]

Кроме обсуждавшихся в предыдущих параграфах концевых условий типа жесткого закрепления или свободных от закреплений концов могут встретиться случаи сосредоточенной массы или упругого подкрепления, что изображено у правого конца стержня, показанного на рис. 5.5. Оба этих случая будут рассмотрены в этом параграфе с помощью метода нормальных форм колебаний. [c.345]

Дифференцируя последние соотношения по t [с учетом (5.185)] и применяя метод осреднения, получим соответственно для первой и второй нормальных форм колебаний усредненные системы дифференциальных уравнений [c.256]

Учитывая (5.189) и проводя аналогичные преобразования (5.183), получим для двух нормальных форм колебаний /1 (t), /2 () в первом приближении метода усреднения следующие системы усредненных дифференциальных уравнений [c.257]

Исследование вынужденных колебаний методом нормальных форм [c.177]

Уравнения (2.110) соответствуют движению системы с двумя степенями свободы и служат для определения перемещений точек Л и 5 стержня. Решение этих уравнений удобно искать в виде разложения по нормальным формам колебаний. Этот метод позволяет окончательное решение для дисперсии упругих колебаний свести к квадратурам, которые вычисляют по таблицам. [c.132]

При практических расчетах крановых мостов наибольший интерес представляют перемещения масс т , и т . Применяя метод разложения решения по нормальным формам колебаний [89 ], получим аналитические зависимости для определения перемещений масс упругой системы относительно профиля рельсовых путей в окончательном виде [c.327]

Основное преимущество метода разложения решения по нормальным формам колебаний заключается в том, что он никак не связан с тем или иным видом возмущающих сил. [c.328]

Можно видеть, что применение метода нормальных форм к задаче изгибных колебаний стержней приводит к уравнению, аналогичному по форме уравнению для продольных колебаний стержня, полученному в п. 5.4. В силу отмеченной аналогии, здесь не будут вновь выводиться выражения, описывающие динамическое поведение стержней при поперечных колебаниях при заданных начальных условиях и приложенных динамических нагрузках. Выражение для динамических перемещений при изгибных колебаниях будут совпадать с аналогичным выражением для задачи о продольных колебаниях [см. выражения (5.23)—(5.29)], если в последних выражениях продольное перемещение и заменить на поперечное у. [c.376]

Гл. 5, где рассматриваются колебания упругих тел, в силу классического характера материала требовала самых небольших переделок. Тем не менее, более трети ее параграфов полностью перекомпонованы и добавлены новые, чтобы включить изложение метода нормальных форм колебаний. [c.13]

Пример 1. В п. 3.5 были определены динамические перемещения двухмассовой системы при свободных колебаниях (см. рис. 3.1, а), при этом произвольные постоянные находились из начальных условий Хду = дсог = 1 и Хду = Хд = 0. Получим те же самые результаты с помощью метода нормальных форм колебаний. [c.267]

Приведенные выше примеры иллюстрируют способы исследования систем, для которых задается только один вид перемеш,ения основания как абсолютно жесткого тела. В более сложных задачах могут иметь место три составляюш,ие перемеш,ения основания как абсолютно жесткого тела, а также три поворота как абсолютно жесткого тела. В подобных случаях перемеш,ение Хосп должно представлять собой вектор с компонентами в виде шести типов перемещений, тогда вектор 5осн превратится в матрицу пХб. Кроме того, повороты основания должны быть малыми, с тем чтобы оставалось справедливым допущение о линейности характеристик системы, на котором основывается метод нормальных форм колебаний. Единственными большими перемещениями, допустимыми при линейных исследованиях, являются перемещения как абсолютно жесткого тела. Задачи, которые включают рассмотрение подобных больших динамических перемещений, необходимо исследовать с использованием относительных координат с тем, чтобы избежать потери точности при определении динамических перемещений системы. [c.284]

Метод нормальных форм колебаний для исследования неустановившегося поведения стержня при действии возмущающих сил эквивалентен методу возможной работы, изложенному в предыдущем параграфе. Ниже приведены примеры, демонстрирующие применения выражений (5.28) и (5,29) соответственно для распределенной и соредоточенной возмущающих сил. [c.344]

Поскольку соотношение нормированности (5.42) совпадает с аналогичным (5.22), то и выражения (5.23)—(5.25), полученные в п. 5.4 для динамических перемеш,ений при заданных начальных условиях, применимы в данном случае. Более того, динамические перемеш,е-ния системы, обусловленные действием продольных сил, можно найти, воспользовавшись выражениями (5.28) и (5.29), также полученными в п. 5.4. Таким образом, видим, что хотя наличие пружины и оказывает влияние на частоты и формы продольных колебаний стержня, тем не менее суть метода нормальных форм колебаний для определения динамического поведения системы не изменилась. [c.352]

Возможны и другие методы решения задачи о вынужденных колебаниях с произвольно распределенным вязким или гисте-резисным демпфированием. Было показано, например, что для этих случаев можно получить несвязанные уравнения движения линейных систем, если использовать комплексные функции демпфированных нормальных форм колебаний и комплексные собственные значения. Однако эти демпфированные нормальные формы не совпадают с классическими нормальными формами колебаний системы, обсуждавшейся здесь, и определять их оказывается непросто [4.5, 4.6]. [c.180]

Современный, основанный на методе конечных элементов подход является перспективным при исследовании динамических характеристик сложных конструкций, в которых могут возникать колебания различных форм. Многоцелевые пакеты программ NASTRAN, ANSYS и MAR [4.12] давно используются многими исследователями для решения задач о колебаниях конструкций. Обычно метод конечных элементов используется для определения резонансных частот и нормальных форм колебаний. Многие из этих пакетов программ позволяют учитывать в той или иной форме демпфирование. Однако если метод конечных элементов используется для получения количественных оценок влияния вязкоупругих материалов, имеющихся в рассматриваемой конструкции, то следует быть очень внимательным, чтобы не попасть в ловушку. Опасность здесь таят как необозримо большое время расчета на ЭВМ и высокие требования при работе с комплексными числами, характеризующими жесткости, так и чрезмерное упрощение задачи при попытке получить решаемую систему уравнений, поскольку эти уравнения будут неправильно моделировать реальную задачу. [c.187]

Если для системы со многими степенями свободы в качестве обобщенных координат использовать главные формы колебаний уравнения движения без демпфирования становятся несвязанными В этих координатах каждое уравнение можно решать как уравне ние, записанное для системы только с одной степенью свободы Этот подход, известный как метод нормальных форм при динами ческих исследованиях, обсуждается в данной главе и применяется к задачам, представляющим общий интерес. Сначала рассматриваются системы без демпфировсишя, а в последних частях обсуждаются специальные вопросы, относящиеся к системам с демпфированием. [c.244]

Таким образом, формы колебаний имеют вид синусоид, первая из которых показана штриховыми линиями на рис. 5.14. Нормальные функции для свободно опертого стержня, как видно из сказанного, совпадают с нормальными функциями для колеблющейся предварительно растянутой нити с неподвижно закрепленными концами (см. рис. 5.10, в, д). Для того чтобы удовлетворить условиям (5.97) нормированности, надо положить D — Y2И. р Определим теперь динамические перемещения при поперечных колебаниях свободно опертого стержня, обусловленных начальными условиями, заданными в виде перемещений и скоростей. Как и в случае колебаний растянутой нити, представим распределение начальных поперечных перемещений в произвольном сечении стержня в момент времени i = О в виде функции г/о = /1 (х), а распределение начальных- скоростей — в виде функции г/о = /г W- Общая форма решения задается выражением (5.86), полученным в предыдущем параграфе, и она аналогична решению (5.25), полученному методом нормальных форм в п. 5.4. Если нормированные функции (5.104) подставить в выражения (5.23) и (5.24), в результате получим [c.378]

Вновь рассмотрим пример четырех дисков, показанных на рис. 173. Методом последовательных приближений найдем с достаточной точностью, что угловая частота низшей формы колебаний приблизительно равна р = 235 сек и что отношение амплитуд для этой формы колебаний составляет XJX =—0,752, Х,з/Х,1=—1,33, X,4/Xi = l,66. Соответствующая нормальная форма колебаний показана на рис. 173,6. Примем теперь, что периодический момент M ospi приложен к первому диску и что вязкое сопротивление приложено к четвертому диску ). Тогда из выражения (f) [c.253]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...